ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ ٻہ-جہتي ویکٹر تي بحث ڪندڙ مثال سوال
ویکٹر هڪ مقدار آهي جنهن جي شدت ۽ هدايت ٻئي آهن. ویکٹر اڪثر ڪري مختلف رياضي ۽ فزڪس جي موضوعن ۾ مختلف رجحانن جي نمائندگي ڪرڻ لاءِ استعمال ٿيندا آهن. هن آرٽيڪل ۾، اسان هڪ ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ ٻه-dimensional ویکٹر جي مثالن تي بحث ڪنداسين.
ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ ویکٹر جا بنيادي تصور
هڪ ٻه-dimensional ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ هڪ ویکٹر کي \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) طور پيش ڪري سگهجي ٿو، جتي \(a_1\) ویکٹر جو x-ڪمپوننٽ آهي ۽ \(a_2\) ویکٹر جو y-ڪمپوننٽ آهي. ویکٹر کي ٻن حصن ۾ ورهائي سگهجي ٿو، يعني x-ڪمپوننٽ ۽ y-ڪمپوننٽ.
ویکٹر جو اضافو ۽ گھٽائڻ
ٻن ویکٹرن \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ۽ \(\vec{B} = (b_1, b_2)\) جو اضافو آهي:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
\]
جڏهن ته گهٽتائي آهي:
\[
\vec{A} – \vec{B} = (a_1 – b_1, a_2 – b_2)
\]
اسڪيلر ضرب
جيڪڏهن \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) ۽ \(k\) هڪ اسڪيلر آهي، ته پوءِ \(k\vec{A}\) آهي:
\[
ڪ\ويڪ{اي} = (ڪ \سي ڊاٽ a_1، ڪ \سي ڊاٽ a_2)
\]
ویکٹر جي شدت
ویکٹر جي شدت يا ڊيگهه \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) آهي:
\[
|\vec{A}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}
\]
يونٽ ویکٹر
يونٽ ویکٹر هڪ ویکٹر آهي جنهن جي ڊيگهه هڪ يونٽ جيتري آهي. \(\vec{A} = (a_1, a_2)\) جو يونٽ ویکٹر آهي:
\[
\hat{A} = \frac{\vec{A}}{|\vec{A}|} = \left( \frac{a_1}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}}, \frac{a_2}{\sqrt{a_1^2 + a_2^2}} \right)
\]
نموني سوال ۽ بحث
سوال 1: ویکٹرن جو اضافو ۽ گھٽائڻ
ٻہ ویکٹر ھيٺ ڏنل آھن: \(\vec{A} = (3, 4)\) ۽ \(\vec{B} = (1, 2)\). \(\vec{A} + \vec{B}\) ۽ \(\vec{A} – \vec{B}\) جي پيداوار ڳولھيو.
بحث:
\[
\vec{A} + \vec{B} = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
\]
\[
\vec{A} – \vec{B} = (3 – 1, 4 – 2) = (2, 2)
\]
سوال 2: اسڪيلر ضرب
ویکٹر \(\vec{C} = (2, -3)\) کي ڏنو ويو، \(3\vec{C}\) ۽ \(-2\vec{C}\) جو حساب ڪريو.
بحث:
\[
3\vec{C} = 3 \cdot (2, -3) = (6, -9)
\]
\[
-2\vec{C} = -2 \cdot (2, -3) = (-4, 6)
\]
سوال 3: ویکٹر جي شدت
ویکٹر جي شدت جو حساب ڪريو \(\vec{D} = (5, 12)\).
بحث:
\[
|\vec{D}| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13
\]
سوال 4: يونٽ ویکٹر
ویکٹر \(\vec{E} = (4, 3)\) جو يونٽ ویکٹر ڳوليو.
بحث:
\[
|\vec{E}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]
\[
\ ٽوپي{اي} = \ فريڪ{\ ويڪ{اي}}{|\ ويڪ{اي}|} = \ کاٻو( \ فريڪ{4}{5}, \ فريڪ{3}{5} \ ساڄي)
\]
سوال 5: ویکٹرن جي پوزيشن ۽ فاصلو
ٻہ-dimensional ڪوآرڊينيٽ جهاز ۾ ٻہ نقطا P(2, 3) ۽ Q(5, 7) آهن. پوائنٽ P کان پوائنٽ Q تائين پوزيشن ویکٹر ۽ انهن جي وچ ۾ فاصلو طئي ڪريو.
بحث:
P کان Q تائين پوزيشن ویکٹر آهي:
\[
\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
\]
پوائنٽس P ۽ Q جي وچ ۾ فاصلو آهي:
\[
|\vec{PQ}| = \sqrt{(3)^2 + (4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
سوال 6: ڊاٽ پراڊڪٽ جو نتيجو
جيڪڏهن \(\vec{F} = (-3, 4)\) ۽ \(\vec{G} = (2, 1)\)، ته \(\vec{F} \cdot \vec{G}\) جي ڊاٽ پراڊڪٽ جو حساب ڪريو.
بحث:
ٻن ویکٹرن جي ڊاٽ پراڊڪٽ آهي:
\[
\vec{F} \cdot \vec{G} = (-3) \cdot 2 + 4 \cdot 1 = -6 + 4 = -2
\]
سوال 7: ٻن ویکٹرن جي وچ ۾ زاويه
جيڪڏهن \(\vec{H} = (7, -4)\) ۽ \(\vec{I} = (3, 0)\)، ٻن ویکٹرن جي وچ ۾ زاويه جو تعين ڪريو.
بحث:
ٻن ویکٹرن جي وچ ۾ زاويه کي طئي ڪرڻ لاءِ، اسان فارمولا استعمال ڪندا آهيون:
\[
\cos \theta = \frac{\vec{H} \cdot \vec{I}}{|\vec{H}| |\vec{I}|}
\]
پهرين، ڊاٽ پراڊڪٽ \(\vec{H} \cdot \vec{I}\) جو حساب ڪريو:
\[
\vec{H} \cdot \vec{I} = 7 \cdot 3 + (-4) \cdot 0 = 21 + 0 = 21
\]
پوءِ، \(\vec{H}\) ۽ \(\vec{I}\) جي شدت جو حساب ڪريو:
\[
|\vec{H}| = \sqrt{7^2 + (-4)^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}
\]
\[
|\vec{I}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3
\]
فارمولا ۾ اهي قدر داخل ڪريو:
\[
\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{65} \cdot 3} = \frac{21}{3\sqrt{65}} = \frac{7}{\sqrt{65}}
\]
تنهنڪري، \(\theta = \cos^{-1} \left( \frac{7}{\sqrt{65}} \right) \).
سوال 8: ویکٹر پروجيڪشن
ویکٹرز \(\vec{J} = (2, 1)\) ۽ \(\vec{K} = (-1, 3)\) لاءِ، \(\vec{J}\) جي پروجئشن کي \(\vec{K}\) تي ڳڻيو.
بحث:
\(\vec{J}\) جو \(\vec{K}\) تي پروجئشن آهي:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{\vec{J} \cdot \vec{K}}{|\vec{K}|^2} \right) \vec{K}
\]
پهرين، ڊاٽ پراڊڪٽ \(\vec{J} \cdot \vec{K}\) جو حساب ڪريو:
\[
\vec{J} \cdot \vec{K} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 3 = -2 + 3 = 1
\]
پوءِ، \(\vec{K}\) جي شدت:
\[
|\vec{K}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]
تان ته،:
\[
|\vec{K}|^2 = 10
\]
فارمولا ۾ داخل ڪريو:
\[
\text{proj}_{\vec{K}} \vec{J} = \left( \frac{1}{10} \right) \vec{K} = \left( \frac{1}{10} \right) (-1, 3) = \left( -\frac{1}{10}, \frac{3}{10} \right)
\]
هي هڪ ڪوآرڊينيٽ سسٽم ۾ ٻہ-dimensional ویکٹرز سان لاڳاپيل مسئلن ۽ بحثن جون مثالون آهن. ویکٹرز جي سٺي سمجھ رياضي، فزڪس ۽ انجنيئرنگ ۾ ڪيترن ئي ايپليڪيشنن ۾ مددگار ثابت ٿي سگهي ٿي. مختلف مثالن سان مشق ڪرڻ سان توهان جي هن تصور جي سمجھ کي وڌيڪ مضبوط بڻائي سگهجي ٿو، ان کي مختلف حالتن ۾ اثرائتي طور تي لاڳو ڪرڻ جي اجازت ڏئي ٿي.
