مثال سوال جيڪي ٻن خاص واقعن A ۽ B کي شامل ڪرڻ جي قاعدي تي بحث ڪن ٿا
امڪان جي نظريي ۾، ٻن واقعن جي مجموعي قاعدي هڪ بنيادي اصول آهي جيڪو ڪيترن ئي واقعن جي امڪان کي ڳڻڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. هي تصور اڪثر ڪري مختلف حالتن ۾ ڪجهه واقعن جي ممڪن نتيجن کي سمجهڻ لاءِ لاڳو ڪيو ويندو آهي. هن مضمون ۾، اسين ٻن باهمي طور تي الڳ واقعن جي مجموعي قاعدي تي بحث ڪنداسين ۽ هن تصور کي واضح ڪرڻ لاءِ مثال فراهم ڪنداسين.
ٻن باهمي طور تي خاص واقعن جي اضافي جو قاعدو
سڀ کان پهرين، اهو سمجهڻ ضروري آهي ته باهمي طور تي الڳ ٿيل واقعن مان ڇا مراد آهي. ٻہ واقعا الڳ ٿيل يا باهمي طور تي الڳ ٿيل چيو ويندو آهي جيڪڏهن اهي هڪ ئي وقت تي نه ٿي سگهن. ٻين لفظن ۾، هڪ واقعي جي سيٽ ۾ ڪو به عنصر ٻئي واقعي جي سيٽ ۾ عنصر نه هوندو آهي.
امڪان ۾ اضافي جو قاعدو ٻڌائي ٿو ته جيڪڏهن ٻه واقعا \(A\) ۽ \(B\) هڪ ٻئي کان الڳ آهن، ته پوءِ ڪنهن به واقعي \(A\) يا \(B\) جو امڪان ٻنهي واقعن جي امڪانن جو مجموعو آهي. رياضي طور تي، هن قاعدي کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) \]
جتي \(P(A \cup B)\) \(A\) يا \(B\) جو امڪان آهي، \(P(A)\) واقعي \(A\) جو امڪان آهي، ۽ \(P(B)\) واقعي \(B\) جو امڪان آهي.
مثال طور بحث جا سوال
اچو ته ٻن باهمي طور تي الڳ ٿيندڙ واقعن کي شامل ڪرڻ جي قاعدي جي لاڳو ٿيڻ کي واضح ڪرڻ لاءِ ڪجهه مثالن تي بحث ڪريون.
مثال سوال 1
سوال:
ڇهن پاسن وارو ڊائي هڪ ڀيرو اڇلايو ويندو آهي. امڪان ڳوليو ته نتيجو انگ 2 يا 4 آهي.
بحث:
اسين واقعو \(A\) کي قدر 2 جي موجودگي طور ۽ واقعو \(B\) کي قدر 4 جي موجودگي طور بيان ڪري سگھون ٿا. تنهن ڪري:
– \(P(A)\) قدر 2 جي ظاهر ٿيڻ جو امڪان آهي.
– \(P(B)\) قدر 4 جي ظاهر ٿيڻ جو امڪان آهي.
جيئن ته هڪ ڊائي جا ڇهه هڪجهڙا امڪاني پاسا آهن، هڪ خاص قدر جي رول ٿيڻ جو امڪان \( \frac{1}{6} \) آهي. تنهن ڪري:
\[ پي(اي) = \فريڪ{1}{6} \]
\[ پي(بي) = \فريڪ{1}{6} \]
واقعا \(A\) ۽ \(B\) هڪ ٻئي کان الڳ آهن ڇاڪاڻ ته قدر 2 ۽ 4 هڪ ئي وقت ڊائي جي هڪ رول ۾ ظاهر نه ٿي سگهن ٿا. تنهن ڪري، ٻن باهمي طور تي الڳ واقعن لاءِ اضافي قاعدي کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) = \فريڪ{1}{6} + \فريڪ{1}{6} = \فريڪ{2}{6} = \فريڪ{1}{3} \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته جيڪا قدر ظاهر ٿئي ٿي اها 2 يا 4 آهي \( \frac{1}{3} \) يا تقريباً 33.33٪ آهي.
مثال سوال 2
سوال:
هڪ ٿيلهي ۾ 10 بال آهن جن ۾ 4 ڳاڙهي بال ۽ 6 نيري بال آهن. جيڪڏهن اسان بي ترتيب هڪ بال چونڊيون، ته ڇا امڪان آهي ته ٺهيل بال ڳاڙهي يا نيرو آهي؟
بحث:
اسين واقعي \(A\) کي ڳاڙهي بال کڻڻ جي طور تي ۽ واقعي \(B\) کي نيرو بال کڻڻ جي طور تي بيان ڪري سگھون ٿا. تنهن ڪري:
– \(P(A)\) ڳاڙهي بال کي چونڊڻ جو امڪان آهي.
– \(P(B)\) هڪ نيرو بال چونڊڻ جو امڪان آهي.
هر واقعي جي امڪان کي هن ريت ڳڻپيو وڃي ٿو:
\[ P(A) = \frac{\text{ڳاڙهي بالن جو تعداد}}{\text{بالن جو ڪل تعداد}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{نيرو بالن جو تعداد}}{\text{بالن جو ڪل تعداد}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
واقعا \(A\) ۽ \(B\) هڪ ٻئي کان الڳ آهن ڇاڪاڻ ته هڪ بال ڳاڙهو ۽ نيرو ٻئي نه ٿي سگهي ٿو. تنهن ڪري، ٻن هڪ ٻئي کان الڳ واقعن لاءِ اضافي قاعدي کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) = \فريڪ{2}{5} + \فريڪ{3}{5} = 1 \]
تنهن ڪري، اهو امڪان ته ٺهيل بال يا ته ڳاڙهو آهي يا نيرو آهي 1، يا 100٪ آهي. اهو سمجهه ۾ اچي ٿو ڇاڪاڻ ته ٿيلهي ۾ سڀئي بال يا ته ڳاڙهو آهن يا نيرو.
مثال سوال 3
سوال:
20 شاگردن جي ڪلاس ۾، جن مان 7 کي رياضي پسند آهي، جن مان 5 کي سائنس پسند آهي، ۽ ڪو به اهڙو ناهي جيڪو ٻنهي کي پسند ڪري. جيڪڏهن هڪ شاگرد کي بي ترتيب چونڊيو وڃي، ته امڪان ڳوليو ته شاگرد کي رياضي يا سائنس مان ڪو به پسند آهي.
بحث:
اسين واقعو \(A\) کي پسنديدگي رياضي طور ۽ واقعو \(B\) کي پسنديدگي سائنس طور بيان ڪري سگھون ٿا. تنهن ڪري:
– \(P(A)\) اهو امڪان آهي ته هڪ شاگرد رياضي پسند ڪري ٿو.
– \(P(B)\) اهو امڪان آهي ته هڪ شاگرد سائنس پسند ڪري ٿو.
هر واقعي جي امڪان کي هن ريت ڳڻپيو وڃي ٿو:
\[ P(A) = \frac{\text{شاگردن جو تعداد جيڪي رياضي پسند ڪن ٿا}}{\text{شاگردن جو ڪل تعداد}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{شاگردن جو تعداد جيڪي سائنس پسند ڪن ٿا}}{\text{شاگردن جو ڪُل تعداد}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
واقعا \(A\) ۽ \(B\) هڪ ٻئي کان الڳ آهن ڇاڪاڻ ته ڪو به شاگرد انهن ٻنهي کي پسند نٿو ڪري. تنهن ڪري، ٻن هڪ ٻئي کان الڳ واقعن لاءِ اضافي قاعدي کي استعمال ڪندي:
\[ پي(اي \ڪپ ب) = پي(اي) + پي(بي) = \فريڪ{7}{20} + \فريڪ{5}{20} = \فريڪ{12}{20} = \فريڪ{3}{5} \]
تنهن ڪري، امڪان اهو آهي ته بي ترتيب چونڊيل شاگرد رياضي يا سائنس مان ڪنهن کي به پسند ڪري ٿو \( \frac{3}{5} \) يا 60٪ آهي.
نتيجو
ٻن باهمي طور تي الڳ ٿيل واقعن جو اضافو قاعدو امڪاني نظريي ۾ هڪ بنيادي تصور آهي جيڪو گڏيل واقعي جي امڪان جي حساب کي آسان بڻائي ٿو. مٿي ڏنل مثالن ۾، اسان ڏٺو آهي ته هي اصول حقيقي دنيا جي حالتن تي لاڳو ڪري سگهجي ٿو جهڙوڪ ڊائس رول ڪرڻ، ٿيلهي مان بال ڪڍڻ، يا ڪلاس مان شاگردن کي چونڊڻ. هن تصور کي سمجهڻ ۽ ان ۾ مهارت حاصل ڪرڻ سان، اسان روزمره جي زندگي ۾ مختلف باهمي طور تي الڳ ٿيل واقعن جي امڪانن کي وڌيڪ اثرائتي انداز ۾ ڳڻائي سگهون ٿا.
