Момент инерции

1. Момент инерции частицы

Рассмотрим вращающуюся частицу. Частице массой m действует сила F, заставляющая её вращаться вокруг оси O. Частица находится на расстоянии r от оси вращения. Сначала частица находится в состоянии покоя (v = 0). После того, как частица начинает двигаться под действием силы F, она начинает двигаться с определённой скоростью, приобретая тангенциальное ускорение. Связь между силой (F), массой (m) и тангенциальным ускорением частиц выражается уравнением 3:

F = ma _tan (Уравнение 3)

Частицы вращаются, приобретая угловое ускорение. Связь между тангенциальным ускорением и угловым ускорением выражается уравнением 4:

a _tan = r α (Уравнение 4)

Подставьте a в уравнение 3 вместо a в уравнение 4:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (Уравнение 5)

rF — момент силы, а mr² ^— момент инерции частицы. Уравнение 5 устанавливает связь между моментом силы, моментом инерции и угловым ускорением вращающихся частиц. Уравнение 5 — это уравнение второго закона Ньютона для вращающихся частиц.

Момент инерции частицы равен произведению массы частицы (m) и квадрата расстояния между частицами и осью вращения (r² ⁾.

I = mr² ⁽ Уравнение 6)

I = момент инерции частицы, m = масса частицы, r = расстояние между частицей и осью вращения. Уравнение 6 используется для определения момента инерции частицы.

3.2 Примеры задач о моменте инерции частицы

Пример задачи 1.

Частица массой 2 кг была привязана к веревке длиной 0.5 метра, а затем вращалась. Каков момент инерции частицы при вращении?

Решение:

Я = г-н ²

I = (2 кг) (0.5 м) ^²

I = 0.5 кг· ^м²

Пример задачи 2.

Две частицы, каждая массой 2 кг и 4 кг, соединены лёгкой проволокой длиной 2 метра. Массой проволоки пренебречь. Определите момент инерции двух частиц, если:

а) Ось вращения расположена между двумя частицами.

Решение:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

Я = 2 + 4

I = 6 кг· ^м²

б) Ось вращения находится на расстоянии 0.5 метра от частицы массой 2 кг.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Я = 0.5 + 9

I = 9.5 кг· ^м²

c) Ось вращения находится на расстоянии 0.5 метра от частицы массой 4 кг.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Я = 4.5 + 1

I = 5.5 кг· ^м²

На основании результатов приведенных выше расчетов можно сделать вывод, что момент инерции сильно зависит от расположения оси вращения. Хотя форма и размеры одинаковы, поскольку расположение оси вращения различно, момент инерции также различен.

Частицы, находящиеся вблизи оси вращения, имеют меньший момент инерции, тогда как частицы, находящиеся далеко от оси вращения, имеют больший момент инерции. Если предположить, что две описанные выше частицы являются твердыми объектами, то каждая из них находится вблизи оси вращения.

имеет меньший момент инерции, чем момент инерции частицы, находящейся дальше от оси вращения.

3.3 Момент инерции однородного твердого тела

Твёрдые объекты состоят из множества частиц. Момент инерции твёрдого тела — это суммарное число моментов инерции каждой частицы, из которых состоит объект.

I = Σ mr ²

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Для определения момента инерции твердого объекта необходимо рассмотреть его вращение, поскольку положение оси вращения влияет на момент инерции объекта. Момент инерции (I) каждой частицы также зависит от массы (m) частицы и квадрата расстояния (r² ⁾ частицы от оси вращения. Масса всех частиц, составляющих объект, равна массе объекта.

Проблема в том, что расстояние каждой частицы от оси вращения различно.

Рассмотрите уменьшение формулы момента инерции тонкого кольца с пальцами R и массой M.

Если ось вращения расположена в центре кольца, то все частицы тонкого кольца находятся на некотором расстоянии от оси вращения. Момент инерции тонкого кольца равен моменту инерции всех частиц:

I = Σ mr²

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + ….. + м_n r_n²

Масса всех частиц равна массе тонкого кольца (М).

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Каждая частица тонкого кольца находится на расстоянии r от оси вращения, так что r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

Уравнение момента инерции тонкого кольца:

I = MR ²

I = момент инерции тонкого кольца, M = масса тонкого кольца, R = радиус тонкого кольца.

Что произойдет, если ось вращения не расположена в центре кольца? Если ось вращения не расположена в центре кольца, формулу момента инерции тонкого кольца нельзя вывести, используя описанный выше метод.

Поскольку расстояние каждой частицы от оси вращения различно, вывод формулы момента инерции для подобных задач в данной теме не рассматривается.

Формула момента инерции для некоторых твердых объектов

3.4 Пример задачи о моменте инерции однородного твердого тела

Пример задачи 1:

При вращении цилиндра AB вокруг точки B его масса составляет 3 кг.

Момент инерции равен 27 кг·м² ^. Каков момент инерции, если...

Повернуто через C?

Решение:

Решение:

Формула момента инерции для однородного сплошного стержня (ось вращения находится в центре стержня):

I = 1/12 мл ²

27 = (1/12) мл ²

(27)(12) = ML ²

324 = мл ²

Формула момента инерции однородного сплошного стержня (ось вращения на ребре стержня):

I = 1/3 мл ²

I = 1/3 (324)

I = 108 кг· ^м²