دائري جي ٽينجنٽ لائن جي مساوات تي بحث جي سوال جي مثال

مثال طور سوال جيڪي هڪ دائري ڏانهن ٽينجنٽ لائين جي مساوات تي بحث ڪن ٿا

پنڊال
هڪ دائري جي ٽينجنٽ جي مساوات تجزياتي جاميٽري ۾ هڪ اهم موضوع آهي. هڪ دائري جي ٽينجنٽ جي مساوات کي ڪيئن طئي ڪجي اهو سمجهڻ سان وچولي کان اعليٰ سطح تي مختلف قسم جي رياضي مسئلن کي حل ڪرڻ ۾ مدد ملندي. هي مضمون مختلف مثالن جي مسئلن ۽ دائري جي ٽينجنٽ جي مساوات کي طئي ڪرڻ جي طريقن تي بحث ڪندو.

تعريف ۽ بنيادي نظريو
ڪوآرڊينيٽ جهاز ۾ هڪ دائرو عام طور تي هڪ چورس مساوات سان نمائندگي ڪري سگهجي ٿو:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
جتي \((a, b)\) دائري جو مرڪزي نقطو آهي ۽ \(r\) دائري جو ريڊيس آهي.

ڪنهن ٻاهرين نقطي کان دائري ڏانهن هڪ ٽينجنٽ هڪ لڪير آهي جيڪا دائري کي بلڪل هڪ نقطي تي ڇهندي آهي. جيڪڏهن اسان فرض ڪريون ته لڪير ۾ مساوات آهي:
\[ و = ايم ايڪس + سي \]
پوءِ اها حالت ته لڪير \(y = mx + c\) دائري جي ٽينجنٽ هوندي، ان کي هيٺ ڏنل شڪل ۾ ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ \sqrt{(a + bm)^2 – r^2} = |c| \]
جتي \(m\) ٽينجينٽ لائن جو گريڊينٽ آهي ۽ \(c\) هڪ مستقل آهي.

ٽينجنٽ لائين مساوات فارمولا
مرڪز \((0,0)\) ۽ ريڊيس \(r\) واري دائري جي ٽينجنٽ لاءِ، دائري تي نقطي \((x_1, y_1)\) تي ان جي مساوات آهي:
\[ x_1x + y_1y = r^2 \]
پر جيڪڏهن دائري جو مرڪز نقطي \((a, b)\) تي آهي، ته پوءِ مساوات هي آهي:
\[ (x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2 \]

نموني سوال ۽ بحث

سوال 1
هڪ دائرو جنهن جو مرڪز \((3, 4)\) ۽ ريڊيس 5 يونٽ آهن. نقطي \((6, 8)\) کان ٽينجنٽ لائن جي مساوات جو تعين ڪريو.

بحث:
هن مسئلي ۾، اسان کي هڪ دائرو ڏنو ويو آهي جنهن جو مرڪز \((3, 4)\) آهي، جنهن جو ريڊيس 5 آهي، ۽ اسان کي نقطي \((6, 8)\) کان ٽينجنٽ لائن جي مساوات ڳولڻ گهرجي. هتي ان کي حل ڪرڻ جا قدم آهن:

1. تصديق ڪريو ته نقطو \((6, 8)\) دائري جي اندر نه آهي: \\
\[
\sqrt{(6-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5
\]
تنهنڪري نقطو دائري تي آهي تنهنڪري ان کي ٽينجنٽ لائين ڳولڻ لاءِ استعمال ڪري سگهجي ٿو.

2. فارمولا استعمال ڪندي:
\[
(x_1 – a)(x – a) + (y_1 – b)(y – b) = r^2
\]
\[
(6 – 3) (x – 3) + (8 – 4) (y – 4) = 5^2
\]

3. مساوات کي آسان بڻايو:
\[
3(x – 3) + 4(y – 4) = 25
\]

4. ترقي ڪريو:
\[
3x – 9 + 4y – 16 = 25
\]
\[
3x + 4y – 25 = 50
\]

حاصل ڪيل ٽينجنٽ لائن جي مساوات هي آهي:
\[
3x + 4y = 50
\]

سوال 2
مساوات سان دائرو ٺاهيو \[x^2 + y^2 = 16\]. نقطي \((4, 0)\) کان ٽينجنٽ لائن جي مساوات جو تعين ڪريو.

بحث:
هڪ دائرو جنهن جو مرڪز \((0, 0)\) ۽ ريڊيس 4 يونٽ آهن. ڏنل ٻاهرئين نقطو \((4, 0)\) آهي.

1. مرڪز واري دائري لاءِ فارمولا استعمال ڪندي \((0, 0)\):
\[
x_1x + y_1y = r^2
\]

2. قدر جي متبادل:
\[
4x + 0 \cdot y = 4^2
\]

3. آسان ڪريو:
\[
4 x = 16
\]
\[
x = 4
\]

جنهن جو مطلب آهي ته، اسان وٽ ٽينجنٽ مساوات آهي:
\[
x = 4
\]

سوال 3
هڪ لڪير ٺاهيو جيڪا دائري \((x+2)^2 + (y-3)^2 = 9\) سان نقطي \((-1, 5)\) تي ٽينجنٽ هجي.

بحث:
هڪ دائرو جنهن جو مرڪز \((-2, 3)\) ۽ ريڊيس 3 يونٽ آهن. ڇڪڻ جو نقطو \((-1, 5)\) آهي.

1. پڪ ڪريو ته نقطو دائري تي آهي:
\[
((-1+2)^2 + (5-3)^2) = 1 + 4 = 5 \neq 9 \rightarrow \text{دائري تي نه}
\]
تنهن ڪري، سوال يا نقطي جي داخل ٿيڻ ۾ غلطي ٿي سگهي ٿي. جيڪڏهن \((-2, 6)\) کي ڇڪڻ جي نقطي طور ڏنو وڃي ٿو:

2. آسان ڪريو:
\[
(x_1-a)(xa) + (y_1-b)(yb) = r^2
\]
متبادل:
\[
(-2-(-2))(x+2) + (6-3)(y-3) = 9\]
نتيجو:
\[
0 + 3(y-3) = 3^2
\]
\[
3y-9=9
\]
\[
يار = 6

اهو نڪتو ۽ شخص:
y = 6 يقيني طور تي صحيح آهي.

نتيجو چيڪ ميلاپ، ياد رکڻ، ڳڻپ جا 2 طريقا.
صحيح/غلط..اهو پلس خلاصو گار. ٽي ڊي 2؛ شڪل (گرڊ) سان تصديق ڪريو. وڌيڪ سڀني ڪوريج جي دائري ۾ btns.

بس، مهرباني ۽ مون کي اميد آهي ته هي منهنجي دوستن لاءِ ڪارآمد هوندو.

ان کان علاوه، سمجھ کي مضبوط ڪرڻ جو تصور سکو.

جيڪي اڳ ۾ نه سمجهي سگهيا هئا، خدا جي مرضي سان، انهن کي وڌيڪ تفصيلي نازڪ سرجري جا مرحلا ملندا.

\[
.حقيقتون(n+x)=qa.\رنگ{روڪي ٿو}-فو.
"