مثال سوال جيڪي رياضي جي سلسلي تي بحث ڪن ٿا
رياضي جي ترتيب رياضي ۾ هڪ بنيادي تصور آهي جيڪو اڪثر ڪري مختلف مسئلن ۾ ظاهر ٿئي ٿو، ثانوي اسڪول ۽ اعليٰ تعليم ٻنهي ۾. هن تصور ۾ انگن جو هڪ سلسلو شامل آهي جتي هر اصطلاح پوئين اصطلاح مان هڪ مستقل نمبر کي شامل ڪرڻ يا گھٽائڻ جو نتيجو آهي. هن مضمون ۾، اسان رياضي جي ترتيب جي تصور کي وڌيڪ سمجهڻ لاءِ ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن ۽ انهن جي حل تي بحث ڪنداسين.
رياضي جي سلسلي کي سمجهڻ
هڪ رياضي سلسلو هڪ اهڙو سلسلو آهي جنهن ۾ ٻن لڳاتار اصطلاحن جي وچ ۾ مسلسل فرق (فرق) هوندو آهي. مثال طور، جيڪڏهن هڪ رياضي سلسلي ۾ پهريون اصطلاح \(a\) ۽ فرق \(d\) آهي، ته پوءِ اصطلاحن کي هن ريت لکي سگهجي ٿو:
\[ الف، الف + د، الف + 2 د، الف + 3 د، \ ايل ڊاٽ \]
جيڪڏهن اسان هن سلسلي جو نائون اصطلاح ڳولڻ چاهيون ٿا، ته نائون اصطلاح ((U_n\)) لاءِ فارمولا آهي:
\[ يو_ن = الف + (ن-1) ڊي \]
ساڳئي وقت، هڪ رياضي سيريز جي پهرين n اصطلاحن جو مجموعو (\(S_n\)) فارمولا استعمال ڪندي ڳڻيو وڃي ٿو:
\[ ايس_ن = \فريڪ{ن}{2} (2a + (ن-1)ڊي) \]
نموني سوال ۽ بحث
مثال سوال 1
سوال: پهرين اصطلاح \(a = 5\) ۽ عام فرق \(d = 3\) سان هڪ رياضي سيريز ڏني وئي آهي. سيريز جو ڏهون اصطلاح ڳولهيو.
بحث:
ڏهين اصطلاح (\(U_{10}\)) ڳولڻ لاءِ، اسان نائون اصطلاح فارمولا استعمال ڪري سگهون ٿا:
\[ يو_{10} = الف + (10-1) ڊي \]
\[ يو_{10} = 5 + (9 \سي ڊاٽ 3) \]
\[ يو_{10} = 5 + 27 \]
\[ يو_{10} = 32 \]
تنهن ڪري، سيريز جو ڏهون اصطلاح 32 آهي.
مثال سوال 2
سوال: رياضي جي سلسلي جي پهرين 15 اصطلاحن جو مجموعو ڳولهيو جن جو پهريون اصطلاح \(a = 4\) آهي ۽ عام فرق \(d = 7\) آهي.
بحث:
پهرين 15 اصطلاحن (\(S_{15}\)) جو مجموعو ڳولڻ لاءِ، اسان پهرين n اصطلاحن جي مجموعو لاءِ فارمولا استعمال ڪري سگهون ٿا:
\[ ايس_{15} = \فريڪ{15}{2} (2a + (15-1)ڊي) \]
\[ ايس_{15} = \فريڪ{15}{2} (2 \سي ڊاٽ 4 + 14 \سي ڊاٽ 7) \]
\[ ايس_{15} = \فريڪ{15}{2} (8 + 98) \]
\[ ايس_{15} = \فريڪ{15}{2} \سي ڊاٽ 106 \]
\[ ايس_{15} = 15 \سي ڊاٽ 53 \]
\[ ايس_{15} = 795 \]
تنهن ڪري، سيريز جي پهرين 15 اصطلاحن جو مجموعو 795 آهي.
مثال سوال 3
سوال: اهو معلوم آهي ته هڪ رياضي سلسلي جو 5 هون اصطلاح 20 آهي ۽ 12 هون اصطلاح 48 آهي. سيريز جو پهريون اصطلاح (\(a\)) ۽ عام فرق (\(d\)) ڳوليو.
بحث:
ڏنل شرطن مان:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_{12} = a + 11d = 48 \]
اسان وٽ ٻه لڪير مساواتون آهن جن ۾ ٻه متغير آهن جيڪي اسان حل ڪري سگهون ٿا:
1. \( الف + 4 ڊي = 20 \)
2. \( الف + 11 ڊي = 48 \)
مساوات 1 مان، اسان \(a\) کي \(d\) جي لحاظ کان ظاهر ڪري سگھون ٿا:
\[ الف = 20 - 4 ڊي \]
هاڻي اسين \(a\) کي مساوات 2 ۾ تبديل ڪريون ٿا:
\[ 20 – 4 ڏينهن + 11 ڏينهن = 48 \]
\[ 20 + 7 ڏينهن = 48 \]
\[ 7d = 28 \]
\[ ڊي = 4 \]
هاڻي اسين \(d\) جي قدر کي مساوات \(a = 20 – 4d\) ۾ تبديل ڪريون ٿا:
\[ الف = 20 - 4 \سي ڊاٽ 4 \]
\[ الف = 20 - 16 \]
\[ الف = 4 \]
تنهن ڪري، سلسلي جو پهريون اصطلاح 4 آهي ۽ عام فرق 4 آهي.
مثال سوال 4
سوال: هڪ رياضي سلسلي لاءِ ڪيترا اصطلاح گهربل آهن جن جو پهريون اصطلاح \(a = 2\) ۽ عام فرق \(d = 5\) آهي ۽ ان جو مجموعو 200 آهي؟
بحث:
هن صورت ۾، اسان کي پهرين n اصطلاحن جو مجموعو ڳولڻو پوندو (\(S_n\)) جيڪو 200 جي برابر آهي. پهرين n اصطلاحن جي مجموعن لاءِ فارمولا استعمال ڪريو:
\[ ايس_ن = \فريڪ{ن}{2} (2a + (ن-1)ڊي) = 200 \]
\(a\) ۽ \(d\) جي قدرن کي تبديل ڪريو:
\[ \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1) \cdot 5) = 200 \]
\[ frac{n}{2} (4 + 5n – 5) = 200 \]
\[ \frac{n}{2} (5n - 1) = 200 \]
\[ ن (5 ن – 1) = 400 \]
هي هڪ quadractic مساوات آهي. ان کي حل ڪرڻ لاءِ، اسان ان جي شڪل تبديل ڪريون ٿا:
\[ 5n^2 – ن – 400 = 0 \]
چوٿون فارمولو استعمال ڪريو \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ ن = \فريڪ{-ب \پي ايم \اسڪوارٽ{ب^2 – 4ايڪو}}{2ا} \]
هن صورت ۾ \(a = 5\)، \(b = -1\)، ۽ \(c = -400\):
\[ ن = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 – 4 \cdot 5 \cdot (-400)}}{2 \cdot 5} \]
\[ ن = \فريڪ{1 \پي ايم \اسڪوارٽ{1 + 8000}}{10} \]
\[ ن = \فريڪ{1 \پي ايم \اسڪوارٽ{8001}}{10} \]
\(\sqrt{8001}\) جو قدر 89.42 جي ويجهو آهي، پوءِ:
\[ ن = \frac{1 \pm 89.42}{10} \]
اسان مثبت قدر وٺون ٿا:
\[ n = \frac{1 + 89.42}{10} \]
\[ ن \تقريبن \frac{90.42}{10} \]
\[ ن \تقريبن 9.042 \]
تنهن ڪري، گهربل اصطلاحن جو تعداد 9 اصطلاح آهي (جيڪڏهن گول ڪيو وڃي).
نتيجو
رياضي ۾ حسابي ترتيب هڪ اهم موضوع آهي. پهرين اصطلاح، عام فرق، nth اصطلاح، ۽ پهرين n اصطلاحن جي مجموعن جي مڪمل سمجھ مختلف مسئلن کي حل ڪرڻ لاءِ انمول آهي. مٿي ڏنل مثالن ۽ بحثن کي استعمال ڪندي، اميد آهي ته پڙهندڙن کي حسابي ترتيبن جي بنيادي تصورن جي بهتر سمجھ حاصل ٿيندي.
