لهر جي مرحلي جي فرق جي مسئلن جي مثال
لهرون هڪ تمام عام جسماني رجحان آهن جيڪي روزمره جي زندگي ۽ مختلف سائنسي شعبن ۾ ملن ٿيون. لهرون مشيني ٿي سگهن ٿيون، جهڙوڪ آواز جون لهرون ۽ پاڻي جون لهرون، يا برقي مقناطيسي، جهڙوڪ روشني. لهرن جي مطالعي ۾ هڪ اهم تصور مرحلو فرق آهي. هن مضمون ۾، اسان لهرن ۾ مرحلي فرق کي کوٽائي ۾ جانچينداسين ۽ اسان جي سمجھ کي وڌيڪ مضبوط ڪرڻ لاءِ ڪيترائي مثال مسئلا پيش ڪنداسين.
لهرن جي مرحلي جي فرق کي سمجهڻ
مرحلي جو فرق هڪ ڏنل وقت تي هڪ لهر ۾ ٻن نقطن جي پوزيشن ۾ فرق کي ظاهر ڪري ٿو. مرحلي جو فرق درجن يا ريڊين ۾ ماپي سگهجي ٿو ۽ اهو ظاهر ڪري ٿو ته اهي نقطا لهر جي چڪر سان ڪيترو پري آهن. سادي لفظن ۾، مرحلي جو فرق ٻن لهرن جي وچ ۾ وقت جي فرق کي بيان ڪري ٿو جيڪي خلا ۾ هڪ ڏنل نقطي مان گذري رهيا آهن. ٻه لهرون مرحلي ۾ چيو ويندو آهي جيڪڏهن ٻنهي لهرن تي لاڳاپيل نقطا انهن جي چڪر ۾ ساڳئي پوزيشن تي ظاهر ٿين ٿا.
رياضي طور تي، هڪ لهر جي مرحلي (\(\phi\)) کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ \phi = kx - \omega t + \phi_0 \]
انسان ۾:
- \(k\) لهر جو انگ آهي،
- \(x\) نقطي جي پوزيشن آهي،
- \(\اوميگا\) ڪوئلي فريڪوئنسي آهي،
- \(t\) وقت آهي، ۽
- \(\phi_0\) شروعاتي مرحلو آهي.
هڪ لهر ۾ ٻن نقطن جي وچ ۾ يا ٻن مختلف لهرن جي وچ ۾ مرحلي جي فرق کي هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿو:
\[ \ ڊيلٽا \ phi = \ phi_2 - \ phi_1 \]
مرحلي جي فرق جي درخواست
ڪميونيڪيشن انجنيئرنگ، موسيقي، فزڪس، ۽ انجنيئرنگ سميت ڪيترن ئي شعبن ۾ مرحلي جو فرق اهم آهي. ڪميونيڪيشن انجنيئرنگ ۾، مرحلن جو فرق سگنلن جي وچ ۾ مداخلت کي طئي ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. موسيقي ۾، مرحلن جو فرق آواز جي معيار ۽ هارمونڪس کي متاثر ڪري سگهي ٿو. فزڪس ۾، هي تصور لهر جي مداخلت، سپر پوزيشن، ۽ ڊفرڪشن رجحان کي سمجهڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي.
لهر جي مرحلي جي فرق جي مسئلن جي مثال
هن تصور کي وڌيڪ سکڻ لاءِ، هتي لهر جي مرحلي جي فرق جي سوالن جا ڪجهه مثال انهن جي بحثن سان گڏ آهن.
مثال 1: ساڳئي فريڪوئنسي جي ٻن لهرن جي مرحلي جي فرق جو حساب ڪرڻ
سوال:
ٻہ لهرون هڪ ئي وچولي ۾ سفر ڪن ٿيون ۽ انهن جي فريڪوئنسي 5 هرٽز آهي. پهرين لهر جو شروعاتي مرحلو 0 ريڊين آهي، جڏهن ته ٻئي لهر جو شروعاتي مرحلو \(\pi/2\) ريڊين آهي. انهن ٻن لهرن جي وچ ۾ مرحلو فرق معلوم ڪريو.
بحث:
ٻن لهرن جي وچ ۾ مرحلو فرق (\(\ڊيلٽا \phi\)) انهن جي شروعاتي مرحلو قدرن ۾ فرق آهي. هن صورت ۾:
\[ \Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \, \text{radian} \]
تنهن ڪري، ٻن لهرن جي وچ ۾ مرحلو فرق \(\pi/2\) ريڊين يا 90 درجا آهي.
مثال سوال 2: پوزيشن جي بنياد تي مرحلي جو فرق
سوال:
هڪ سائنوسائيڊل لهر جي موج جي ڊيگهه 4 ميٽر هوندي آهي. هڪ ڏنل وقت تي، ٻن نقطن جي وچ ۾ 1 ميٽر جي فاصلي تي مرحلي جي فرق کي طئي ڪريو.
بحث:
هڪ لهر ۾ ٻن نقطن جي وچ ۾ مرحلو فرق (\(\ڊيلٽا \phi\)) سڌو سنئون طول موج جي يونٽن ۾ انهن جي وچ ۾ فاصلي (\(\ڊيلٽا x\)) جي متناسب آهي (\(\ليمبڊا\)):
\[ \ڊيلٽا \فائي = \فريڪ{2\پائي}{\ليمبڊا} \ٽائيمز \ڊيلٽا x \]
اهو معلوم آهي:
– \(\ليمبڊا = 4\) ميٽر
– \(\ڊيلٽا x = 1\) ميٽر
متبادل سان:
\[ \ڊيلٽا \فِي = \فريڪ{2\پائي}{4} \ٽائيمز 1 = \فريڪ{\پائي}{2} \، \ٽيڪسٽ{ريڊين} \]
تنهن ڪري، ٻن نقطن جي وچ ۾ مرحلو فرق \(\pi/2\) ريڊين يا 90 درجا آهي.
مثال 3: مختلف لهرن لاءِ مرحلي جي فرق جو حساب ڪرڻ
سوال:
پاڻيءَ جي مٿاڇري تي ٻہ لهرون ذريعا 3 ميٽر ۽ 4 ميٽر جي لهرن سان لهرون پيدا ڪن ٿا. ٻئي لهرون مٿاڇري تي نقطي P تي ساڳئي ذريعن کان نقطي جي مفاصلي تي 5 ميٽر پهچن ٿيون. نقطي P تي ٻن لهرن جي وچ ۾ مرحلي جي فرق کي طئي ڪريو.
بحث:
هر لهر لاءِ، مرحلي جي فرق کي طول موج جي يونٽن ۾ سفر ڪيل فاصلي جي بنياد تي حساب ڪري سگهجي ٿو:
پهرين لهر (\(\lambda_1 = 3\) ميٽر)، مرحلي جو فرق آهي:
\[ \ڊيلٽا \فائي_1 = \فريڪ{2\پائي}{\ليمبڊا_1} \وقت ڊي = \فريڪ{2\پائي}{3} \وقت 5 = \فريڪ{10\پائي}{3} \]
ٻي لهر (\(\lambda_2 = 4\) ميٽر)، مرحلي جو فرق آهي:
\[ \ڊيلٽا \فائي_2 = \فريڪ{2\پائي}{\ليمبڊا_2} \وقت ڊي = \فريڪ{2\پائي}{4} \وقت 5 = \فريڪ{5\پائي}{2} \]
ٻن لهرن جي وچ ۾ مرحلو فرق انهن ٻن حسابن جي وچ ۾ فرق آهي (هڪ چڪر ۾ مرحلو حاصل ڪرڻ لاءِ ماڊيولس \(2\pi\):
\[ \ڊيلٽا \فائي = \کاٻو| \فريڪ{10\پائي}{3} – \فريڪ{5\پائي}{2} \ساڄو| \]
حرفن جي برابري ڪرڻ:
\[ \frac{10\pi}{3} = \frac{20\pi}{6} \]
\[ \frac{5\pi}{2} = \frac{15\pi}{6} \]
تنهن ڪري:
\[ \ڊيلٽا \فِي = \کاٻو| \فريڪ{20\پائي}{6} – \فريڪ{15\پائي}{6} \ساڄو| = \فريڪ{5\پائي}{6} \، \ٽيڪسٽ{ريڊين} \]
تنهن ڪري، پوائنٽ P تي ٻن لهرن جي وچ ۾ مرحلو فرق \(5\pi/6\) ريڊين آهي.
نتيجو
لهرن ۽ انهن جي پيدا ٿيندڙ واقعن، جهڙوڪ مداخلت ۽ سپرپوزيشن، جي وچ ۾ رابطي کي سمجهڻ لاءِ مرحلي جي فرق جو تصور اهم آهي. مٿي ڏنل مثال جي مسئلن جو مطالعو اميد ته توهان کي سمجهڻ ۾ مدد ڪندو ته مرحلي جو فرق مختلف جسماني ايپليڪيشنن ۾ ڪيئن ڪردار ادا ڪري ٿو. انهن مثالن کي سمجهڻ سان، پڙهندڙ اميد ته لهرن جي مطالعي ۾ مرحلي جي فرق جي تصور کي وڌيڪ پيچيده ۽ متنوع حالتن ۾ لاڳو ڪرڻ جي قابل هوندا.
