مثال سوال جيڪي ٻن واقعن الف ۽ ب جي اضافي جي قاعدي تي بحث ڪن ٿا جيڪي باهمي طور تي خاص نه آهن
پنڊال
امڪان ۾، بنيادي تصورن ۽ انهن جي استعمال کي سمجهڻ تمام ضروري آهي. هڪ تصور جيڪو اڪثر پيدا ٿئي ٿو اهو آهي امڪان جي اضافي جو اصول. هن مضمون ۾، اسان ٻن غير خاص واقعن لاءِ اضافي جي اصول ۾ وڌيڪ تفصيل سان غور ڪنداسين. غير خاص واقعا تڏهن ٿيندا آهن جڏهن ٻه واقعا هڪ ممڪن عنصر کي شيئر ڪندا آهن، يا ٻين لفظن ۾، ٻئي واقعا هڪ ئي وقت ٿي سگهن ٿا. سمجھڻ کي آسان بڻائڻ لاءِ، اچو ته هڪ مثال جي مسئلي ۽ ان جي وضاحت تي نظر وجهون.
بنيادي نظريو
جيڪڏهن اسان وٽ ٻہ واقعا الف ۽ ب آهن جيڪي هڪٻئي کان الڳ نه آهن، ته پوءِ واقعا الف يا ب جي امڪان جي حساب لاءِ اضافي قاعدي کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) – پي(اي \ڪپ ب) \]
هتي:
– \( P(A \cup B) \) امڪان آهي ته A يا B (يا ٻئي) ٿين ٿا.
– \( P(A) \) اهو امڪان آهي ته واقعو A ٿئي ٿو.
– \( P(B) \) اهو امڪان آهي ته واقعو B ٿئي ٿو.
– \( P(A \cap B) \) اهو امڪان آهي ته A ۽ B هڪ ئي وقت ٿين ٿا.
مسئلن جو مثال
سوال 1: هڪ اسڪول ۾، 70 سيڪڙو شاگرد فٽبال (ايونٽ الف) کيڏڻ پسند ڪن ٿا، 40 سيڪڙو شاگرد باسڪيٽ بال (ايونٽ ب) کيڏڻ پسند ڪن ٿا، ۽ 20 سيڪڙو شاگرد ٻئي رانديون کيڏڻ پسند ڪن ٿا. ڇا امڪان آهي ته هڪ شاگرد فٽبال يا باسڪيٽ بال کيڏڻ پسند ڪري؟
بحث:
اهو معلوم آهي:
– \( پي(اي) = 0.70 \)
– \( پي(بي) = 0.40 \)
– \( پي(اي \ڪيپ ب) = 0.20 \)
ٻن باهمي طور تي الڳ ٿيندڙ واقعن کي شامل ڪرڻ جي اصول کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) – پي(اي \ڪپ ب) \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.90 \]
تنهن ڪري، اهو امڪان ته هڪ شاگرد فٽبال يا باسڪيٽ بال کيڏڻ پسند ڪندو آهي 0.90 يا 90٪ آهي.
سوال 2: هڪ سروي ۾، 35 سيڪڙو جواب ڏيندڙ ڪافي (واقعو الف)، 50 سيڪڙو جواب ڏيندڙ چانهه (واقعو ب) ۽ 10 سيڪڙو جواب ڏيندڙ ٻئي پسند ڪن ٿا. ڇا امڪان آهي ته هڪ جواب ڏيندڙ ڪافي يا چانهه پسند ڪري ٿو؟
بحث:
اهو معلوم آهي:
– \( پي(اي) = 0.35 \)
– \( پي(بي) = 0.50 \)
– \( پي(اي \ڪيپ ب) = 0.10 \)
ٻن باهمي طور تي الڳ ٿيندڙ واقعن کي شامل ڪرڻ جي اصول کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) – پي(اي \ڪپ ب) \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.75 \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته هڪ جوابدار ڪافي يا چانهه پسند ڪري ٿو 0.75 يا 75٪ آهي.
سوال 3: شمارياتي ڊيٽا مان، اهو معلوم ٿئي ٿو ته 60 سيڪڙو ماڻهو ڪتاب پڙهڻ پسند ڪن ٿا (واقعو الف)، 30 سيڪڙو ماڻهو فلمون ڏسڻ پسند ڪن ٿا (واقعو ب)، ۽ 15 سيڪڙو ماڻهو ٻئي ڪرڻ پسند ڪن ٿا. ڇا امڪان آهي ته ڪو ماڻهو ڪتاب پڙهڻ يا فلمون ڏسڻ پسند ڪري؟
بحث:
اهو معلوم آهي:
– \( پي(اي) = 0.60 \)
– \( پي(بي) = 0.30 \)
– \( پي(اي \ڪيپ ب) = 0.15 \)
ٻن باهمي طور تي الڳ ٿيندڙ واقعن کي شامل ڪرڻ جي اصول کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) – پي(اي \ڪپ ب) \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.75 \]
تنهن ڪري، اهو امڪان ته ڪو ماڻهو ڪتاب پڙهڻ يا فلمون ڏسڻ پسند ڪندو آهي 0.75 يا 75٪ آهي.
سوال 4: هڪ ريسٽورنٽ ۾ ڪيل سروي مان، 55 سيڪڙو گراهڪن پيزا (ايونٽ الف) جو آرڊر ڏنو، 35 سيڪڙو گراهڪن پاستا (ايونٽ ب) جو آرڊر ڏنو، ۽ 20 سيڪڙو گراهڪن ٻنهي جو آرڊر ڏنو. ڇا امڪان آهي ته گراهڪ پيزا يا پاستا جو آرڊر ڏئي؟
بحث:
اهو معلوم آهي:
– \( پي(اي) = 0.55 \)
– \( پي(بي) = 0.35 \)
– \( پي(اي \ڪيپ ب) = 0.20 \)
ٻن باهمي طور تي الڳ ٿيندڙ واقعن کي شامل ڪرڻ جي اصول کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) – پي(اي \ڪپ ب) \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ پي(اي \ڪپ ب) = 0.70 \]
تنهن ڪري، اهو امڪان ته هڪ گراهڪ پيزا يا پاستا آرڊر ڪري ٿو 0.70 يا 70٪ آهي.
نتيجو
امڪان جي مطالعي ۾، ٻن غير خاص واقعن A ۽ B جي اضافي جو قاعدو هڪ يا ٻنهي واقعن جي هڪ ئي وقت ٿيڻ جي امڪان کي طئي ڪرڻ لاءِ تمام ضروري آهي. فارمولا \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) استعمال ڪرڻ سان ٻن واقعن جي گڏيل امڪان کي ڳڻڻ آسان ٿي ويندو آهي جن ۾ هڪ چورس يا هڪ عام عنصر هجي.
مٿي ڏنل مثالن ذريعي، اسان ڏسي سگهون ٿا ته هن حساب جي بنيادي مرحلن کي سمجهڻ اسان کي مختلف حالتن ۾ لاڳو ڪرڻ جي اجازت ڏئي ٿو، ڇا تعليم ۾، سروي ۾، يا روزمره جي زندگي ۾. وضاحت ۽ درستگي کي سڃاڻڻ ۾ ته ڪهڙا واقعا عنصر حصيداري ڪن ٿا، امڪان کي صحيح طور تي ڳڻڻ لاءِ اهم آهن. تنهن ڪري، مسلسل مشق ۽ بنيادي تصورن جي سمجھ هن موضوع تي عبور حاصل ڪرڻ ۾ تمام گهڻي مدد ڪندي.
