مثال طور سوالن جا جيڪي ڪواڊريٽڪ افعال تي بحث ڪن ٿا

مثال طور سوالن جا جيڪي چوگرد ڪمن تي بحث ڪن ٿا

رياضي ۾، خاص طور تي ثانوي رياضي ۾، هڪ اهم موضوع تي بحث ڪيو ويندو آهي. هن فنڪشن جو عام روپ \( f(x) = ax^2 + bx + c \) آهي، جتي \(a\), \(b\), ۽ \(c\) \(a \neq 0\) سان مستقل آهن. هي مضمون شاگردن کي هن تصور کي بهتر سمجهڻ ۾ مدد ڏيڻ لاءِ تفصيلي وضاحتن سان گڏ، quadratic functions سان لاڳاپيل ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن تي بحث ڪندو.

1. هڪ چوطرفي فنڪشن جي جڙڙن جو تعين ڪرڻ

سوال 1: هيٺ ڏنل چوگرد فعل جا جڙ ڳوليو:

\[ f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \]

بحث:

هڪ quadratic فنڪشن جي جڙ کي ڳولڻ لاءِ، اسان quadratic فارمولا استعمال ڪري سگهون ٿا، يعني:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]

چوٿون فعل \( f(x) = 2x^2 – 3x – 5 \) ۾، اسان \(a\), \(b\)، ۽ \(c\) جي قدرن جي سڃاڻپ ڪري سگهون ٿا:

– \( الف = 2 \)
– \( ب = -3 \)
– \( ج = -5 \)

قدم هن ريت آهن:

1. فرق ڪندڙ (\( \ڊيلٽا \)) ڳوليو:

\[ \ڊيلٽا = b^2 – 4ac \]
\[ \ڊيلٽا = (-3)^2 – 4(2)(-5) \]
\[ \ڊيلٽا = 9 + 40 \]
\[ \ڊيلٽا = 49 \]

2. پاڙون ڳولڻ لاءِ quadratic فارمولا استعمال ڪريو:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\ڊيلٽا}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{3 \pm 7}{4} \]

تنهنڪري اسان کي ٻه حل ملن ٿا:

\[ x_1 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{10}{4} = 2.5 \]
\[ x_2 = \frac{3 – 7}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \]

تنهنڪري فنڪشن جا جڙ \( x = 2.5 \) ۽ \( x = -1 \) آهن.

2. هڪ چوطرفي فنڪشن جي چوٽين جو تعين ڪرڻ

سوال 2: هيٺ ڏنل چوگرد فعل جي چوٽي جو تعين ڪريو:

\[ جي (x) = -x^2 + 4x – 3 \]

بحث:

هڪ چورس فعل جي چوٽي کي فارمولا استعمال ڪندي طئي ڪري سگهجي ٿو:

\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = \فريڪ{-ب}{2a} \]

چوٿون فعل \( g(x) = -x^2 + 4x – 3 \) ۾، اسان \(a\), \(b\)، ۽ \(c\) جي قدرن جي سڃاڻپ ڪري سگهون ٿا:

– \( الف = -1 \)
– \( ب = 4 \)
– \( ج = -3 \)

قدم هن ريت آهن:

1. چوٽيءَ جي قدر \( x \) ڳوليو:

\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = \فريڪ{-ب}{2a} \]
\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = \فريڪ{-4}{2(-1)} \]
\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = \فريڪ{-4}{-2} \]
\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = 2 \]

2. فنڪشن ۾ \( x_{\text{vertex}} \) کي متبادل بڻائي \( y \) جي قيمت ڳوليو:

\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = جي(2) \]
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = – (2)^2 + 4(2) – 3 \]
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = -4 + 8 – 3 \]
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = 1 \]

تنهنڪري فنڪشن جو چوٽي \( (2, 1) \) آهي.

3. هڪ ڪوڊريٽڪ فنڪشن گراف ٺاهڻ

سوال 3: هيٺ ڏنل quadratic فنڪشن جو گراف ٺاھيو:

\[ ايڇ (x) = x^2 – 2x – 3 \]

بحث:

ڪواڊريٽڪ فنڪشن جو گراف ٺاهڻ کان اڳ، اسان کي ڪيترن ئي اهم نقطن کي ڄاڻڻ جي ضرورت آهي، جهڙوڪ پيرابولا جون پاڙون، چوٽيون، ۽ هدايت.

پاڙن جو تعين ڪرڻ

اسين \( h(x) = x^2 – 2x – 3 \ جا جڙ ڳولڻ لاءِ quadratic فارمولا استعمال ڪري سگھون ٿا):

\[ الف = 1 \]
\[ ب = -2 \]
\[ ج = -3 \]

1. امتيازي حساب ڪريو:
\[ \ڊيلٽا = b^2 – 4ac \]
\[ \ڊيلٽا = (-2)^2 – 4(1)(-3) \]
\[ \ڊيلٽا = 4 + 12 \]
\[ \ڊيلٽا = 16 \]

2. جڙڙن جو حساب ڪريو:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\ڊيلٽا}}{2a} \]
\[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{16}}{2(1)} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]

تنهنڪري اسان کي ٻه حل ملن ٿا:
\[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{2 – 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

چوٽي جي نقطي جو تعين ڪرڻ

3. ويرٽيڪس فارمولا استعمال ڪريو:
\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = \فريڪ{-ب}{2a} \]
\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = \فريڪ{-(-2)}{2(1)} \]
\[ x_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = 1 \]

4. \( y \) جي قيمت جو حساب ڪريو:
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = ايڇ(1) \]
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = (1)^2 – 2(1) – 3 \]
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويروڪس}} = 1 – 2 – 3 \]
\[ y_{\ٽيڪسٽ{ويرو}} = -4 \]

تنهنڪري چوٽي \( (1, -4) \) آهي.

ڊرائنگ گرافس

– پاڙون \( x = 3 \) ۽ \( x = -1 \) تي آهن.
- چوٽي \( (1, -4) \) تي آهي.
– جيئن ته \( a > 0 \)، پيرابولا مٿي کُلي ٿو.

انهن اهم نقطن کي گراف تي پلاٽ ڪريو ۽ انهن مان گذرندڙ هڪ پيرابولا ٺاهيو.

پيرابولا جي جڙ، چوٽي ۽ هدايت کي سمجهڻ سان، اسان هڪ چوٿائي فنڪشن جو وڌيڪ مڪمل گراف ٺاهي سگهون ٿا.

نتيجو

quadratic function رياضي ۾ هڪ بنيادي تصور آهي جنهن جا وسيع استعمال آهن. quadratic functions کي سمجهڻ اسان کي رياضي ۽ اپلائيڊ سائنسز ۾ ٻين تصورن جي سمجھ کي وڌيڪ مضبوط ڪرڻ ۾ مدد ڪري ٿو. مثالن سان مشق ڪرڻ ۽ انهن کي حل ڪرڻ جي قدمن کي سمجهڻ سان، اميد آهي ته quadratic functions جي اسان جي سمجھ وڌيڪ مضبوط ٿيندي ۽ وڌيڪ لاڳو ٿيندي.