سائنس جي مختلف شعبن ۾ مشتقات جا استعمال
ڊيريويٽو ڪيلڪولس ۾ هڪ بنيادي تصور آهي، جيڪو 17 صدي جي آخر ۾ سر آئزڪ نيوٽن ۽ گوٽفريڊ ولهيلم ليبنز پاران متعارف ڪرايو ويو هو. رياضي ۾، ڊيريويٽو ان جي متغيرن مان هڪ جي حوالي سان ڪنهن فنڪشن جي تبديلي جي شرح جي نمائندگي ڪري ٿو. هي تصور نه رڳو رياضي لاءِ بنيادي آهي پر سائنس جي ٻين مختلف شعبن ۾ پڻ وسيع ايپليڪيشنون آهن. هي مضمون مختلف شعبن ۾ ڊيريويٽو جي مختلف ايپليڪيشنن تي بحث ڪندو، فزڪس ۽ معاشيات کان حياتيات ۽ انجنيئرنگ کان ڪمپيوٽر سائنس تائين.
1. فزڪس
فزڪس ۾، خاص طور تي ڪلاسيڪل ميڪينڪس ۾، ڊيريويٽيوز تمام اهم آهن. سڀ کان بنيادي مثالن مان هڪ پوزيشن، رفتار، ۽ تيز رفتاري جي وچ ۾ تعلق آهي. جيڪڏهن \( s(t) \) وقت جي ڪم جي طور تي ڪنهن شيءِ جي پوزيشن آهي، ته پوءِ:
- رفتار (( v(t) \)) وقت جي حوالي سان پوزيشن جو پهريون مشتق آهي: \( v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \).
- تيزي (\( a(t) \)) رفتار جو پهريون مشتق آهي يا وقت جي حوالي سان پوزيشن جو ٻيو مشتق آهي: \( a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2s(t)}{dt^2} \).
اضافي طور تي، برقي مقناطيس ۾، فيراڊي جو برقي مقناطيسي انڊڪشن جو قانون ٻڌائي ٿو ته هڪ سرڪٽ ۾ پيدا ٿيندڙ برقي موٽو فورس (EMF) وقت جي حوالي سان مقناطيسي وهڪري جو مشتق آهي.
2. معيشت
معاشيات ۾، ڊيريويٽوز کي قيمت، آمدني، ۽ پيداوار جي ڪمن ۾ تبديلين جو تجزيو ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. مثال طور:
- مارجنل ڪاسٽ (بيا مارجنل) پيداوار جي مقدار جي حوالي سان ڪل لاڳت جي فنڪشن جو مشتق آهي، جيڪو ڏيکاري ٿو ته پيداوار وڌڻ سان ڪل لاڳت ڪيئن بدلجي ٿي: \( MC = \frac{dTC}{dQ} \).
- مارجنل آمدني (مارجنل آمدني) پيداوار جي مقدار جي حوالي سان ڪل آمدني جي فنڪشن جو مشتق آهي، جيڪو اضافي آمدني کي بيان ڪري ٿو جڏهن سيلز وڌي ويندي آهي: \( MR = \frac{dTR}{dQ} \).
هڪ ٻيو اهم استعمال افاديت جي نظريي ۾ آهي. افاديت جو ڪم سامان ۽ خدمتن جي استعمال مان حاصل ٿيندڙ اطمينان يا افاديت کي بيان ڪري ٿو. افاديت جي ڪم جي پهرين مشتق کي حاشيي افاديت سڏيو ويندو آهي، جيڪو ڪنهن سامان يا خدمت جي اضافي يونٽ جي استعمال مان حاصل ٿيندڙ اضافي اطمينان کي ظاهر ڪري ٿو.
3. حياتيات
حياتيات ۾، مختلف متحرڪ عملن جي ماڊلنگ لاءِ ڊيريويٽو استعمال ڪيا ويندا آهن. مثال طور، ماحوليات ۾، آبادي جي واڌ جا ماڊل اڪثر آبادي جي واڌ جي شرح کي بيان ڪرڻ لاءِ ڊيريويٽو استعمال ڪندا آهن. ايڪسپونينشل ۽ لاجسٽڪ واڌ جا ماڊل ٻه عام مثال آهن:
- ايڪسپونيشل واڌ جو ماڊل: \( \frac{dN}{dt} = rN \)، جتي \( N \) آبادي جو سائز آهي ۽ \( r \) اندروني واڌ جي شرح آهي.
- لاجسٽڪ واڌ جو ماڊل: \( \frac{dN}{dt} = rN \left( 1 – \frac{N}{K} \right) \)، جتي \( K \) ماحولياتي گنجائش آهي ۽ \( \left( 1 – \frac{N}{K} \right) \) هڪ گهٽتائي وارو عنصر آهي جيڪو ماحولياتي گنجائش جي ويجهو اچڻ سان واڌ جي شرح کي گهٽائي ٿو.
فزيالوجي ۾، رت جي وهڪري ۽ اعصاب سگنل ٽرانسميشن جهڙن جسماني عملن کي ماڊل ڪرڻ لاءِ ڊيريويٽوز استعمال ڪيا ويندا آهن. مثال طور، رت جي رڳن ۾ رت جي وهڪري لاءِ ڊارسي جو قانون رڳن سان گڏ رت جي دٻاءُ ۾ تبديلين کي بيان ڪرڻ لاءِ ڊيريويٽوز استعمال ڪندو آهي.
4. ٽيڪنڪ
انجنيئرنگ جي مختلف شاخن ۾ ڊيريويٽو پڻ تمام اهم آهن. سول انجنيئرنگ ۽ ميڪينڪس ۾، ڊيريويٽو اسٽرڪچرل ايناليسس ۽ فلوئڊ ميڪينڪس ۾ استعمال ٿيندا آهن. مثال طور:
- ساخت جي تجزيي ۾، محدود عنصر جو طريقو ساختن ۾ خرابين ۽ دٻاءُ کي طئي ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. بي گھرڻ جي فنڪشن جو مشتق دٻاءُ ڏئي ٿو، ۽ دٻاءُ جو مشتق دٻاءُ ڏئي ٿو.
- فلوئڊ ميڪينڪس ۾، نيويئر-اسٽوڪس مساواتون فلوئڊ وهڪري کي بيان ڪن ٿيون. اهي مساواتون وقت ۽ جاءِ جي حوالي سان فلوئڊ جي رفتار جا جزوي نڪتل فرق واريون مساواتون آهن.
اليڪٽريڪل انجنيئرنگ ۾، ڊيريويٽوز کي اليڪٽريڪل سرڪٽس جي تجزيي ۾ استعمال ڪيو ويندو آهي. ڪرچوف جا قانون ۽ نيٽ ورڪ ٿيوري اڪثر ڪري اليڪٽريڪل سرڪٽس ۾ ڪرنٽ، وولٽيج، ۽ انڊڪٽنس جي وچ ۾ تعلق کي بيان ڪرڻ لاءِ ڊيريويٽوز شامل ڪندا آهن.
5. ڪمپيوٽر سائنس
ڪمپيوٽر سائنس ۾، ڊيريويٽوز کي اصلاح ۽ مشين لرننگ ۾ استعمال ڪيو ويندو آهي. مکيه ايپليڪيشنن مان هڪ اصلاح الگورتھم ۾ آهي جهڙوڪ گريڊينٽ ڊيسنٽ. هي الگورتھم مشين لرننگ ماڊل جي تربيتي عمل ۾ قيمت جي ڪم کي گھٽائڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي:
- گريڊينٽ ماڊل پيرا ميٽرز جي حوالي سان قيمت فنڪشن جو پهريون ڊيريويٽو ویکٹر آهي، جيڪو سڀ کان وڏي تبديلي جي هدايت کي ظاهر ڪري ٿو.
- گريڊينٽ ڊيسنٽ هڪ ٻيهر ورجائيندڙ عمل آهي جيڪو گريڊينٽ استعمال ڪري ٿو ماڊل پيرا ميٽرز کي گھٽ ۾ گھٽ قيمت فنڪشن ڏانهن اپڊيٽ ڪرڻ لاءِ.
اضافي طور تي، ڪمپيوٽر گرافڪس ۾، روشني ۽ پاڇي کي هٿي وٺرائڻ لاءِ ڊيريويٽو استعمال ڪيا ويندا آهن. ليمبرٽ جو قانون ۽ فونگ لائٽنگ ماڊل روشني جي ذريعن جي سامهون ايندڙ مٿاڇري کان ظاهر ٿيندڙ روشني جي شدت کي ڳڻڻ لاءِ ڊيريويٽو استعمال ڪندا آهن.
6. ڪيمسٽري
ڪيمسٽري ۾، ڪيميائي رد عمل جي شرح کي بيان ڪرڻ لاءِ رد عمل جي حرڪيات ۾ مشتق استعمال ڪيا ويندا آهن. رد عمل جي شرح عام طور تي وقت جي حوالي سان هڪ رد عمل ڪندڙ يا پيداوار جي ڪنسنٽريشن جي مشتق جي طور تي ظاهر ڪئي ويندي آهي. مثال طور، پهرين رد عمل لاءِ:
\[ \ٽيڪسٽ{ري ايڪٽنٽ} \رائيٽ آرو \ٽيڪسٽ{پراڊڪٽس} \]
رد عمل جي شرح \( r(t) \) هن طرح ظاهر ڪري سگهجي ٿي:
\[ r(t) = – \frac{d[\ٽيڪسٽ{ري ايڪٽنٽ}]}{dt} = \frac{d[\ٽيڪسٽ{پراڊڪٽ}]}{dt} \]
ان کان علاوه، ڪنهن به نظام ۾ توانائي جي تبديلين جو تجزيو ڪرڻ لاءِ ٿرموڊائنامڪس ۾ ڊيريويٽو استعمال ڪيا ويندا آهن. مثال طور، گِبس فري انرجي (G) هڪ ٿرموڊائنامڪ فنڪشن آهي جيڪو اڪثر ڪري ڪيميائي رد عمل جي هدايت جي اڳڪٿي ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي، ۽ سسٽم جي آزادي جي درجي جي حوالي سان G جو پهريون ڊيريويٽو ٿرموڊائنامڪ توازن جي حالت بابت معلومات فراهم ڪري ٿو.
نتيجو
مٿي ڏنل وضاحت مان، اهو واضح آهي ته ڊيريويٽوز جو تصور مختلف سائنسي شعبن ۾ وسيع استعمال ڪري ٿو. فزڪس ۾، ڊيريويٽوز پوزيشن، رفتار ۽ تيز رفتاري جي وچ ۾ بنيادي تعلق کي بيان ڪن ٿا. معاشيات ۾، ڊيريويٽوز کي حد جي خرچن ۽ آمدني جو تجزيو ڪرڻ لاءِ استعمال ڪيو ويندو آهي. حياتيات ۾، ڊيريويٽوز آبادي جي واڌ ۽ جسماني عملن کي ماڊل ڪرڻ ۾ مدد ڪندا آهن. انجنيئرنگ ۾، ڊيريويٽوز ساخت جي تجزيي ۽ فلوئڊ ميڪينڪس ۾ ضروري آهن. ڪمپيوٽر سائنس اصلاح الگورتھم ۽ مشين لرننگ ۾ ڊيريويٽوز استعمال ڪري ٿي. ڪيمسٽري ۾، ڊيريويٽوز کي رد عمل جي حرڪيات ۽ ٿرموڊائنامڪس ۾ استعمال ڪيو ويندو آهي. تنهن ڪري، ڊيريويٽوز جي تصور کي سمجهڻ ۽ ان تي عبور حاصل ڪرڻ سائنسدانن ۽ انجنيئرن لاءِ مختلف شعبن ۾ اهم آهي.
