ویکٹر نوٽيشن جي اصطلاحات ۽ قسم

ویکٹر نوٽيشن جي اصطلاحات ۽ قسم

جڏهن رياضي، فزڪس، ۽ ڪمپيوٽر سائنس تي بحث ڪيو وڃي ٿو، ته ویکٹر جو تصور اڪثر ڪري سمجهڻ لاءِ هڪ اهم عنصر هوندو آهي. ویکٹر صرف تجريدي تصور نه آهن؛ اهي مختلف عملي حالتن ۾ لاڳاپيل آهن، جهڙوڪ ڊيٽا تجزيو، ڪمپيوٽر گرافڪس، ۽ فزڪس سموليشن. هن آرٽيڪل ۾، اسين ویکٹر اصطلاحات ۽ نوٽيشن تي بحث ڪنداسين، پوءِ انهن شعبن ۾ ملندڙ مختلف قسمن جي ویکٹرن کي ڳولينداسين.

ویکٹر اصطلاحات ۽ نوٽيشن

1. ویکٹر ۽ اسڪيلر
هڪ ویکٹر هڪ رياضياتي وجود آهي جنهن ۾ شدت ۽ هدايت ٻئي آهن. ان جي ابتڙ، هڪ اسڪيلر هڪ واحد قدر آهي جنهن ۾ صرف شدت آهي ۽ ڪا به هدايت ناهي. مثال طور، هدايت جي نشاندهي ڪرڻ کان سواءِ 5 ميٽر/سيڪنڊ جي رفتار هڪ اسڪيلر آهي، جڏهن ته اوڀر طرف 5 ميٽر/سيڪنڊ جي رفتار هڪ ویکٹر آهي.

2. ویکٹر نوٽيشن
ویکٹر عام طور تي هڪ ٿلهي ننڍي اکر جهڙوڪ v سان ظاهر ڪيا ويندا آهن، يا \(\vec{v}\) وانگر اکر جي مٿان هڪ تير سان. مثال طور، جيڪڏهن اسان وٽ هڪ ویکٹر v آهي جنهن جا عنصر \(v_1, v_2, v_3\) آهن، ته پوءِ هن کي هن طرح لکي سگهجي ٿو:
\[ \vec{v} = \\ شروع{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end{pmatrix} \]

ویکٹر لکڻ جو ٻيو طريقو، خاص طور تي ٻہ يا ٽي-dimensional تناظر ۾، هڪ معياري بنياد استعمال ڪرڻ آهي. مثال طور:
\[ \vec{v} = v_1\ٽوپي{i} + v_2\ٽوپي{j} + v_3\ٽوپي{k} \]
جتي \(\hat{i}, \hat{j}\), ۽ \(\hat{k}\) x، y، ۽ z محور تي يونٽ ویکٹر آهن.

ویکٹر جا قسم

1. پوزيشن ویکٹر
پوزيشن ویکٹر هڪ ویکٹر آهي جيڪو هڪ حوالي واري نقطي جي نسبت خلا ۾ هڪ نقطي جي پوزيشن کي بيان ڪري ٿو، عام طور تي پوائنٽ O (اصل). جيڪڏهن پوائنٽ P ۾ 3D اسپيس ۾ ڪوآرڊينيٽس (x، y، z) آهن، ته پوءِ پوزيشن ویکٹر \(\vec{r}\) کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ \vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} \]

2. بي گھرڻ وارو ویکٹر
هڪ بي گھرڻ وارو ویکٹر هڪ نقطي جي هڪ پوزيشن کان ٻئي پوزيشن ۾ تبديلي کي بيان ڪري ٿو. فرض ڪريو ته نقطي A ۾ ڪوآرڊينيٽس (x1، y1، z1) آهن ۽ نقطي B ۾ ڪوآرڊينيٽس (x2، y2، z2) آهن. بي گھرڻ وارو ویکٹر \(\vec{d}\) A کان B تائين هن طرح لکي سگهجي ٿو:
\[ \vec{d} = (x2 – x1)\hat{i} + (y2 – y1)\hat{j} + (z2 – z1)\hat{k} \]

3. رفتار ویکٹر
رفتار هڪ ویکٹر آهي جيڪو في يونٽ وقت ڪنهن شئي جي پوزيشن جي تبديلي جي شرح کي ظاهر ڪري ٿو. جيڪڏهن \(\vec{r}(t)\) وقت جي حوالي سان پوزيشن جو هڪ فنڪشن آهي، ته رفتار ویکٹر \(\vec{v}(t)\) وقت t جي حوالي سان \(\vec{r}(t)\) جو مشتق آهي:
\[ \vec{v}(t) = \frac{d\vec{r}(t)}{dt} \]

4. تيز رفتاري ویکٹر
تيز رفتاري ویکٹر وقت جي حوالي سان رفتار ویکٹر جو مشتق آهي. اهو في يونٽ وقت جي ڪنهن شئي جي رفتار جي تبديلي جي شرح کي ظاهر ڪري ٿو. جيڪڏهن \(\vec{v}(t)\) وقت جي حوالي سان رفتار جو هڪ فنڪشن آهي، ته تيز رفتاري ویکٹر \(\vec{a}(t)\) \(\vec{v}(t)\) جو مشتق آهي:
\[ \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}(t)}{dt} \]

5. فورس ویکٹر
نيوٽن جي ٻئي قانون موجب، قوت ماس ​​۽ تيزي جي پيداوار آهي. قوت پڻ هڪ ویکٹر آهي ڇاڪاڻ ته ان ۾ شدت ۽ هدايت ٻئي آهن. جيڪڏهن m ماس آهي ۽ \(\vec{a}\) تيزي ویکٹر آهي، ته پوءِ قوت ویکٹر \(\vec{F}\) کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ \vec{F} = m\vec{a} \]

6. يونٽ ویکٹر
يونٽ ویکٹر هڪ ویکٹر آهي جنهن جي ڊيگهه (ڊيگهه) هڪ آهي. هڪ ویکٹر \(\vec{v}\) جو يونٽ ویکٹر \(\vec{v}\) کي ان جي شدت سان ورهائي حاصل ڪري سگهجي ٿو. جيڪڏهن \(\vec{v}\) جو مقدار \(||\vec{v}||\) آهي، ته پوءِ ان جي يونٽ ویکٹر کي هن طرح لکي سگهجي ٿو:
\[ \hat{v} = \frac{\vec{v}}{||\vec{v}||} \]

7. زيرو ویکٹر
هڪ صفر ویکٹر هڪ ویکٹر آهي جنهن جا سڀئي جزا صفر آهن، ۽ عام طور تي \(\vec{0}\) سان ظاهر ڪيو ويندو آهي. هن ویکٹر جي ڪا به هدايت ناهي ۽ ان جي شدت صفر آهي. ٽي-dimensional خلا ۾ هڪ مثال آهي:
\[ \vec{0} = \شروع{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \آخر{pmatrix} \]

8. آرٿوگونل ویکٹر
ٻن ویکٹرن کي آرٿوگونل چيو ويندو آهي جيڪڏهن انهن جي اندروني پيداوار صفر آهي. جيڪڏهن \(\vec{u}\) ۽ \(\vec{v}\) ٻه ویکٹر آهن، ته پوءِ اهي آرٿوگونل آهن جيڪڏهن:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \]

9. ڪولينيئر ویکٹر ۽ ڪوپلانار ویکٹر
ٻہ ویکٹر جيڪڏهن ساڳي سڌي لڪير تي هجن يا متوازي هجن ته انهن کي ڪولينيئر چيو ويندو آهي. انهن کي هڪ ٻئي جي اسڪيلر ضربن جي طور تي ظاهر ڪري سگهجي ٿو. مثال طور:
\[ \vec{v} = ڪ\vec{u} \]
ڪجھ اسڪيلر \(k\) لاءِ.

ساڳئي وقت، ٽي ویکٹر ڪوپلنر چيو ويندو آهي جيڪڏهن اهي ساڳئي جهاز ۾ هوندا آهن. انهن کي ٻين ٻن ویکٹرن جي هڪ لڪير واري ميلاپ جي طور تي ظاهر ڪري سگهجي ٿو.

ویکٹرز تي آپريشن

1. ویکٹر جو اضافو ۽ گھٽتائي
ویکٹر جو اضافو انهن جي لاڳاپيل حصن کي شامل ڪندي ڪيو ويندو آهي. جيڪڏهن \(\vec{u} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}\) ۽ \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), ته پوءِ:
\[ \vec{u} + \vec{v} = \شروع{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ u_3 + v_3 \آخر{pmatrix} \]

گھٽائڻ لاڳاپيل حصن کي گھٽائڻ سان ڪيو ويندو آهي:
\[ \vec{u} – \vec{v} = \شروع{pmatrix} u_1 – v_1 \\ u_2 – v_2 \\ u_3 – v_3 \آخر{pmatrix} \]

2. اسڪيلر ضرب
اسڪيلر ضرب هڪ آپريشن آهي جنهن ۾ هڪ ویکٹر شامل آهي جنهن ۾ هڪ اسڪيلر (عددي قدر) آهي. جيڪڏهن k هڪ اسڪيلر آهي ۽ \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\), ته پوءِ:
\[ k\vec{v} = \شروع{pmatrix} kv_1 \\ kv_2 \\ kv_3 \آخر{pmatrix} \]

3. اندروني پراڊڪٽ (ڊٽ پراڊڪٽ)
ٻن ویکٹرن \(\vec{u}\) ۽ \(\vec{v}\) جي اندروني پيداوار هڪ اسڪيلر آهي. ان جو حساب هن ريت ڪري سگهجي ٿو:
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \]

4. ڪراس پراڊڪٽ
ٻن ویکٹرن \(\vec{u}\) ۽ \(\vec{v}\) جو ڪراس پراڊڪٽ هڪ نئون ویکٹر پيدا ڪري ٿو جيڪو انهن ٻنهي ویکٹرن لاءِ آرٿوگونل آهي. ٽي-dimensional خلا ۾، اهو حساب ڪيو ويندو آهي:
\[ \vec{u} \times \vec{v} = \شروع{vmatrix}
\ ٽوپي{i} ۽ \ ٽوپي{j} ۽ \ ٽوپي{k} \\
يو_1 ۽ يو_2 ۽ يو_3 \\
v_1 ۽ v_2 ۽ v_3
\ آخر { وي ميٽرڪس} \]

نتيجو

ویکٹر اصطلاحن ۽ نوٽيشن کي سمجهڻ، انهي سان گڏ انهن جي قسمن کي، مختلف سائنسي شعبن ۾ اهم آهي. ویکٹر صرف تجريدي رياضياتي ادارا نه آهن، پر فزڪس، انجنيئرنگ، ۽ انفارميشن ٽيڪنالاجي تجزيي ۾ طاقتور اوزار پڻ آهن. انهن بنيادي تصورن جي سٺي سمجھ سان، اسان مختلف شعبن ۾ پيچيده مسئلن کي وڌيڪ آساني سان حل ڪري سگهون ٿا.