ڪالمن ویکٹر ۽ قطار ویکٹر تي بحث ڪندڙ مثال سوال
رياضي ۾، خاص طور تي لڪير الجبرا ۾، ویکٹر هڪ بنيادي تصور آهي جيڪو اڪثر مختلف ايپليڪيشنن ۾ استعمال ٿيندو آهي، فزڪس ماڊلنگ کان وٺي ڪمپيوٽيشن تائين. ڪالمن ویکٹر ۽ قطار ویکٹر ویکٹر نمائندگي جا ٻه روپ آهن، هر هڪ پنهنجي خاصيتون ۽ استعمال سان. هي مضمون مثال جي مسئلن ۽ انهن جي حلن تي بحث ڪندو جيڪي ڪالمن ویکٹر ۽ قطار ویکٹر سان لاڳاپيل آهن.
ڪالمن ویکٹر ۽ رو ویکٹر جي تعريف
مثال جي سوالن ۽ انهن جي بحث ۾ وڃڻ کان اڳ، اچو ته پهريان ڪالمن ویکٹر ۽ قطار ویکٹر جي بنيادي وصفن جو جائزو وٺون.
- ڪالمن ویکٹر اهي ویکٹر آهن جيڪي هڪ ڪالمن ۾ ترتيب ڏنل آهن، يعني هڪ عمودي طول و عرض. مثال:
\[
\mathbf{v} = \شروع{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
- قطار ویکٹر قطارن ۾ ترتيب ڏنل ویکٹر آهن، يعني هڪ افقي طول و عرض ۾. مثال:
\[
\mathbf{w} = \شروع{pmatrix} 5 ۽ 1 ۽ 7 \آخر{pmatrix}
\]
مثال 1: ڪالمن ویکٹر شامل ڪرڻ
سوال:
هيٺ ڏنل ٻن ڪالمن ویکٹرن کي ڏنو ويو آهي:
\[
\mathbf{u} = \شروع{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\ آخر { پي ميٽرڪس}، \ چوٿون \ ميٿ بي ايف { وي} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
4 \\
1 \\
0
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
ٻن ڪالمن ویکٹرن جي رقم جو حساب ڪريو.
حل:
ٻن ڪالمن ویکٹرن جو اضافو انهن جي لاڳاپيل عنصرن کي شامل ڪندي ڪيو ويندو آهي.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \شروع{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\ آخر { پي ميٽرڪس} + \ شروعات { پي ميٽرڪس}
4 \\
1 \\
0
\ آخر { پي ميٽرڪس} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\ آخر { پي ميٽرڪس} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
5 \\
3 \\
3
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
تنهن ڪري، \(\mathbf{u}\) ۽ \(\mathbf{v}\) جو مجموعو \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) آهي.
مثال سوال 2: قطار ویکٹر شامل ڪرڻ
سوال:
هيٺ ڏنل ٻن قطار ویکٹرن کي ڏنو ويو آهي:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 ۽ 4 ۽ 6 \end{pmatrix}، \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 ۽ 3 ۽ 5 \end{pmatrix}
\]
ٻن قطارن جي ویکٹرن جي مجموعي جو حساب ڪريو.
حل:
ٻن قطار ویکٹرن جو اضافو لاڳاپيل عنصرن کي شامل ڪندي ڪيو ويندو آهي.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 ۽ 4 ۽ 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 ۽ 3 ۽ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 ۽ 4 + 3 ۽ 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 ۽ 7 ۽ 11 \end{pmatrix}
\]
تنهن ڪري، \(\mathbf{a}\) ۽ \(\mathbf{b}\) جو مجموعو \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) آهي.
مثال 3: ڪالمن ویکٹرز ذريعي اسڪيلر ضرب
سوال:
هڪ ڪالم ویکٹر \(\mathbf{c}\) ۽ هڪ اسڪيلر \(k\) ڏنو ويو آهي:
\[
\mathbf{c} = \شروع{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}، \quad k = 2
\]
اسڪيلر ضرب جو نتيجو ڳڻيو.
حل:
ڪالمن ویکٹر سان اسڪيلر ضرب، ویکٹر جي هر عنصر کي اسڪيلر سان ضرب ڏيڻ سان ڪيو ويندو آهي.
\[
k\mathbf{c} = 2 \شروع{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\ آخر { پي ميٽرڪس} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
2 ڀيرا -3 \\
2 ڀيرا 4
2 \ ڀيرا 5
\ آخر { پي ميٽرڪس} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
-6 \\
8 \\
10
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
تنهن ڪري، اسڪيلر \(2\) کي ڪالمن ویکٹر \(\mathbf{c}\) سان ضرب ڪرڻ جو نتيجو \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) آهي.
مثال سوال 4: قطار ویکٹرز ذريعي اسڪيلر ضرب
سوال:
هڪ قطار ویکٹر \(\mathbf{d}\) ۽ هڪ اسڪيلر \(m\) ڏنو ويو آهي:
\[
\mathbf{d} = \شروع{pmatrix} 7 ۽ -2 ۽ 1 \end{pmatrix}، \quad m = -3
\]
اسڪيلر ضرب جو نتيجو ڳڻيو.
حل:
قطار جي ویکٹر سان اسڪيلر ضرب، ویکٹر جي هر عنصر کي اسڪيلر سان ضرب ڏيڻ سان ڪيو ويندو آهي.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 ۽ -2 ۽ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 ۽ -3 \times -2 ۽ -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 ۽ 6 ۽ -3 \end{pmatrix}
\]
تنهن ڪري، اسڪيلر \(-3\) کي قطار ویکٹر \(\mathbf{d}\) سان ضرب ڪرڻ جو نتيجو \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) آهي.
مثال 5: ميٽرڪس \(1 \times 3\) کي \(3 \times 1\) سان ضرب (قطار ویکٹر ڪالمن ویکٹر سان)
سوال:
ڏنو ويو هڪ قطار ویکٹر \(\mathbf{e}\) ۽ هڪ ڪالمن ویکٹر \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \شروع{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}، \quad \mathbf{f} = \شروع{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
ٻن ویکٹرن جي پيداوار جو حساب ڪريو.
حل:
ميٽرڪس ضرب ڪرڻ لاءِ، قطار ویکٹر \(\mathbf{e}\) کي \(1 \times 3\) ميٽرڪس طور سمجهيو ويندو آهي، ۽ ڪالمن ویکٹر \(\mathbf{f}\) کي \(3 \times 1\) ميٽرڪس طور سمجهيو ويندو آهي. هن ضرب جو نتيجو هڪ اسڪيلر آهي، يعني لاڳاپيل عنصرن جي پيداوار جو مجموعو:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \شروع{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \ ڀيرا 5) + (-1 \ ڀيرا 3) + (4 \ ڀيرا -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
تنهن ڪري، قطار ویکٹر \(\mathbf{e}\) کي ڪالمن ویکٹر \(\mathbf{f}\) سان ضرب ڪرڻ جو نتيجو \(-1\) آهي.
مثال 6: ميٽرڪس \(3 \times 1\) کي \(1 \times 3\) سان ضرب (ڪالمن ویکٹر بذريعہ قطار ویکٹر)
سوال:
هڪ ڪالم ویکٹر \(\mathbf{g}\) ۽ هڪ قطار ویکٹر \(\mathbf{h}\) ڏنو ويو آهي:
\[
\mathbf{g} = \شروع{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 ۽ 5 ۽ 6 \end{pmatrix}
\]
ٻن ویکٹرن جي پيداوار جو حساب ڪريو.
حل:
هڪ ڪالم ویکٹر جي قطار ویکٹر سان ميٽرڪس ضرب هڪ (\(3 \times 1\)) ميٽرڪس پيدا ڪري ٿو جيڪو (\(1 \times 3\)) سان ضرب ڪري ٿو جيڪو هڪ \(3 \times 3\) ميٽرڪس پيدا ڪري ٿو. هر نئون عنصر ان جي لاڳاپيل عنصرن جي پيداوار آهي:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \شروع{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\ آخر { پي ميٽرڪس} \ شروعات { پي ميٽرڪس} 4 ۽ 5 ۽ 6 \ آخر { پي ميٽرڪس} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
1 \ ڀيرا 4 ۽ 1 \ ڀيرا 5 ۽ 1 \ ڀيرا 6 \
2 \ ڀيرا 4 ۽ 2 \ ڀيرا 5 ۽ 2 \ ڀيرا 6 \
3 \ ڀيرا 4 ۽ 3 \ ڀيرا 5 ۽ 3 \ ڀيرا 6
\ آخر { پي ميٽرڪس} = \ شروعات { پي ميٽرڪس}
4 ۽ 5 ۽ 6 \\
8 ۽ 10 ۽ 12 \\
12 ۽ 15 ۽ 18
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
تنهن ڪري، ڪالم ویکٹر \(\mathbf{g}\) کي قطار ویکٹر \(\mathbf{h}\) سان ضرب ڪرڻ جو نتيجو ميٽرڪس آهي:
\[
\شروع ڪريو{pmatrix}
4 ۽ 5 ۽ 6 \\
8 ۽ 10 ۽ 12 \\
12 ۽ 15 ۽ 18
\ آخر { پي ميٽرڪس}
\]
نتيجو
هن مضمون ۾، اسان ڪالم ۽ قطار ویکٹر سان لاڳاپيل ڪيترائي مثال ڏٺا آهن. ڪالم ۽ قطار ویکٹر ٻنهي جو اضافو انهن جي لاڳاپيل عنصرن کي شامل ڪندي حاصل ڪيو ويندو آهي. هڪ ویکٹر پاران اسڪيلر ضرب پڻ ویکٹر جي هر عنصر کي اسڪيلر سان ضرب ڪندي حاصل ڪيو ويندو آهي. آخرڪار، اسان سکيو آهي ته قطار ۽ ڪالم ویکٹر کي ڪيئن ضرب ڪجي، انهن جي ترتيب تي منحصر ڪري، هڪ اسڪيلر يا ميٽرڪس حاصل ڪجي. انهن بنيادي عملن تي عبور حاصل ڪرڻ لڪير الجبرا ۽ ڊيٽا تجزيي ۾ وڌيڪ پيچيده ايپليڪيشنن لاءِ اهم آهي.
