پوزيشن ویکٹر تي بحث ڪرڻ واري مسئلن جي مثال
ویکٹر رياضي ۽ فزڪس ۾ هڪ بنيادي تصور آهي، جيڪو مقدارن کي هدايت ۽ شدت ٻنهي سان نمائندگي ڪري ٿو. مختلف ايپليڪيشنن ۾، ویکٹر اڪثر ڪري پوزيشن، رفتار، قوت، ۽ ٻين ڪيترن ئي پيرا ميٽرز کي بيان ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيا ويندا آهن. مختلف قسمن جي ویکٹرن مان، پوزيشن ویکٹر خلا ۾ هڪ نقطي جي جڳهه جي نقشي ۾ اهم ڪردار ادا ڪن ٿا.
پوزيشن ویکٹر جي تعريف
پوزيشن ویکٹر هڪ ویکٹر آهي جيڪو ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ اصليت جي نسبت سان هڪ نقطي جي جڳهه کي بيان ڪري ٿو. عام طور تي، هڪ پوزيشن ویکٹر ڪارٽيسين ڪوآرڊينيٽ فارم ۾ لکيو ويندو آهي جيئن:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
هتي، \(\mathbf{r}\) پوزيشن ویکٹر آهي، \(x\), \(y\), ۽ \(z\) ترتيب وار \(x\), \(y\)، ۽ \(z\) محور سان گڏ ان جا جزا آهن، جڏهن ته \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), ۽ \(\mathbf{k}\) ترتيب وار ڪوآرڊينيٽ محور جي متوازي يونٽ ویکٹر آهن. ٻہ-dimensional خلا ۾، \(z\) جزو عام طور تي موجود نه هوندو آهي، تنهن ڪري پوزيشن ویکٹر ٿيندو آهي:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
پوزيشن ویکٹر ايپليڪيشنون
مثال طور، فزڪس ۾، پوزيشن ویکٹر شين جي حرڪت کي بيان ڪرڻ ۾ اهم ڪردار ادا ڪن ٿا. ڪنهن به شيءِ جي اصليت (حوالو نقطو) جي نسبت سان پوزيشن ویکٹر جي نمائندگي ڪري سگهجي ٿي. وڌيڪ، ميڪيڪل انجنيئرنگ ۾، قوتن ۽ لمحن جي حسابن ۾ اڪثر پوزيشن ویکٹر جو استعمال شامل هوندو آهي.
پوزيشن ویکٹرز جا مثال سوال ۽ بحث
سوال 1
فرض ڪريو ته 3D اسپيس ۾ ٻه نقطا آهن، پوائنٽ A جيڪو ڪوآرڊينيٽس سان \( (1, 2, 3) \) ۽ پوائنٽ B جيڪو ڪوآرڊينيٽس سان \( (4, 0, -2) \). پوائنٽس A ۽ B جي پوزيشن ویکٹرز جو تعين ڪريو. ان کان علاوه، پوائنٽ A کي پوائنٽ B سان ڳنڍيندڙ ویکٹر جو حساب ڪريو.
بحث:
پوائنٽ الف لاءِ پوزيشن ویکٹر:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
پوائنٽ ب لاءِ پوزيشن ویکٹر:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
اڳيون، پوائنٽ A کي پوائنٽ B سان ڳنڍڻ واري ویکٹر کي ڳولڻ لاءِ (جنهن کي \(\mathbf{AB}\) سڏيو ويندو آهي)، اسان کي A جي پوزيشن ویکٹر کي B جي پوزيشن ویکٹر مان گھٽائڻو پوندو:
\[ \ميٿ بي ايف{اي بي} = \ميٿ بي ايف{آر_بي} – \ميٿ بي ايف{آر_اي} \]
تنهن ڪري، مٿي ڏنل ٻن پوزيشن ویکٹرن کي متبادل بڻايو:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) - (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 - 1)\mathbf{i} + (0 - 2)\mathbf{j} + (-2 - 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
تنهن ڪري، نقطي A کي B سان ڳنڍيندڙ ویکٹر \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \) آهي.
سوال 2
جيڪڏهن هڪ نقطو P 2D جهاز ۾ \((2, 3)\) تي آهي، ته پوزيشن ویکٹر \(\mathbf{r_P}\) جي ڊيگهه (معمول) ڳولهيو.
بحث:
پوائنٽ P جو پوزيشن ویکٹر:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
پوزيشن ویکٹر \(\mathbf{r_P}\) جي ڊيگهه کي ویکٹر نارم (يا ڊيگهه) فارمولا استعمال ڪندي ڳڻپيو وڃي ٿو:
\" mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
\(x\) ۽ \(y\) جي قدرن کي تبديل ڪريو:
\" mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\" mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\" mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
تنهن ڪري، پوزيشن ویکٹر \(\mathbf{r_P}\) جي ڊيگهه \(\sqrt{13}\) آهي.
سوال 3
فرض ڪريو هڪ نقطو Q \( (5, -4, 2) \) تي آهي. پوزيشن ویکٹر \(\mathbf{r_Q}\) ۽ \(x\) محور جي وچ ۾ زاويه ڳولهيو.
بحث:
پوائنٽ Q جو پوزيشن ویکٹر:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
ویکٹر \(\mathbf{r_Q}\) ۽ \(x\) محور جي وچ ۾ زاويه ڳولڻ لاءِ، اسان ڊاٽ پراڊڪٽ جي تصور کي استعمال ڪري سگهون ٿا. پهرين، اسان \(\mathbf{r_Q}\) ۽ \(\mathbf{i}\) جي وچ ۾ ڊاٽ پراڊڪٽ جو تعين ڪريون ٿا:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \
جيئن ته \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\)، \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\)، ۽ \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\)، پوءِ:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
\(\mathbf{r_Q}\) جو معيار:
\" mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\" mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\" mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\" mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
\(\mathbf{i}\) جو معمول 1 آهي، ڇاڪاڻ ته \(\mathbf{i}\) هڪ يونٽ ویکٹر آهي.
زاويه \(\theta\) ڳولڻ لاءِ ڊاٽ پراڊڪٽ فارمولا استعمال ڪندي:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| mathbf{r_Q} \| \| mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\ٿيٽا = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
تنهنڪري پوزيشن ویکٹر \(\mathbf{r_Q}\) ۽ \(x\) محور جي وچ ۾ زاويه \(\theta\) آهي:
\[ \ٿيٽا = \cos^{-1} \کاٻو(\frac{\sqrt{5}}{3}\right) \]
نتيجو
سائنس ۽ انجنيئرنگ ۾ پوزيشن ویکٹر اهم ڪردار ادا ڪن ٿا، خاص طور تي ڪوآرڊينيٽ اسپيس ۾ شين جي پوزيشن جي نقشي ۾. مٿي ڏنل مثال ڏيکارين ٿا ته پوزيشن ویکٹر، انهن جي ڊيگهه، ۽ انهن ۽ ڪوآرڊينيٽ محور جي وچ ۾ زاوين جو حساب ڪيئن ڪجي. انهن بنيادي تصورن کي سمجهڻ رياضي ۽ فزڪس ۾ خلا ۽ ڪوآرڊينيٽ سان لاڳاپيل مختلف مسئلن کي حل ڪرڻ ۾ قيمتي آهي.
