گروپ ڊيٽا جي ويرينس ۽ معياري انحراف تي بحث ڪندڙ مثال سوال

گروپ ڊيٽا جي ويرينس ۽ معياري انحراف تي بحث ڪندڙ مثال سوال

پنڊال
انگن اکرن ۾، ويرينس ۽ معياري انحراف ٻه شمارياتي ماپ آهن جيڪي مطلب مان ڊيٽا جي پکيڙ، يا پکيڙ کي سمجهڻ لاءِ اهم آهن. ويرينس ماپ ڪري ٿو ته ڊيٽا اوسط کان ڪيتري پري پکڙيل آهي، جڏهن ته معياري انحراف ويرينس جو چورس روٽ آهي، هڪ ماپ مهيا ڪري ٿو جيڪو اصل ڊيٽا جي ساڳين يونٽن ۾ آهي.

تعريف
- فرق (σ² يا S²): هر ڊيٽا جي قيمت ۽ ڊيٽا جي اوسط جي وچ ۾ فرق جي چورس جو سراسري آهي.
- معياري انحراف (σ يا S): ويرينس جو چورس روٽ آهي.

گروپ ڊيٽا جي ويرينس ۽ معياري انحراف لاءِ فارمولا
گروپ ڊيٽا لاءِ، اسان هر ڪلاس ۾ ڊيٽا جي فريڪوئنسي استعمال ڪندا آهيون. هتي فارمولا آهي:

وارين
\[ ايس ^ 2 = \ فريڪ { \ رقم f_i \ کاٻي ( x_i - \ بار { x} \ ساڄي) ^ 2 }{ اين-1 } \]

معياري انحراف
\[ ايس = \اسڪوارٽ {ايس ^ 2} \]

انسان ۾:
– \( f_i \) = هر ڪلاس جي فريڪوئنسي.
– \( x_i \) = هر ڪلاس جو وچ وارو نقطو.
– \( \bar{x} \) = گروپ ڊيٽا جو سراسري.
– \( N \) = ڊيٽا جو ڪل تعداد.

نموني سوال ۽ بحث
فرض ڪريو ته اسان وٽ ڪلاسن ۾ ورهايل ماڻهن جي هڪ گروپ لاءِ وزن جو ڊيٽا آهي.

| وزن جو وقفو (ڪلوگرام) | فريڪوئنسي (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |

پهريون قدم هر ڪلاس جي وچ واري نقطي کي طئي ڪرڻ آهي ( \( x_i \) ) ۽ پوءِ اوسط (\( \bar{x} \)) جو حساب لڳايو وڃي.

1. وچ واري نقطي جي حساب ڪرڻ ( \( x_i \) )
\[ \ٽيڪسٽ{وچ پوائنٽ} = \فريڪ{\ٽيڪسٽ{هيٺين حد} + \ٽيڪسٽ{مٿين حد}}{2} \]

| وزن جو وقفو (ڪلوگرام) | فريڪوئنسي (f) | وچ وارو نقطو ( \( x_i \) ) |
|——————|————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |

2. سراسري ( \( \bar{x} \) ) جو حساب ڪرڻ
\[ \بار{x} = \فريڪ{ \جوڙ f_i x_i }{ن } \]

ڊيٽا جو ڪل تعداد \( N \):
\[ ن = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]

\[ \جوڙ f_i x_i = (2 \ ڀيرا 52) + (5 \ ڀيرا 57) + (8 \ ڀيرا 62) + (7 \ ڀيرا 67) + (3 \ ڀيرا 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]

تنهن ڪري، سراسري (\( \bar{x} \)):
\[ \بار{x} = \فريڪ{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]

3. ويرينس (\( S^2 \) ) جو حساب ڪرڻ
اسان کي حساب ڪرڻو پوندو \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):

\[
شروع ڪريو {صف ڪريو}
(x_i – \bar{x})^2: ۽ (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
۽ (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
۽ (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
۽ (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
۽ (72 – 62.8)^2 = 84.64
\ آخر { ترتيب ڏيو }
\]

تعدد سان ضرب:
\[
شروع ڪريو {صف ڪريو}
f_i (x_i – \bar{x})^2: ۽ 2 \ ڀيرا 118.84 = 237.68 \\
۽ 5 \ ڀيرا 33.64 = 168.2 \
۽ 8 \ ڀيرا 0.64 = 5.12 \
۽ 7 \ ڀيرا 17.64 = 123.48 \
۽ 3 \ ڀيرا 84.64 = 253.92
\ آخر { ترتيب ڏيو }
\]

\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]

هاڻي اسين ويرينس (\( S^2 \)) جو حساب لڳائي سگهون ٿا:
\[ ايس^2 = \فريڪ{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \فريڪ{ 788.4 }{ 24 } \لڳ ڀڳ 32.85 \]

4. معياري انحراف (\( S \) ) جو حساب لڳائڻ
معياري انحراف ( \( S \)):
\[ ايس = \اسڪوارٽ{ ايس ^ 2 } \]
\[ ايس = \اسڪوارٽ{ 32.85 } \تقريبن 5.73 \]

نتيجو
مٿي ڏنل مثال جي ڊيٽا مان، اسان وٽ آهي:
- سراسري جسماني وزن جو حساب: 62.8 ڪلوگرام
- فرق جي حساب سان: 32.85 ڪلوگرام²
- معياري انحراف جي حساب سان: 5.73 ڪلوگرام

معياري انحراف جي تشريح اها آهي ته وزن جي ڊيٽا جو سراسري انحراف اوسط کان تقريباً 5.73 ڪلوگرام آهي. هي اوسط جي نسبت ڊيٽا جي پکيڙ کي ظاهر ڪري ٿو، جيڪو اهو اندازو لڳائڻ ۾ مدد ڪري سگهي ٿو ته اسان جو ڊيٽا ڪيترو متغير آهي.

ويريئنس ۽ معياري انحراف جي مڪمل سمجھ تمام ضروري آهي، خاص طور تي انهن لاءِ جيڪي انگ اکر، تحقيق ۽ جانچ ۾ ڪم ڪري رهيا آهن، جيئن اهي گروپن يا تقسيم جي صورت ۾ ڊيٽا کي سمجهڻ جي ڪوشش ڪندا آهن. انهن ٻن ماپن کي ڪيئن ڳڻڻ ۽ تشريح ڪرڻ اهو ڄاڻڻ هٿ ۾ موجود ڊيٽا جي بنياد تي بهتر فيصلو ڪرڻ ۾ مدد ڪري سگهي ٿو.