بائنوميل ڊسٽريبيوشن فنڪشن تي بحث ڪندڙ مثال سوال

بائنوميل ڊسٽريبيوشن فنڪشن تي بحث ڪندڙ مثال سوال

بائنوميل ورڇ هڪ ڊسڪريٽ امڪاني ورڇ آهي جيڪا هڪ تجربي ۾ ڪاميابين جي تعداد کي بيان ڪري ٿي جنهن ۾ ٻه ممڪن نتيجا آهن: ڪاميابي ۽ ناڪامي. هر آزمائش کي آزمائش سڏيو ويندو آهي، ۽ بائنوميل ورڇ اڪثر ڪري انهن حالتن ۾ استعمال ٿيندي آهي جتي ڪيترن ئي آزاد آزمائشن ۾ ڪاميابين جو تعداد دلچسپي جو هوندو آهي. هن مضمون ۾، اسان بائنوميل ورڇ جي بنيادي تصورن تي بحث ڪنداسين ۽ مثال ۽ حل فراهم ڪنداسين.

بائنوميل ڊسٽريبيوشن فنڪشن جا بنيادي تصور

مثال جي سوالن ۽ بحث ۾ وڃڻ کان اڳ، اچو ته بائنوميل ورڇ سان لاڳاپيل ڪجهه بنيادي تصورن تي بحث ڪريون.

1. تعريف: ٻہ نالي واري تقسيم کي 'n' آزاد آزمائشن ۾ ڪاميابين جي مجموعن جي طور تي بيان ڪيو ويو آهي، جتي هر آزمائش جا ٻه ممڪن نتيجا آهن: ڪاميابي (امڪان p سان) يا ناڪامي (امڪان q = 1 - p سان).

2. امڪان جو ڪم: بائنوميل ورڇ جو امڪان جو ڪم آهي:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
انسان ۾:
– \( P(X = k) \) n آزمائشن ۾ k جي ڪاميابين جو امڪان آهي.
– \( \binom{n}{k} \) n take k جو ميلاپ آهي، جنهن کي \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) طور بيان ڪيو ويو آهي.
– \( p \) هر آزمائش ۾ ڪاميابي جو امڪان آهي.
– \( (1-p) \) هر آزمائش ۾ ناڪامي جو امڪان آهي.

3. متوقع قدر ۽ فرق:
- ٻہ نالي واري ورڇ جي متوقع قدر (اوسط) \( \mu = np \) آهي.
- ٻہ نالي واري ورڇ جو فرق \( \sigma^2 = np(1-p) \) آهي.

هاڻي، اچو ته انهن تصورن کي هڪ مثال جي مسئلي ۾ لاڳو ڪريون ته جيئن وڌيڪ گهري سمجھ حاصل ڪري سگهجي.

مثال سوال 1: بائنوميل ورڇ جا بنيادي حساب

سوال:
هڪ ڪمپني اليڪٽرانڪ جزا پيدا ڪري ٿي 0.95 امڪان سان ته هر جزو معيار جي ٽيسٽ پاس ڪري ٿو. جيڪڏهن 10 جزا پيدا ڪيا وڃن ٿا، ته امڪان جو اندازو لڳايو ته بلڪل 8 جزا معيار جي ٽيسٽ پاس ڪن ٿا.

بحث:
اسان هن مسئلي کي حل ڪرڻ لاءِ بائنوميل ورڇ فارمولا استعمال ڪري سگهون ٿا. پهرين، اسان هيٺ ڏنل پيرا ميٽرز جي سڃاڻپ ڪريون ٿا:
– \( n \) (آزمائشن جو ڪُل تعداد) = 10
– \( k \) (ڪاميابين جو تعداد) = 8
– \( p \) (ڪاميابي جو امڪان) = 0.95
– \( q \) (ناڪامي جو امڪان) = 1 – 0.95 = 0.05

پوءِ انهن قدرن کي بائنوميل ورڇ فارمولي ۾ تبديل ڪريو:
\[
پي(ايڪس = 8) = \بائنوم{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

پهرين، ميلاپ \( \binom{10}{8} \) جو حساب ڪريو:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

پوءِ، امڪانن جو حساب ڪريو \( (0.95)^8 \) ۽ \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \لڳ ڀڳ 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

آخرڪار، حاصل ڪرڻ لاءِ انهن سڀني قدرن کي ضرب ڏيو:
\[
پي (ايڪس = 8) = 45 \ ڀيرا 0.6634 \ ڀيرا 0.0025 \ تقريبن 0.0744
\]

تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته 10 مان 8 جزا معيار جي امتحان ۾ پاس ٿين ٿا، تقريباً 0.0744 يا 7.44٪ آهي.

مثال سوال 2: مجموعي امڪان

سوال:
اڃا تائين ساڳئي ڪمپني سان، امڪان جو اندازو لڳايو ته گهٽ ۾ گهٽ 9 مان 10 جزا معيار جي امتحان ۾ پاس ٿين ٿا.

بحث:
هن مسئلي کي حل ڪرڻ لاءِ، اسان کي مجموعي امڪان جو حساب ڪرڻو پوندو. امڪان اهو آهي ته گهٽ ۾ گهٽ 9 مان 10 جزا ٽيسٽ پاس ڪن ٿا، مطلب ته اسان حساب ڪريون ٿا \( P(X \geq 9) \)، جنهن کي هن طرح لکي سگهجي ٿو:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]

ٻہ نامي ورڇ فارمولا استعمال ڪندي:
\[
پي(ايڪس = 9) = \بائنوم{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
پي(ايڪس = 10) = \بائنوم{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

پهرين، هر ڪيس لاءِ ميلاپ جو حساب ڪريو:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\بائنوم{10}{10} = 1
\]

پوءِ، \( P(X = 9) \) ۽ \( P(X = 10) \) لاءِ امڪانن جو حساب ڪريو:
\[
پي(ايڪس = 9) = 10 \ ڀيرا (0.95)^9 \ ڀيرا 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \لڳ ڀڳ 0.6302
\]
\[
پي (ايڪس = 9) = 10 \ ڀيرا 0.6302 \ ڀيرا 0.05 \ تقريبن 0.3151
\]

\[
پي(ايڪس = 10) = 1 \ ڀيرا (0.95)^{10} \ ڀيرا 1
\]
\[
(0.95)^{10} \تقريبن 0.5987
\]
\[
پي (ايڪس = 10) = 0.5987
\]

\( P(X \geq 9) \ لاءِ ڪُل امڪان):
\[
پي (ايڪس \ گيڪ 9) = 0.3151 + 0.5987 \ تقريبن 0.9138
\]

تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته گهٽ ۾ گهٽ 10 حصن مان 9 معيار جي امتحان ۾ پاس ٿين ٿا، تقريبن 0.9138 يا 91.38٪ آهي.

مثال سوال 3: متوقع قدر ۽ فرق

سوال:
10 تيار ڪيل حصن مان معيار جي امتحان ۾ پاس ٿيندڙ حصن جي تعداد جي متوقع قدر ۽ فرق جو حساب ڪريو، جنهن جي پاس ٿيڻ جو امڪان 0.95 آهي.

بحث:
هيٺ ڏنل فارمولا استعمال ڪريو:
- متوقع قدر (مطلب) \( \mu = np \)
– فرق \( \sigma^2 = np(1-p) \)

\( n = 10 \) ۽ \( p = 0.95 \) سان:
\[
\mu = 10 \ ڀيرا 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \times 0.95 \times 0.05 = 0.475
\]

تنهن ڪري، معيار جي امتحان ۾ پاس ٿيندڙ اجزاء جي تعداد جي متوقع قيمت 9.5 آهي، ۽ فرق 0.475 آهي.

نتيجو

مٿي ڏنل ٽن مثالن جي مسئلن ذريعي، اسان بحث ڪيو آهي ته مختلف حالتن لاءِ بائنوميل ورڇ استعمال ڪندي امڪان کي ڪيئن ڳڻيو وڃي: صحيح امڪان، مجموعي امڪان، ۽ متوقع قدر ۽ فرق جو حساب. بائنوميل ورڇ جو علم مختلف شعبن ۾ مفيد آهي، جهڙوڪ پيداوار، طبي تحقيق، ۽ سماجي انگ اکر، جتي ٻن ممڪن نتيجن سان بار بار تجربن جي نتيجن جو تجزيو ڪري فيصلو ڪرڻ ۾ مدد ڪري سگهجي ٿو. اميد آهي ته، مهيا ڪيل مثالي مسئلا ۽ بحث توهان کي بائنوميل ورڇ جي سمجھ کي اڳتي وڌائڻ ۾ مدد ڪندا.