مثال سوال جيڪو متوازي گرام جي طريقي کي استعمال ڪندي ٻن ویکٹرن جي اضافي تي بحث ڪري ٿو
ویکٹر اضافو فزڪس ۽ رياضي ۾ هڪ اهم تصور آهي، جيڪو اڪثر قدرتي واقعن ۽ روزمره جي زندگي جي مسئلن کي بيان ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. ٻن ویکٹرن کي شامل ڪرڻ جا ڪيترائي طريقا آهن، جن مان هڪ متوازي گرام طريقو آهي. هي طريقو نه رڳو وجداني آهي پر هڪ طاقتور تصور پڻ فراهم ڪري ٿو ته ڪيئن ٻه ویکٹر گڏجي هڪ نتيجي ۾ ویکٹر ٺاهيندا آهن. هن آرٽيڪل ۾، اسان متوازي گرام طريقو استعمال ڪندي ویکٹر اضافو جي ڪيترن ئي مثالن تي نظر وجهنداسين، انهن جي حلن سان گڏ.
ویکٹر ڇا آهي؟
مثال جي مسئلن ۾ وڃڻ کان اڳ، اسان کي ویکٹر جي بنيادي تعريف کي سمجهڻ جي ضرورت آهي. ویکٹر هڪ مقدار آهي جنهن جي شدت (ڊيگهه) ۽ هدايت ٻئي آهن. ویکٹر جي ڪلاسيڪل مثالن ۾ رفتار، تيزي، قوت، ۽ بي گھرڻ شامل آهن. هڪ ویکٹر کي ڪارٽيسين ڪوآرڊينيٽس ۾ ان جي اجزاء (i، j، k) يا ان جي ڊيگهه ۽ هدايت (زاويه) جي طور تي پيش ڪري سگهجي ٿو.
متوازي گرام جو طريقو
متوازي الگرام طريقو ٻن ویکٹرن کي شامل ڪرڻ جو هڪ طريقو آهي. هن طريقي ۾، اسان ٻن ویکٹرن کي هڪ متوازي الگرام جي ٻن پاسن جي طور تي نمائندگي ڪريون ٿا. نتيجو ڪندڙ ویکٹر ٻن ويڪٽرن جي شروعاتي نقطي کان شروع ٿيندڙ متوازي الگرام جو ڊاگونل آهي. رياضي طور تي، جيڪڏهن اسان وٽ ٻه ویکٹر \(\vec{A}\) ۽ \(\vec{B}\) آهن، ته نتيجو \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) آهي.
متوازي گرام طريقو استعمال ڪرڻ جو قدم بہ قدم طريقو هن ريت آهي:
1. شروعاتي نقطي کان ویکٹر \(\vec{A}\) ڪڍو.
2. ویکٹر \(\vec{A}\) جي آخر کان، ویکٹر \(\vec{B}\) ڪڍو.
3. شروعاتي نقطي \(\vec{A}\) کان ویکٹر \(\vec{B}\) جي متوازي هڪ لڪير ڪڍو.
4. ویکٹر \(\vec{B}\) جي آخر کان ویکٹر \(\vec{A}\) جي متوازي هڪ لڪير ڪڍو.
5. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر \(\vec{R}\) حاصل ڪرڻ لاءِ شروعاتي نقطي کان مخالف ڪنڊ تائين هڪ ويڪرو ٺاهيو.
نموني سوال ۽ بحث
سوال 1
فرض ڪريو ته اسان وٽ ٻہ ویکٹر \(\vec{A}\) ۽ \(\vec{B}\) آهن:
- \(\vec{A}\) جي ڊيگهه (شدت) 5 يونٽن جي آهي ۽ ان جي هدايت 0° آهي (يا مثبت x-محور سان گڏ)،
- \(\vec{B}\) جي ڊيگهه 3 يونٽ آهي ۽ ان جي هدايت 90° آهي (يا مثبت y-محور سان گڏ).
متوازي گرام طريقو استعمال ڪندي انهن ٻن ویکٹرن کي شامل ڪرڻ جي نتيجي ۾ ڇا قدر آهي؟
بحث:
1. ویکٹر \(\vec{A}\) کي مثبت x-محور سان 5 يونٽن جي ڊيگهه سان ٺاھيو.
2. ویکٹر \(\vec{A}\) جي آخر کان، ویکٹر \(\vec{B}\) کي مثبت y-محور سان 3 يونٽن جي ڊيگهه سان ڪڍو.
3. شروعاتي نقطي \(\vec{A}\) کان، \(\vec{B}\) جي متوازي هڪ لڪير ڪڍو.
4. \(\vec{B}\) جي آخر کان، \(\vec{A}\) جي متوازي هڪ لڪير ڪڍو.
5. نتيجو هڪ متوازي الاضلاع آهي جنهن ۾ هڪ ڊاگونل آهي جيڪو نتيجو ڪندڙ ویکٹر \(\vec{R}\) آهي.
جيئن ته \(\vec{A}\) ۽ \(\vec{B}\) هڪ ٻئي ڏانهن عمودي آهن، اسان نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي ڊيگهه کي ڳڻڻ لاءِ پٿگورين ٿيوريم استعمال ڪري سگهون ٿا:
\[ آر = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \لڳ ڀڳ 5.83 \]
نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر جي هدايت جو حساب ٽريگونوميٽري استعمال ڪندي ڪري سگهجي ٿو. جيڪڏهن \(\theta\) نتيجو ۽ \(\vec{A}\ جي وچ ۾ زاويه آهي):
\[ \ٽين(\ٿيٽا) = \فريڪ{بي}{اي} = \فريڪ{3}{5} \]
تنهنڪري:
\[ \ٿيٽا = \ٽين^{-1}\کاٻو(\فريڪ{3}{5}\ساڄو) \تقريبن 30.96^\سرڪ \]
تنهن ڪري، نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر \(\vec{R}\) جو شدت تقريباً 5.83 يونٽ آهي ۽ ان جو رخ \(\vec{A}\) کان تقريباً 30.96° آهي.
سوال 2
ٻہ ویکٹر \(\vec{C}\) ۽ \(\vec{D}\) ھيٺ ڏنل آھن:
- \(\vec{C}\) 4 يونٽن جي ڊيگهه ۽ 45° جي هدايت سان.
- \(\vec{D}\) 6 يونٽن جي ڊيگهه ۽ 120° جي هدايت سان.
ٻن ویکٹرن جي اضافي مان نتيجو ڪندڙ ویکٹر \(\vec{R}\) جو تعين ڪريو.
بحث:
ٻه ویکٹر شامل ڪرڻ لاءِ جيڪي هڪ ٻئي سان عمودي نه آهن يا مختلف شڪلن ۾ آهن، توهان ڪارٽيسين جزا استعمال ڪري سگهو ٿا.
1. \(\vec{C}\) ۽ \(\vec{D}\) کي x ۽ y حصن ۾ ٽوڙيو.
\(\vec{C}\) لاءِ:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \لڳ ڀڳ 2.83 \]
\[ C_y = C \گناھ (45^\سرڪ) = 4 \گناھ (45^\سرڪ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \لڳ ڀڳ 2.83 \]
\(\vec{D}\) لاءِ:
\[ ڊي_ايڪس = ڊي \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \گناھ (120^\سرڪ) = 6 \گناھ (120^\سرڪ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \لڳ ڀڳ 5.20 \]
2. ٻنهي ویکٹرن جا x ۽ y جزا شامل ڪريو:
\[ آر_ايڪس = سي_ايڪس + ڊي_ايڪس = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
\[ آر_وائي = سي_وائي + ڊي_وائي = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]
3. نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر \(\vec{R}\) جي شدت ۽ هدايت جو حساب ڪريو:
\[ آر = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \لڳ ڀڳ 8.03 \]
\[ \ٿيٽا = \ٽين^{-1}\ليفٽ(\فريڪ{آر_ي}{آر_ڪس}\ساڄو) = \ٽين^{-1}\ليفٽ(\فريڪ{8.03}{-0.17}\ساڄو) \تقريبن \ٽين^{-1}(-47.24) \]
جيئن ته نتيجو منفي آهي، اسان صحيح چوٿون نظام ۾ زاويه حاصل ڪرڻ لاءِ 180° شامل ڪريون ٿا:
\[ \ٿيٽا \تقريبن \ٽين^{-1}(47.24) + 180^\سرڪ \تقريبن 271.93^\سرڪ \]
تنهن ڪري، نتيجي ۾ ايندڙ ویکٹر \(\vec{R}\) جو شدت تقريباً 8.03 يونٽ ۽ رخ تقريباً 271.93° آهي، يا اسان چوٿين ڪواڊرنٽ ۾ منفي x-محور کان تقريباً 91.93° چئي سگهون ٿا.
پينوٽ اپ
متوازي گرام طريقو ٻن ویکٹرن کي شامل ڪرڻ جو هڪ مؤثر ۽ بصري طريقو آهي. جڏهن ته هي طريقو سادي ویکٹرن لاءِ سادو لڳي سگهي ٿو، اهو سمجهڻ ضروري آهي ته وڌيڪ پيچيده ویکٹرن لاءِ، اسان کي اڪثر ڪارٽيسين اجزاء ۽ وڌيڪ جديد الجبري ٽيڪنڪ استعمال ڪرڻ جي ضرورت آهي ته جيئن صحيح نتيجا حاصل ڪري سگهجن. اميد آهي ته، مٿي ڏنل مثال هڪ واضح تصوير فراهم ڪن ٿا ته هي طريقو مختلف حالتن ۾ ڪيئن لاڳو ڪري سگهجي ٿو.
