مثال طور سوالن جا جيڪي چوگردي ڪمن جي خاصيتن تي بحث ڪن ٿا
quadratic function رياضي ۾ هڪ اهم موضوع آهي جيڪو اڪثر هاءِ اسڪول جي نصاب ۾ سامهون ايندو آهي. quadratic function جي عام شڪل \( f(x) = ax^2 + bx + c \) آهي، جتي \( a \), \( b \), ۽ \( c \) \( a \neq 0 \) سان مستقل آهن. quadratic functions جي خاصيتن جي بحث ۾ مختلف پهلو شامل آهن جهڙوڪ سميٽري جو محور، ويڪر، وڌ ۾ وڌ يا گهٽ ۾ گهٽ قدر، ۽ پيرابولا جي هدايت. هي مضمون quadratic functions جي خاصيتن کي بهتر سمجهڻ لاءِ ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن ۽ انهن جي حل تي بحث ڪندو.
1. سوال: توازن ۽ چوٽي جي محور جو تعين ڪرڻ
مسئلن جو مثال:
هڪ quadratic فنڪشن ڏنو ويو \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \). سميٽري جي محور ۽ فنڪشن جي چوٽي کي طئي ڪريو.
بحث:
چوگرد فعل \( ax^2 + bx + c \) جي هم آهنگي جي محور کي طئي ڪرڻ لاءِ، اسان فارمولا استعمال ڪريون ٿا:
\[ x = -\frac{b}{2a} \]
ڏنل فنڪشن \( f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \) ۾، قدر \( a = 2 \) ۽ \( b = -4 \). انهن قدرن کي فارمولا ۾ تبديل ڪريو:
\[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{4}{4} \]
\[ x = 1 \]
تنهن ڪري، فنڪشن جي هم آهنگي جو محور \( x = 1 \) آهي.
چوٽي ڳولڻ لاءِ، اسان سميٽري جي محور جي قدر کي فنڪشن ۾ تبديل ڪريون ٿا:
\[ f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 \]
\[ f(1) = 2 – 4 + 1 \]
\[ ف(1) = -1 \]
تنهن ڪري، فنڪشن جو چوٽي \( (1, -1) \) آهي.
2. سوال: پيرابولا جي هدايت جو تعين ڪرڻ
مسئلن جو مثال:
چوٿون فعل جي پيرابولا جي هدايت جو تعين ڪريو \( f(x) = -3x^2 + 6x – 2 \).
بحث:
هڪ چوٿائي فعل جي پيرابولا جي هدايت کوٽائي \( a \) جي قدر سان طئي ڪئي ويندي آهي.
– جيڪڏهن \( a > 0 \)، پيرابولا مٿي کُلي ٿو.
– جيڪڏهن \( a < 0 \)، پيرابولا هيٺان کُلي ٿو.
ڏنل فنڪشن \( f(x) = -3x^2 + 6x - 2 \) ۾، قدر \( a = -3 \). جيئن ته \( a < 0 \)، پيرابولا هيٺان کُلي ٿو.
3. سوال: هڪ چورس فنڪشن جا جڙ ڳولڻ مثال سوال: چورس فنڪشن جا جڙ ڳوليو \( f(x) = x^2 - 5x + 6 \).
بحث: هڪ quadratic فنڪشن جون پاڙون فيڪٽرنگ يا quadratic فارمولا استعمال ڪندي ڳولي سگهجن ٿيون. اسين ان کي فيڪٽر ڪنداسين: \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \] ٻہ انگ ڳولھيو جن کي ضرب ڏيڻ سان 6 ۽ شامل ڪرڻ سان -5 جي برابر ٿئي. انگ آهن -2 ۽ -3.
\[ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 \] اهڙيءَ طرح، جڙ آهن: \[ x - 2 = 0 \quad \text{or} \quad x - 3 = 0 \] \[ x = 2 \quad \text{or} \quad x = 3 \] 4. سوال: وڌ ۾ وڌ يا گھٽ ۾ گھٽ قدر مثال سوال: quadratic فنڪشن جي گھٽ ۾ گھٽ قدر جو تعين ڪريو \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \).
بحث: quadratic function \( ax^2 + bx + c \) جي گھٽ ۾ گھٽ قدر کي طئي ڪرڻ لاءِ، اسان کي جانچڻ جي ضرورت آهي ته پيرابولا مٿي طرف کلي ٿو يا هيٺ. جيڪڏهن \( a > 0 \)، پيرابولا مٿي کلي ٿو ۽ ان جي گهٽ ۾ گهٽ قيمت آهي؛ جيڪڏهن \( a < 0 \)، پيرابولا هيٺئين طرف کلي ٿو ۽ ان جي وڌ ۾ وڌ قيمت آهي.
ڏنل فنڪشن ۾ \( f(x) = 2x^2 - 4x + 5 \)، \( a = 2 \ جي قيمت، تنهنڪري پيرابولا مٿي کلي ٿو ۽ ان جي گهٽ ۾ گهٽ قيمت آهي.
گھٽ ۾ گھٽ قدر چوٽي جي نقطي تي ٿيندي آهي. اسان اڳ ۾ ئي سميٽري جو محور \( x = -\frac{b}{2a} \) ڄاڻون ٿا. هن فنڪشن لاءِ: \[ x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} \] \[ x = \frac{4}{4} \] \[ x = 1 \] گھٽ ۾ گھٽ قدر ڳولڻ لاءِ فنڪشن ۾ \( x = 1 \) کي تبديل ڪريو: \[ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 5 \] \[ f(1) = 2 - 4 + 5 \] \[ f(1) = 3 \] تنهن ڪري، فنڪشن جي گھٽ ۾ گھٽ قدر 3 آهي.
5. سوال: ڪواڊريٽڪ فنڪشن جو گراف مثال سوال: ڪواڊريٽڪ فنڪشن جو گراف ٺاهيو \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \).
بحث: هڪ quadratic فنڪشن جو گراف ڪڍڻ لاءِ، اسان کي ڪيتريون ئي اهم خاصيتون ڳولڻ جي ضرورت آهي جهڙوڪ سميٽري جو محور، ويڪرو، ۽ فنڪشن جي جڙ، انهي سان گڏ پيرابولا جي هدايت.
1. سميٽري جو محور: \[ x = -\frac{b}{2a} \] فنڪشن \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \) ۾، قدر \( a = -1 \) ۽ \( b = 4 \).
\[ x = -\frac{4}{2(-1)} \] \[ x = -\frac{4}{-2} \] \[ x = 2 \] 2. ويرٽيڪس: ويرٽيڪس ڳولڻ لاءِ فنڪشن ۾ \( x = 2 \) کي تبديل ڪريو: \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ f(2) = -4 + 8 - 3 \] \[ f(2) = 1 \] ويرٽيڪس \( (2, 1) \) آهي.
3. پيرابولا جي هدايت: جيئن ته \( a = -1 \)، پيرابولا هيٺان کُلي ٿو.
4. هڪ چورس فعل جا جڙ: \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] اسان چورس فارمولا استعمال ڪري سگهون ٿا: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \( a = -1 \), \( b = 4 \), ۽ \( c = -3 \) لاءِ: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-1)(-3)}}{2(-1)} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{-2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 2}{-2} \] ٻه حل: \[ x = \frac{-4 + 2}{-2} = 1 \] \[ x = \frac{-4 - 2}{-2} = 3 \] جڙ آهن \( x = 1 \) ۽ \( x = 3 \).
هن سڀني معلومات سان، اسان هڪ چوٿون فنڪشن گراف ڪري سگهون ٿا. هن پيرابولا جو هڪ چوٽي \( (2, 1) \) تي آهي، هيٺئين طرف کُلي ٿو، جڙ \( x = 1 \) ۽ \( x = 3 \) تي آهن.
نتيجو: بحث ڪيل مثالن جي ذريعي، اسان quadratic افعال جي مختلف خاصيتن کي بهتر سمجهي سگهون ٿا. پيرابولا جي شڪل ۽ خاصيتن کي بيان ڪرڻ لاءِ سميٽري جي محور، چوٽي، وڌ ۾ وڌ يا گهٽ ۾ گهٽ قدر، پيرابولا جي هدايت، ۽ چوٿائي فعل جي جڙ کي ڪيئن طئي ڪجي، ان جو علم تمام ضروري آهي. انهن تصورن کي چڱي طرح سمجهڻ سان شاگردن کي رياضي ۾ وڌيڪ موضوعن جي ڳولا لاءِ هڪ مضبوط بنياد ملندو.
