مثال سوال جيڪي ڪمن ۽ غير ڪمن تي بحث ڪن ٿا: بنيادي تصورن کي سمجھڻ
تعارف
رياضي ۾، خاص طور تي الجبرا ۾، فنڪشن جو تصور سڀ کان بنيادي ۽ اهم آهي. فنڪشن اسان کي ٻن سيٽن جي وچ ۾ تعلق کي تمام منظم طريقي سان سمجهڻ جي اجازت ڏين ٿا. فنڪشن کي سمجهڻ لاءِ، اسان کي پهريان ان جي تعريف ۽ خاصيتن کي سمجهڻ جي ضرورت آهي. تنهن ڪري، هي مضمون مثال جي مسئلن جو جائزو وٺندو ۽ فنڪشن ۽ غير فنڪشن تي بحث ڪندو. اهو اسان کي هن موضوع جي گهري سمجھ پيدا ڪرڻ ۾ مدد ڪندو.
فنڪشن ۽ نان فنڪشن جي تعريف
اچو ته هڪ فنڪشن جي تعريف کي سمجهڻ سان شروع ڪريون. رياضي ۾، هڪ فنڪشن کي هڪ تعلق جي طور تي بيان ڪري سگهجي ٿو جيڪو ڊومين سيٽ جي هر عنصر کي ڪوڊومين سيٽ جي بلڪل هڪ عنصر سان ڳنڍيندو آهي. ٻين لفظن ۾، ڊومين سيٽ ۾ هر عنصر لاءِ، ڪوڊومين سيٽ ۾ هڪ ۽ صرف هڪ لاڳاپيل عنصر هوندو آهي.
لاڳاپن جا مثال جيڪي ڪم آهن:
– سيٽ الف = {1، 2، 3}
– سيٽ B = {4، 5، 6}
– تعلق R = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}
تعلق R هڪ فنڪشن آهي ڇاڪاڻ ته سيٽ A جو هر عنصر سيٽ B جي صرف هڪ عنصر سان جوڙيو ويو آهي.
هڪ غير فنڪشن هڪ اهڙو تعلق آهي جيڪو انهن معيارن تي پورو نه لهندو آهي، يعني ته اصل علائقي ۾ گهٽ ۾ گهٽ هڪ عنصر آهي جيڪو نتيجي واري علائقي ۾ هڪ کان وڌيڪ عنصرن سان جوڙيو ويو آهي.
اهڙن لاڳاپن جون مثالون جيڪي ڪم نه آهن:
– سيٽ سي = {1، 2، 3}
– سيٽ ڊي = {4، 5، 6}
– تعلق S = {(1, 4), (1, 5), (2, 6)}
تعلق S ڪو فنڪشن ناهي ڇاڪاڻ ته سيٽ C ۾ عنصر '1' سيٽ D ۾ ٻن عنصرن (يعني 4 ۽ 5) سان جوڙيل آهي.
نموني سوال ۽ بحث
افعال ۽ غير افعال جي اسان جي سمجھ کي وڌيڪ گہرا ڪرڻ لاءِ، اچو ته ڪجھ مثالي سوالن ۽ انهن جي بحثن تي نظر وجهون.
مثال سوال 1: ڪمن جو تعين ڪرڻ
هڪ سيٽ X = {a, b, c, d} ۽ هڪ سيٽ Y = {1, 2, 3, 4} ڏنو وڃي، ڇا تعلق کي هيٺ ڏنل فنڪشن طور بيان ڪيو ويو آهي؟
– آر = {(الف، 1)، (ب، 2)، (ج، 3)، (د، 4)}
بحث:
اچو ته سيٽ X ۾ هر عنصر کي چيڪ ڪريون:
- 'a' کي '1' سان جوڙيو ويو آهي.
- 'b' کي '2' سان جوڙيو ويو آهي.
- 'c' کي '3' سان جوڙيو ويو آهي
- 'd' کي '4' سان جوڙيو ويو آهي
جيئن ته سيٽ X ۾ هر عنصر سيٽ Y ۾ بلڪل هڪ عنصر سان جوڙيل آهي، تعلق R هڪ فنڪشن آهي.
مثال سوال 2: ڪمن يا غير ڪمن جي سڃاڻپ
هڪ سيٽ P = {u, v, w} ۽ هڪ سيٽ Q = {5, 6, 7} ڏنو ويو آهي. طئي ڪريو ته ڇا هيٺ ڏنل تعلق هڪ فنڪشن آهي:
– س = {(u, 5), (v, 6), (u, 7)}
بحث:
اچو ته سيٽ P ۾ هر عنصر جو جائزو وٺون:
- 'u' کي '5' سان جوڙيو ويو آهي
- 'v' کي '6' سان جوڙيو ويو آهي
- 'u' کي '7' سان پڻ جوڙيو ويو آهي.
جيئن ته سيٽ P ۾ عنصر 'u' سيٽ Q ۾ هڪ کان وڌيڪ عنصرن سان جوڙيل آهي، تنهن ڪري تعلق S هڪ فنڪشن ناهي.
مثال سوال 3: گرافس مان ڪم ڪڍڻ
ڪوآرڊينيٽ جهاز تي هڪ تعلق جو گراف ڏنو ويو آهي، اهو طئي ڪريو ته اهو هڪ فنڪشن آهي يا نه. گراف هيٺ ڏنل نقطا ڏيکاري ٿو:
- (1، 2)
- (2، 4)
- (3، 6)
- (4، 8)
- (5، 10)
بحث:
گراف تي هر نقطي ۾ فارم (x، y) جو هڪ جوڙو آهي، جيڪو ظاهر ڪري ٿو ته x جي هر ڏنل قدر لاءِ ان سان لاڳاپيل y جي بلڪل هڪ قدر آهي. جيئن ته ڊومين ۾ هر عنصر ڪوڊومين ۾ بلڪل هڪ عنصر سان جوڙيو ويو آهي، ڏنل گراف هڪ فنڪشن جو گراف آهي.
مثال مسئلو 4: مساوات جي صورت ۾ ڪم
جيڪڏهن ڏنل ڊومين سڀ حقيقي انگ آهن ته اهو طئي ڪريو ته ڇا مساوات y = x² هڪ فنڪشن آهي.
بحث:
اسان کي جانچڻ جي ضرورت آهي ته ڇا ڊومين ۾ هر x-قدر سان هڪ ۽ صرف هڪ y-قدر لاڳاپيل آهي. ڪجھ x-قدرن کي متبادل بڻايو:
– جيڪڏهن x = 1 آهي، ته پوءِ y = 1² = 1
– جيڪڏهن x = 2 آهي، ته پوءِ y = 2² = 4
– جيڪڏهن x = -1، ته پوءِ y = (-1)² = 1
اهو ڏسي سگهجي ٿو ته x جي هر چونڊيل قدر لاءِ، y جي صرف هڪ لاڳاپيل قدر آهي. تنهن ڪري، y = x² هڪ فنڪشن آهي.
مثال سوال 5: معکوس افعال سان ڪم
فرض ڪريو ته f(x) کي f: x → x + 3 سان بيان ڪيل فنڪشن آهي. جيڪڏهن اهو موجود آهي ته هن فنڪشن جو الٽو ڳولهيو.
بحث:
جيڪڏهن f: x → x + 3، ته پوءِ اسان کي هڪ فنڪشن g ڳولڻ جي ضرورت آهي جيئن f(g(x)) = x ۽ g(f(x)) = x. مساوات سان شروع ڪندي:
– y = x + 3
الٽو ڳولڻ لاءِ، اسان x کي الڳ ڪريون ٿا:
– x = y – 3
تنهن ڪري، معکوس فعل g(y) = y – 3 آهي.
تنهن ڪري، فنڪشن f(x) = x + 3 جو الٽو f⁻¹(x) = x – 3 آهي.
نتيجو
مٿي ڏنل بحث مان، اسان افعال ۽ غير افعال سان لاڳاپيل مسئلن جا ڪيترائي مثال ڏٺا آهن، انهن جي وضاحتن سان گڏ. هڪ فنڪشن جو تصور اسان کي سيکاري ٿو ته ڊومين سيٽ جي هر عنصر کي ڪوڊومين سيٽ جي بلڪل هڪ عنصر سان جوڙيو وڃي. گراف ۽ مساوات مان افعال جي سڃاڻپ پڻ هڪ تعلق جي نوعيت کي طئي ڪرڻ لاءِ هڪ مفيد ٽيڪنڪ آهي. هن قسم جي مسئلن جي مشق ڪندي، اسان افعال ۽ غير افعال جي بنيادي تصورن سان وڌيڪ واقف ٿينداسين ۽ انهن کي بهتر طور تي سمجهي سگهنداسين، جيڪي الجبرا ۽ ٻين رياضياتي تجزيي ۾ ضروري بنياد آهن.
