تعين جي کوٽائي تي بحث جي سوال جي مثال
تعين جي کوٽائي (R²) ريگريشن تجزيي ۾ هڪ اهم پيرا ميٽر آهي، جيڪو ظاهر ڪري ٿو ته ريگريشن ماڊل ڊيٽا جي حقيقي تبديلي کي ڪيتري سٺي نموني سان بيان ڪري ٿو. هن آرٽيڪل ۾، اسان هڪ تفصيلي مثال ۽ بحث ذريعي تعين جي کوٽائي جي تصور کي بيان ڪنداسين.
تعين جي کوٽائي جو بنيادي تصور
تعين جو ڪوفيشيٽ يا \( R^2 \) 0 کان 1 جي پيماني تي ماپيو ويندو آهي، جتي:
– \( R^2 = 0 \) ظاهر ڪري ٿو ته ريگريشن ماڊل ڊيٽا جي متغيريت کي بلڪل به بيان ڪرڻ جي قابل ناهي.
– \( R^2 = 1 \) ڏيکاري ٿو ته ريگريشن ماڊل ڊيٽا جي سڀني تبديلين کي مڪمل طور تي بيان ڪرڻ جي قابل آهي.
تعين جي کوٽائي جي حساب لاءِ بنيادي فارمولو هي آهي:
\[ آر ^ 2 = 1 – \فريڪ{ايس ايس آر}{ايس ايس ٽي} \]
ڪٿي:
- SSR (اسڪوائرڊ ريزيڊيولز جو مجموعو) ماڊل ۽ حقيقي قدرن جي پيشنگوئي ڪيل قدرن جي وچ ۾ فرق جي چورس جو مجموعو آهي.
- ايس ايس ٽي (چوڪن جو ڪُل مجموعو) اصل قدر ۽ اصل قدرن جي اوسط جي وچ ۾ فرق جي چورس جي مجموعن جو مجموعو آهي.
مسئلن جو مثال
اچو ته هڪ مثال واري مسئلي تي بحث ڪريون ته جيئن تعين جي کوٽائي جي حساب کي وڌيڪ کوٽائي ۾ سمجهي سگهجي.
مسئلن جو مثال:
فرض ڪريو ته اسان وٽ 10 شاگردن جي مطالعي جي ڪلاڪن (X) ۽ امتحان جي نمبرن (Y) جو ڊيٽا آهي:
| شاگرد | پڙهائي جا ڪلاڪ (X) | امتحان جو نمبر (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
اسين هڪ سادو لڪير ريگريشن ماڊل ٺاهينداسين جتي امتحان جا اسڪور (Y) مطالعي جي ڪلاڪن (X) جي بنياد تي پيش ڪيا ويندا.
بحث مباحثو
1. هڪ سادي لڪير ريگريشن ماڊل ٺاهڻ
هڪ سادي لڪير ريگريشن ماڊل جي شڪل هي آهي:
\[ وائي = الف + ب ايڪس \]
ڪٿي:
– \( Y \) پيشنگوئي ڪيل ٽيسٽ اسڪور آهي.
– \( X \) مطالعي جي ڪلاڪن جو تعداد آهي.
– \( a \) انٽرسيپٽ آهي (Y محور تي چونڪ جو نقطو جڏهن X = 0 هجي).
– \( b \) ڍلون آهي (رجعت واري لڪير جو جهڪاءُ).
پيرا ميٽرز \( a \) ۽ \( b \) کي ڳڻڻ لاءِ، اسان هيٺ ڏنل فارمولا استعمال ڪريون ٿا:
\[ ب = \frac{ن(\مجموعو{XY}) – (\مجموعو{ايڪس})(\مجموعو{وائي})}{ن(\مجموعو{ايڪس^2}) – (\مجموعو{ايڪس})^2} \]
\[ الف = \فريڪ{\سم{وائي} – ب(\سم{ايڪس})}{ن} \]
جتي \( n \) ڊيٽا جو تعداد آهي (هن صورت ۾ n = 10).
ٽيبل مان اسين حساب ڪري سگھون ٿا:
- \(\جوڙ{X} = 36\)
- \(\جوڙ{Y} = 704\)
- \(\جوڙ{X^2} = 140\)
- \(\جوڙ{Y^2} = 50428\)
- \(\مجموعو{XY} = 2576\)
اچو ته پهريان b جو حساب ڪريون:
\[ ب = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ ب = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ ب = \فريڪ{416}{104} \]
\[ ب = 4 \]
پوءِ، اسين حساب ڪريون ٿا:
\[ الف = \فريڪ{704 – 4(36)}{10} \]
\[ الف = \فريڪ{704 – 144}{10} \]
\[ الف = \فريڪ{560}{10} \]
\[ الف = 56 \]
تنهن ڪري، اسان کي جيڪو لڪير وارو ريگريشن ماڊل ملي ٿو اهو آهي:
\[ وائي = 56 + 4 ايڪس \]
2. اڳڪٿي ڪيل قدر (Y') جو حساب ڪريو
اڳيون، اسين هر \( X \) لاءِ اڳڪٿي ڪيل قدر \( Y' \) جو حساب ڪريون ٿا:
| شاگرد | پڙهائي جا ڪلاڪ (X) | امتحان جو اسڪور (Y) | اڳڪٿي ڪيل اسڪور (Y') |
|——-|——————–|——————–|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR ۽ SST جو حساب ڪرڻ
اڳيون، اسان \( R^2 \) حاصل ڪرڻ لاءِ SSR ۽ SST جو حساب ڪريون ٿا.
ايس ايس آر:
\[ ايس ايس آر = \مجموعو{(وائي - وائي')^2} \]
\[ ايس ايس آر = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ ايس ايس آر = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ ايس ايس آر = 454 \]
ايس ايس ٽي:
\"SST = \sum{(Y - \bar{Y})^2} \]
ڪٿي:
\[ \بار{وائي} = \فريڪ{\سم{وائي}}{ن} = \فريڪ{704}{10} = 70.4 \]
\[ ايس ايس ٽي = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ ايس ايس ٽي = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ ايس ايس ٽي = 1107.44 \]
4. تعين جي کوٽائي جو حساب ڪرڻ \( R^2 \):
\[ آر ^ 2 = 1 – \فريڪ{ايس ايس آر}{ايس ايس ٽي} \]
\[ آر ^ 2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ آر ^ 2 = 1 - 0.41 \]
\[ آر ^ 2 = 0.59 \]
نتيجو
مٿي ڏنل حساب مان، اسان کي تعين جو هڪ ڪوفيشيٽ (R2 = 0.59) مليو. اهو ظاهر ڪري ٿو ته اسان جيڪو لڪير ريگريشن ماڊل ٺاهيو آهي اهو مطالعي جي ڪلاڪن جي بنياد تي امتحان جي اسڪور ۾ تقريبن 59٪ تبديلي جي وضاحت ڪري سگهي ٿو. باقي 41٪ تبديلي ماڊل ۾ شامل نه ڪيل ٻين عنصرن جي ڪري ٿي سگهي ٿي.
مٿي ڏنل مرحلن ۽ حسابن کي سمجهڻ سان، اسان طئي ڪرڻ جي کوٽائي جي اهميت کي ڏسي سگهون ٿا ته اسان جيڪو ريگريشن ماڊل ٺاهيندا آهيون اهو ڊيٽا جي اصل تبديلي کي ڪيتري سٺي نموني سان بيان ڪري ٿو. اهو شمارياتي تجزيو ۽ ڊيٽا ماڊلنگ ۾ هڪ تمام مفيد اوزار آهي.
