جڳهن کي ڀرڻ جي ضابطن تي بحث ڪندڙ مثالي سوال

مثال طور سوال جيڪي خال ڀرڻ جي قاعدن تي بحث ڪن ٿا

جڳهه ڀرڻ جو قاعدو، يا جڳهه رکڻ جو قاعدو، رياضي ۽ امڪان ۾ هڪ بنيادي تصور آهي جيڪو ڪيترن ئي حالتن ۾ تمام گهڻو ڪارآمد آهي. هي قاعدو عام طور تي شين کي هڪ مخصوص ترتيب ۾ يا مختلف ترتيبن ۾ ترتيب ڏيڻ جي حوالي سان استعمال ڪيو ويندو آهي. هن مضمون ۾، اسان جڳهه ڀرڻ جي قاعدي سان لاڳاپيل ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن تي بحث ڪنداسين، هر هڪ لاءِ تفصيلي حل فراهم ڪنداسين.

پنڊال

اسپيس فلنگ هڪ عام ٽيڪنڪ آهي جيڪا ڪمبينيٽرڪس ۾ استعمال ٿيندي آهي، رياضي جو هڪ شعبو جيڪو شين جي ترتيب، ميلاپ ۽ چونڊ جو مطالعو ڪري ٿو. ڪمبينيٽرڪس جي بنيادي اصولن مان هڪ ضرب جو قاعدو آهي، جيڪو ٻڌائي ٿو ته جيڪڏهن ڪنهن عمل ۾ ڪيترائي مرحلا آهن ۽ هر مرحلي ۾ چونڊ جو هڪ خاص تعداد آهي، ته پوءِ ممڪن ترتيبن جو ڪل تعداد هر مرحلي ۾ چونڊ جي تعداد کي ضرب ڏئي ڳولي سگهجي ٿو.

مثال طور، جيڪڏهن اسان وٽ ٻه مرحلا آهن جتي پهرين مرحلي ۾ \(m\) چونڊون آهن ۽ ٻئي مرحلي ۾ \(n\) چونڊون آهن، ته پوءِ ممڪن ترتيبن جو ڪل تعداد \(m \times n\) آهي.

اچو ته هن تصور کي ڪجهه مثالي مسئلن کي حل ڪرڻ لاءِ لاڳو ڪريون.

مثال 1: شيلف تي ڪتاب ترتيب ڏيڻ

سوال:
هتي 5 مختلف ڪتاب ۽ هڪ ڪتابن جي شيلف آهي جنهن ۾ 5 جايون ڀرڻ لاءِ آهن. شيلف تي پنجن ڪتابن کي ڪيترين طريقن سان ترتيب ڏئي سگهجي ٿو؟

بحث:
هن صورت ۾، اسان کي پنجن ڪتابن کي پنجن مختلف جڳهن ۾ ترتيب ڏيڻ جي ضرورت آهي. هي هڪ ترتيب جو مسئلو آهي ڇاڪاڻ ته ترتيب انتهائي اهم آهي. اسان هن مسئلي کي حل ڪرڻ لاءِ جاءِ ڀرڻ واري قاعدي يا ضرب جي قاعدي کي استعمال ڪري سگهون ٿا.

1. پهرين ڪمري لاءِ، اسان وٽ 5 ڪتابن جا آپشن آهن.
2. پهرين ڪمري ۾ هڪ ڪتاب رکڻ کان پوءِ، اسان وٽ ٻئي ڪمري لاءِ 4 ڪتاب جا آپشن بچيا آهن.
3. ٽئين ڪمري لاءِ، اسان وٽ 3 باقي ڪتاب جا انتخاب آهن، وغيره.

سيٽنگن جي ڪل تعداد لاءِ مساوات هي آهي:
\[ 5 \ ڀيرا 4 \ ڀيرا 3 \ ڀيرا 2 \ ڀيرا 1 = 5! = 120 \]

تنهن ڪري، پنجن ڪتابن کي ترتيب ڏيڻ جا 120 طريقا آهن.

مثال 2: مختلف اکرن مان لفظ ٺاهڻ

سوال:
"MATHEMATICS" لفظ جي سڀني اکرن کي استعمال ڪندي ڪيترا مختلف لفظ ٺاهي سگهجن ٿا، انهن کي ورجائڻ کان سواءِ؟

بحث:
اسان کي پهريان ڏسڻ جي ضرورت آهي ته "MATHEMATICS" لفظ ۾ ڪيترا اکر آهن. 11 اکر آهن، جن مان ڪجهه ورجايل آهن. ورجايل اکر هي آهن:
- 2 تائين ايم
- وڌ ۾ وڌ 3
- ٽي جيترو 2
- ٻيا اکر (اي، آءِ، ڪي) هڪ ڀيرو ظاهر ٿين ٿا.

اسين بار بار عنصرن لاءِ ترتيب فارمولا استعمال ڪندا آهيون، يعني:
\[ \frac{ن!}{ن_1! \ٽائيم ن_2! \ٽائيم \ٽائيم ن_ڪ!} \]
جتي \( n \) عنصرن (اکر) جو ڪل تعداد آهي ۽ \( n_1, n_2, \ldots, n_k \) هر الڳ عنصر جي ورجائي جو تعداد آهي.

لفظ "رياضي" سان:
\[ n = 11، n_1 = 2 \text{ (M)}، n_2 = 3 \text{ (A)}، n_3 = 2 \text{ (T)}، n_4 = 1 \text{ (E)}، n_5 = 1 \text{ (I)}، n_6 = 1 \text{ (K)} \]

تنهنڪري لفظن جو تعداد جيڪو ٺهي سگهي ٿو:
\[ \frac{11!}{2! \times 3! \times 2! \times 1! \times 1! \times 1!} = \frac{39916800}{2 \times 6 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{39916800}{24} = 1663200 \]

1,663,200 مختلف لفظ آهن جيڪي ٺاهي سگهجن ٿا.

مثال 3: مارتابڪ ۾ مجموعن جو تعداد طئي ڪرڻ

سوال:
هڪ مارتابڪ وڪڻندڙ پنج فلنگز پيش ڪري ٿو (پنير، چاڪليٽ، مونگ پھلي، ڪيلا، ۽ ڪشمش). جيڪڏهن ڪو گراهڪ پنهنجي مارتابڪ لاءِ پنجن فلنگز مان ٽي چونڊڻ چاهي ٿو، ته هو ڪيترا مختلف ميلاپ چونڊي سگهن ٿا؟

بحث:
هي هڪ ميلاپ جو مسئلو آهي، ترتيب نه، ڇاڪاڻ ته ترتيب غير اهم آهي. اسان ميلاپ فارمولا استعمال ڪريون ٿا:
\"C(n, k) = frac{n!}{k!(nk)!} \]
جتي \( n \) چونڊن جو ڪل تعداد آهي، ۽ \( k \) ڪيل چونڊن جو تعداد آهي.

هن صورت لاءِ، \( n = 5 \) ۽ \( k = 3 \)، تنهن ڪري:
\[ سي(5، 3) = \فريڪ{5!}{3!(5-3)!} = \فريڪ{5!}{3! \دفعا 2!} = \فريڪ{120}{6 \دفعا 2} = \فريڪ{120}{12} = 10 \]

5 اختيارن مان 3 مواد چونڊڻ لاءِ 10 مختلف مجموعا آهن.

مثال 4: هڪ ميچ ۾ شرڪت ڪندڙن جو انتظام

سوال:
هڪ ڊوڙ ۾ 8 شرڪت ڪندڙ هوندا آهن. مٿين 3 فائنلسٽن کي ڪيترين طريقن سان رکي سگهجي ٿو؟

بحث:
هي هڪ ترتيب وار مسئلو آهي جنهن ۾ ورجاءُ نه آهي ڇاڪاڻ ته پوزيشن جو مطلب آهي ترتيب اهم آهي. اسان ترتيب وار فارمولا استعمال ڪريون ٿا:
\[ P(n, k) = frac{n!}{(nk)!} \]

هن صورت لاءِ، \( n = 8 \) ۽ \( k = 3 \)، پوءِ:
\[ پي(8، 3) = \فريڪ{8!}{(8-3)!} = \فريڪ{8!}{5!} = \فريڪ{40320}{120} = 336 \]

تنهن ڪري، 8 شرڪت ڪندڙن جي مٿين ٽن پوزيشنن کي رکڻ جا 336 طريقا آهن.

هن آرٽيڪل ۾، اسان مختلف حالتن ۾ خلا ڀرڻ جي قاعدن کي استعمال ڪندي ڪيترن ئي مثالن جي مسئلن ۽ انهن جي حل تي بحث ڪيو آهي: شيلف تي ڪتابن کي ترتيب ڏيڻ کان وٺي مقابلي جي فاتح کي طئي ڪرڻ تائين. انهن بنيادي اصولن کي سمجهڻ سان توهان کي مختلف ڪمبينيٽرڪس ۽ امڪاني مسئلن کي حل ڪرڻ ۾ وڌيڪ اعتماد ملندو جيڪي توهان کي منهن ڏيڻو پئجي سگهي ٿو.