مثال سوال ۽ بحث: سنگل ڊيٽا جو فرق ۽ معياري انحراف
شماريات رياضي جي هڪ شاخ آهي جيڪا ڊيٽا جي گڏ ڪرڻ، تجزيو، تشريح، پيشڪش ۽ تنظيم سان لاڳاپيل آهي. شماريات ۾ ٻه اهم تصور ويرينس ۽ معياري انحراف آهن. هي مضمون ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن ذريعي هڪ ڊيٽا سيٽ جي ويرينس ۽ معياري انحراف کي ڪيئن ڳڻيو وڃي ان تي تفصيل سان بحث ڪندو.
ويرينس ۽ معياري انحراف کي سمجھڻ
ويرينس هڪ ماپ آهي جيڪا مقدار ٻڌائي ٿي ته ڊيٽا سيٽ ۾ انگ سراسري يا سراسري کان ڪيتري پري پکڙيل آهن. ويرينس اصل ڊيٽا جي چورس يونٽن ۾ ظاهر ڪيو ويندو آهي، جنهن جي ڪري ان کي اڪثر تشريح ڪرڻ ڏکيو ٿي ويندو آهي.
معياري انحراف ويرينس جو چورس روٽ آهي. اهو هڪ وڌيڪ وجداني ماپ فراهم ڪري ٿو ته ڊيٽا عام طور تي اوسط کان ڪيترو پري انحراف ڪري ٿو ڇاڪاڻ ته ان جا يونٽ ڊيٽا جي اصل يونٽن وانگر آهن.
عام فارمولو
سنگل ڊيٽا لاءِ، آبادي جي ويرينس \( \sigma^2 \) ۽ معياري انحراف \( \sigma \) لاءِ فارمولا هن ريت آهي:
1. فرق (σ²):
\( \سگما^2 = \فريڪ{1}{ن} \سم_{آءِ=1}^{ن} (x_i – \مِيو)^2 \)
2. معياري انحراف (σ):
\( \سگما = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
ڪٿي:
– \( N \) آبادي ۾ ڊيٽا جو تعداد آهي.
– \( x_i \) ith ڊيٽا ويليو آهي.
- \( \mu \) ڊيٽا جو سراسري يا سراسري آهي.
جيڪڏهن اسان نموني جي فرق ۽ معياري انحراف جو حساب ڪريون ٿا، ته مٿي ڏنل فارمولا ٿورو تبديل ڪيو ويندو:
1. نموني فرق (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. نموني معياري انحراف (ن):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
ڪٿي:
– \( n \) نموني ۾ ڊيٽا جو تعداد آهي.
– \( \bar{x} \) نموني جو سراسري يا سراسري آهي.
نموني سوال ۽ بحث
مثال سوال 1:
هيٺ ڏنل ڊيٽا کي ڏنو ويو آهي:
8، 10، 10، 10، 12، 14
ڊيٽا جي ويرينس ۽ معياري انحراف جو حساب ڪريو!
حل جا مرحلا:
1. سراسري (مطلب) \( \mu \) جي حساب سان:
\[
\mu = frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = frac{64}{6} = 10.67
\]
2. ڊيٽا ۽ اوسط جي وچ ۾ فرق ڳڻيو، پوءِ چورس ڪريو:
\[
(8 - 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 - 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 - 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 - 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 - 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 - 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. سڀ چورس نتيجا شامل ڪرڻ:
\[
جمع (x_i - \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. آبادي جي ڊيٽا جي فرق (σ²) جي حساب سان:
\[
\سگما^2 = \فريڪ{21.3534}{6} = 3.559
\]
نوٽ: جيئن ته هي ڊيٽا آبادي جي ڊيٽا طور بيان ڪيو ويو آهي، اسان 6 سان ورهايون ٿا.
5. معياري انحراف (σ) جو حساب ڪرڻ:
\[
\سگما = \اسڪوارٽ{3.559} \لڳ ڀڳ 1.886
\]
تنهن ڪري، ڊيٽا جو فرق 3.559 آهي ۽ معياري انحراف 1.886 آهي.
مثال سوال 2:
هيٺ ڏنل نموني ڊيٽا کي ڏنو ويو آهي:
5، 6، 8، 9، 10، 11
نموني جي ويرينس ۽ معياري انحراف جو حساب ڪريو!
حل جا مرحلا:
1. سراسري (وچولي) \( \bar{x} \) جو حساب ڪرڻ:
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. ڊيٽا ۽ اوسط جي وچ ۾ فرق ڳڻيو، پوءِ چورس ڪريو:
\[
(5 - 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 - 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 - 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 - 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 - 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 - 8.167)^2 = 7.945
\]
3. سڀ چورس نتيجا شامل ڪرڻ:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. نموني جي فرق (s²) جي حساب سان:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
نوٽ: جيئن ته هي نموني ڊيٽا آهي، اسان 5 (n-1) سان ورهايون ٿا.
5. معياري انحراف (ن) جو حساب ڪرڻ:
\[
s = \sqrt{5.351} \لڳ ڀڳ 2.313
\]
تنهن ڪري، نموني ڊيٽا جو فرق 5.351 آهي ۽ معياري انحراف 2.313 آهي.
نتيجو
هڪ ڏنل سيٽ اندر ڊيٽا جي پکيڙ کي سمجهڻ لاءِ ويرينس ۽ معياري انحراف جو حساب لڳائڻ ضروري آهي. جڏهن ته ويرينس اصل يونٽن جي چورس ۾ پکيڙ جي هڪ نظرياتي ماپ فراهم ڪري ٿو، معياري انحراف ڊيٽا جي اصل يونٽن جي لحاظ کان پکيڙ جي ماپ جي تشريح ڪري ٿو، ان کي سمجهڻ آسان بڻائي ٿو. ڊيٽا تجزيي ۾، اهي ٻئي ماپ اڪثر ڪري ڊيٽا جي تبديلي جو جائزو وٺڻ ۽ شمارياتي فيصلا ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيا ويندا آهن.
ضروري قدمن ۽ فارمولن کي سمجهڻ سان، اسان روزمره جي ڊيٽا گڏ ڪرڻ ۽ تجزيو ۾ منهن ڏيڻ وارن مختلف حالتن لاءِ ويرينس ۽ معياري انحراف کي آساني سان حساب ڪري سگهون ٿا. اميد آهي ته، هي مضمون سنگل ڊيٽا سيٽ ۾ ويرينس ۽ معياري انحراف جي تصورن جي گهري سمجھ فراهم ڪندو.
