Угловой момент

Угловой момент

Величина вращательного движения, идентичная массе (m) при прямолинейном движении, — это момент инерции (I). Величина вращательного движения, идентичная скорости (v) при прямолинейном движении, — это угловая скорость (ω). Таким образом, вращающийся объект обладает угловым моментом, который можно рассчитать по уравнению:

L = я ш

L = угловой момент (кг·м² ^/ с), I = момент инерции (кг·м² ⁾ , ω = угловая скорость (рад/с)

Примеры задач по угловому моменту

Пример задачи 1.

Частица массой 0.5 грамма движется по кругу с постоянной угловой скоростью 2 рад/с. Определите угловой момент частицы, если радиус её траектории равен 10 см.

Решение:

Момент инерции частицы:

I = mr² ⁼ (0.5 x 10⁻³ ^кг )(1 x 10⁻¹ ^м ) ^² = (0.5 x ^10⁻³ кг)(1 x ^10⁻² м² ⁾ = 0.5 x ^10⁻⁵ кг ^​​м²

Угловая скорость частицы:

ω = 2 рад / с

Угловой момент частицы:

L = (0.5 x 10⁻⁵ ^кг ​​м² ⁾ (2 рад/с) = 1 x 10⁻⁵ ^кг ​​м² ^/ с

Закон сохранения углового момента

Закон сохранения углового момента гласит, что если результирующий момент силы, действующей на твердое тело при вращении, равен нулю, то угловой момент этого твердого тела при вращении всегда постоянен. Закон сохранения углового момента можно вывести математически, модифицировав уравнение второго закона Ньютона об угловом моменте. Вот уравнение второго закона Ньютона об угловом моменте:

Если результирующий момент силы равен нулю, то приведенное выше уравнение изменяется следующим образом:

I _t = конечный момент инерции, I _o = начальный момент инерции, ω _t = конечная угловая скорость, ω _o = начальная угловая скорость, L _t = конечный угловой момент, L _o = начальный угловой момент.

Примеры задач по закону сохранения углового момента

Пример задачи 1.

Однородный сплошной цилиндрический диск первоначально вращается вокруг своей оси со скоростью 4 рад/с. Масса и радиус диска равны 1 кг и 0.5 м. Если над пластиной поместить кольцо, имеющее массу и радиус 0.2 кг и 0.1 м, и центр кольца,

Если расположить диск и кольцо непосредственно над центром диска, то они будут вращаться вместе с угловой скоростью…

Решение:

Момент инерции сплошного цилиндра: I = 1/2 mr² ⁼ 1/2 (1 кг)(0.5 м) ^² = (0.5)(0.25) = 0.125 кг· ^м²

Момент инерции кольца: I = mr² ⁼ (0.2 кг)(0.1 м) ^² = (0.2)(0.01) = 0.002 кг· ^м²

Начальный угловой момент (L₁ ₎ = Конечный угловой момент ( _L₂ )

I ₁ ω ₁ = I ₂ ω ₂

(0.125 кг· ^м² )(4 рад/с) = (0.125 кг· ^м² + 0.002 кг· ^м² )( _ω² )

(0.5) = (0.127)(ω ₂ )

ω ₂ = 0.5 : 0.127

ω² = ₄ рад/с

Концептуальные вопросы и ответы

1. Что такое угловой момент?
   Ответ: Угловой момент — это мера величины вращения объекта с учетом его массы и формы. Это вращательный аналог линейного момента.
2. Как математически определяется угловой момент?
   Ответ: Угловой момент (L) определяется как $L=r\times p$, Где $r$ — это вектор положения от оси вращения до точки приложения, и $p$ — это линейный импульс.
3. Является ли угловой момент скалярной или векторной величиной?
   Ответ: Угловой момент — это векторная величина.
4. Какова единица измерения углового момента в системе СИ?
   Ответ: Единицей измерения углового момента в системе СИ является килограмм-метр в квадрате в секунду (кг·м).²/ С).
5. Как сохраняется момент импульса?
   Ответ: В замкнутой системе без внешних моментов сил полный угловой момент остается постоянным.
6. Каков принцип сохранения углового момента?
   Ответ: Этот принцип гласит, что полный угловой момент замкнутой системы остается постоянным, если на нее не действует внешний крутящий момент.
7. Как вращение фигуриста связано с угловым моментом?
   Ответ: Когда фигурист прижимает руки и ноги к телу во время вращения, он уменьшает свой момент инерции, что приводит к более быстрому вращению. Это демонстрирует закон сохранения углового момента.
8. Какая связь между крутящим моментом и угловым моментом?
   Ответ: Крутящий момент ($\tau$) — это скорость изменения углового момента. Математически, τ=dл/сек​.
9. Возможно ли, чтобы объект обладал угловым моментом без угловой скорости?
   Ответ: Нет, если объект обладает угловым моментом, он обладает и угловой скоростью. Величина и направление углового момента зависят как от момента инерции, так и от угловой скорости.
10. Как момент инерции влияет на угловой момент?
    Ответ: Угловой момент (L) — это произведение момента инерции (I) и угловой скорости (ω). $L=I\omega$Увеличение момента инерции при заданной угловой скорости приведет к увеличению углового момента.
11. В чём разница между спиновым и орбитальным угловым моментом в квантовой механике?
    Ответ: Спиновый угловой момент — это внутреннее свойство частиц, таких как электроны, и он не возникает из-за движения в пространстве. Орбитальный угловой момент, напротив, возникает из-за движения частицы вокруг центральной точки.
12. Какова роль углового момента в формировании планетных систем?
    Ответ: При коллапсе молекулярного облака с образованием звезд и планет закон сохранения углового момента приводит к тому, что вещество сплющивается в диск вокруг новорожденной звезды, из которого могут образоваться планеты.
13. Как гироскоп сохраняет свою ориентацию в пространстве?
    Ответ: Вращающийся гироскоп обладает угловым моментом. Когда внешний крутящий момент пытается изменить его ориентацию, гироскоп прецессирует, или изменяет свою ось вращения, в направлении, перпендикулярном приложенному моменту, в соответствии с законом сохранения углового момента.
14. Что вызывает прецессию во вращающемся волчке?
    Ответ: Прецессия во вращающемся волчке вызвана крутящим моментом, возникающим из-за силы тяжести и действующим на центр масс волчка, смещенный относительно точки его опоры. Этот крутящий момент приводит к изменению направления углового момента волчка, вызывая его прецессию.
15. Почему звёзды сплющиваются на полюсах?
    Ответ: При вращении звёзд на них действует центробежная сила, выталкивающая вещество наружу. Этот эффект сильнее на экваторе, чем на полюсах, что приводит к сплющенной, или уплощенной, форме звёзд.
16. Как угловой момент связан со вторым законом Кеплера?
    Ответ: Второй закон Кеплера гласит, что отрезок, соединяющий планету и Солнце, описывает равные площади за равные промежутки времени. Это следствие сохранения углового момента.
17. Почему кошка всегда при падении приземляется на лапы?
    Ответ: Кошки используют закон сохранения углового момента. Изгибая тело и изменяя момент инерции в воздухе, они могут переориентироваться и приземлиться на лапы, не нарушая законов сохранения.
18. Как магнитный момент связан с угловым моментом электронов?
    Ответ: Магнитный момент электрона возникает из его спинового и орбитального углового момента. Магнитный момент пропорционален угловому моменту электрона.
19. Что такое угловой момент в полярных координатах?
    Ответ: В полярных координатах угловой момент $L$ Для точечной массы это можно выразить следующим образом: $L=mrv$, Где $m$ это масса, $r$ — это радиальное расстояние, и $v$ — это тангенциальная скорость.
20. Что происходит с угловым моментом замкнутой системы при столкновении двух объектов?
    Ответ: В замкнутой системе, где сталкиваются два объекта, полный угловой момент до столкновения равен полному угловому моменту после столкновения, при условии отсутствия внешних моментов, действующих на систему.

Проблемы и решения

1. Задача: Точечная масса m = 2 кг движется со скоростью v = 3 м/с по окружности радиусом r = 4 м. Вычислите её угловой момент относительно центра окружности.

Решение: $L=m\times r\times v$ = 2 × 4 × 3 = 24 кг· ^м² /с

2. Задача: Твердый шар массой 3 кг и радиусом 0.5 м вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью ω = 2 рад/с. Каков его угловой момент?

Решение: Для сплошного шара I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5) ² ×2=0.6 кг.м ² /с

3. Задача: Точечная масса 3 кг движется по прямой линии со скоростью 4 м/с. Каков её угловой момент относительно точки, расположенной на расстоянии 5 м от линии движения?

Решение:

$L=m\times v\times r$

L = 3 × 4 × 5 = 60 кг· ^м² /с

4. Задача: Диск массой 5 ​​кг и радиусом 3 м вращается с угловой скоростью 2 рад/с. Вычислите его угловой момент.

Решение: Для диска I = 1/2 ​m r ²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3 ² ×2=45 кг.м ² /с

5. Задача: Стержень длиной 4 м и массой 2 кг вращается вокруг одного конца с угловой скоростью 3 рад/с. Найдите его угловой момент.

Решение: Для стержня с одним концом I = 1/3 ​м l ²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4 ² ×3=96 кг.м ² /с

6. Задача: Каково изменение углового момента, если вращающееся тело удваивает свою угловую скорость?

Решение: Связь между угловым моментом (L) и угловой скоростью (ω) выражается формулой $L=I\times \omega$ . Если ω удваивается, то и угловой момент удваивается.

7. Задача: Если радиус круговой траектории движущейся частицы удваивается при постоянной скорости, во сколько раз изменится угловой момент?

Решение: Угловой момент, $L=m\times r\times v$ . Если r удваивается, то и L удваивается.

8. Задача: Ребенок массой 30 кг стоит на краю неподвижной карусели. Радиус карусели равен 2 м. Если ребенок начинает бежать со скоростью 2 м/с вдоль края карусели, найдите угловой момент ребенка относительно центра.

Решение: $L=m\times r\times v$ = 30 × 2 × 2 = 120 кг· ^м² /с

9. Задача: Цилиндр массой 6 кг и радиусом 2 м вращается вокруг своей центральной оси с угловой скоростью 5 рад/с. Вычислите его угловой момент.

Решение: Для цилиндра I = 1/2 ​м r ²

$L=I\times \omega$ = 1/2 × 6 × 2² ^× 5 = 120 кг· ^м² /с

10. Задача: Каким будет новый угловой момент тела, если его момент инерции уменьшится вдвое, а угловая скорость увеличится втрое?

Решение: Дано $L=I\times \omega$ . Если $I$ уменьшить вдвое, а $\omega$ утроить, то новое $L$ будет в 1/2 × 3 = 1.5 раза больше исходного.

11. Задача: Обруч массой 2 кг и радиусом 1 м вращается с угловой скоростью 4 рад/с. Вычислите его угловой момент.

Решение: Для обруча I = m r ²

$L=I\times \omega$

L = 2 × 1 / ² × 4 = 8 кг· ^м² /с

12. Задача: Вентилятор имеет лопасти длиной 0.5 м и общей массой 1 кг. Если он вращается с угловой скоростью 10 рад/с, определите его угловой момент.

Решение: Предположим, что лопасти вентилятора представляют собой стержни, вращающиеся вокруг одного конца. Тогда I = 1/3 ​м l ²

$L=I\times \omega$ = 1/3 × 1 × 0.5² ^× 10 = 0.833 кг· ^м² /с

13. Задача: Вычислите угловой момент Земли относительно собственной оси вращения. Дано: Масса Земли = ^5.972 × 10²⁴ ^кг , Радиус $r=6371\text{км}$ , $\omega =7.27\times 10⁻⁵\text{рад/с}$.

Решение: Предполагая, что Земля представляет собой твердый шар, I = 2/5 ​m r ²

$L=I\times \omega$ =2/5 × 5.972 × 10 ²⁴ × (6371 × 10 ³ ) ² ×7.27 × 10 ^-5

L ≈ 7.07 × 1 0 ³³ кг.м ² / с

14. Задача: Ребенок движется к центру вращающейся платформы. Увеличится ли, уменьшится или останется неизменным угловой момент?

Решение: Угловой момент сохраняется. По мере приближения ребенка к центру момент инерции уменьшается. Для сохранения углового момента угловая скорость увеличивается. Таким образом, угловой момент остается неизменным.

15. Задача: Если кинетическая энергия вращающегося тела удваивается, во сколько раз изменится его угловой момент?

Решение: Кинетическая энергия K = 1/2 ​I ω ² и угловой момент $L=I\omega$ . Если кинетическая энергия удваивается, а $I$ остается постоянным, то ω ² удваивается. Это означает, что $\omega$ увеличивается в √ 2 раза .$Следовательно,\; L$ также увеличивается в √ 2 раза .

16. Задача: Велосипедное колесо радиусом 0.3 м имеет обод массой 1.5 кг. Если оно вращается с угловой скоростью 5 рад/с, найдите его угловой момент.

Решение: Предполагая, что ободок представляет собой кольцо, I = m r ²

$L=I\times \omega$ = 1.5 × 0.32 × 5 = 6.75 кг· ^м² /с

L = 1.5 × 0,3 2 × 5 = 6.75 кг.м ² / с​

17. Задача: Фигуристка, вращаясь, прижимает руки к телу. Что происходит с её угловым моментом?

Решение: Угловой момент фигуристки сохраняется. Прижимая руки к телу, она уменьшает свой момент инерции и, следовательно, вращается быстрее (увеличивает угловую скорость), сохраняя тем самым свой угловой момент.

18. Задача: Маховик имеет момент инерции 0.2 $\text{м²}$ и вращается с угловой скоростью 10 рад/с. Найдите его угловой момент^.

Решение:

$L=I\times \omega$ = 0.2 × 10 = 2 кг· ^м² /с

L = 0.2 × 10 = 2 кг· ^м² / с

19. Задача: На систему действует нулевой суммарный внешний момент. Что можно сказать о её угловом моменте?

Решение: Если результирующий внешний момент равен нулю, то согласно закону сохранения углового момента, полный угловой момент системы остается постоянным.

20. Задача: Точечная масса m = 5 кг движется со скоростью v = 3 м/с перпендикулярно прямой, соединяющей её с точкой P. Если расстояние от точки P равно 4 м, найдите её угловой момент относительно точки P.

Решение:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 кг.м ² /с

L = 5 × 4 × 3 = 60 кг.м ² / с