Момент инерции частиц и твердых тел – проблемы и решения.

Момент инерции частицы

1. Шарик массой 100 грамм прикреплен к одному концу шнура длиной 30 см. Каков момент инерции шара относительно оси вращения AB? Массой шнура пренебречь.

Известно:

Ось вращения в точке AB

Масса шара (m) = 100 грамм = 100/1000 = 0.1 кг

Расстояние между шаром и осью вращения (r) = 30 см = 0.3 м

Требуется: Момент инерции мяча (I)

решение:

I = mr² ⁼ (0.1 кг)(0.3 м) ^²

I = (0.1 кг)(0.09 ^м² )

I = 0.009 кг· ^м²

_{2. Шар массой} 100 грамм, m1 , и шар массой 200 грамм, m2 _, соединены стержнем длиной 60 см. Массой стержня пренебречь. Ось вращения расположена в центре стержня. Каков момент инерции шара относительно оси вращения?

Известно:

Масса шара 1 (m ₁ ) = 100 грамм = 100/1000 = 0.1 кг

Расстояние от шара 1 до оси вращения (r ₁ ) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Масса шара (м² ₎ = 200 грамм = 200/1000 = 0.2 кг

Расстояние между шаром 2 и осью вращения (r₂ ₎ = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Требуется: момент инерции шаров.

Джаваб:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.1 кг)( 0.3 м) ^² + (0.2 кг)( 0.3 м) ^²

I = (0.1 кг)( 0.09 м² ⁾ + (0.2 кг)( 0.09 ^м² )

I = 0.009 кг· ^м² + 0.018 кг· ^м²

I = 0.027 кг· ^м²

3. Шарик m1 массой 200 грамм и _шарик m2 _массой 100 грамм соединены стержнем длиной 60 см. Массой стержня пренебречь. Ось вращения расположена в точке расположения шарика _m2 . Каков момент инерции шариков? Массой стержня пренебречь.

Известно:

Масса шара 1 (m ₁ ) = 200 грамм = 200/1000 = 0.2 кг

Расстояние между шаром 1 и осью вращения (r ₁ ) = 60 см = 60/100 = 0.6 м

Масса шара 2 (m ₂ ) = 100 грамм = 100/1000 = 0.1 кг

Расстояние между шаром 2 и осью вращения (r ₂ ) = 0 м

Требуется: Момент инерции шаров

решение:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (0.2 кг)( 0,6 м) ² + (0.2 кг)(0 ) ²

I = (0.2 кг)( 0.36 ^м² ) + 0

I = 0.072 кг· ^м²

4. Масса каждого шара составляет 100 грамм, они соединены шнуром. Длина шнура — 60 см, ширина — 30 см. Каков момент инерции шара относительно оси вращения? Массой шнура пренебречь.

Известно:

Масса шара = m ₁ = m ₂ = m ₃ = m ₄ = 100 грамм = 100/1000 = 0.1 кг

Расстояние между шаром и осью вращения (r ₁ ) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Расстояние между шаром 2 и осью вращения (r ₂ ) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Расстояние между шаром 3 и осью вращения (r ₃ ) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Расстояние между шаром 4 и осью вращения (r ₄ ) = 30 см = 30/100 = 0.3 м

Известно: Момент инерции

решение:

I = м₁ r₁² + м₂ r₂² + м₃ r₃² + м₄ r₄²

I = (0.1 кг)( 0.3 м) ^² + (0.1 кг)( 0.3 м) ^² + (0.1 кг)(0.3 м) ^² + (0.1 кг)(0.3 м) ^²

I = (0.1 кг)( 0.09 м² ⁾ + (0.1 кг)(0.09 м² ⁾ + (0.1 кг)(0.09 м² ⁾ + (0.1 кг)(0.09 ^м² )

I = 0.036 кг· ^м²

Момент инерции твердого объекта

5. Каков момент инерции однородного стержня массой 2 кг и длиной 2 м? Ось вращения расположена в центре стержня.

Известно:

Масса стержня (М) = 2 кг

Длина стержня (L) = 2 м

Требуется: Момент инерции

решение:

Формула момента инерции, когда ось вращения расположена в центре длинного однородного стержня:

I = (1/12) ML ²

I = (1/12) (2 кг)( 2 м) ²

I = (1/12) (2 кг)(4 ^м² )

I = (1/12)(8 кг м ² )

I = 8/12 кг м ²

I = 2/3 кг м ²

6. Каков момент инерции однородного стержня массой 2 кг и длиной 2 м? Ось вращения расположена на одном конце стержня.

Известно:

Масса стержня (М) = 2 кг

Длина жесткого стержня (L) = 2 м

Требуется: Момент инерции

решение:

Формула для момента инерции, когда ось вращения расположена на одном из концов стержня:

I = (1/3) ML ²

I = (1/3) (2 кг)( 2 м) ²

I = (1/3) (2 кг)(4 ^м² )

I = (1/3)(8 кг м ² )

I = 8/3 кг м ²

7. Твердый цилиндр массой 10 кг имеет радиус 0.1 м. Ось вращения расположена в центре цилиндра, как показано на рисунке ниже. Каков момент инерции цилиндра?

Известно:

Масса сплошного цилиндра (М) = 10 кг

Радиус цилиндра (L) = 0.1 м

Требуется: Момент инерции

Требуется: Момент инерции

решение:

Формула момента инерции, когда ось вращения расположена в центре цилиндра:

I = (1/2) MR ²

I = (1/2) (10 кг)(0.1 м) ²

I = (1/2) (10 кг)(0.01 ^м² )

I = (1/2)(0.1 кг ^м² )

I = 0.05 кг· ^м²

8. Однородный шар массой 20 кг и длиной 0.1 м. Ось вращения, расположенная в центре шара, показана на рисунке ниже.

Известно:

Масса шара (М) = 20 кг

Радиус сферы (L) = 0.1 м

Требуется: момент инерции

решение:

Формула момента инерции, когда ось вращения расположена в центре сферы:

I = (2/5) MR ²

I = (2/5)(20 кг)(0.1 м) ²

I = (2/5)(20 кг)(0.01 ^м² )

I = (2/5)(0.2 кг ^м² )

I = 0.4/5 кг м ²

I = 0.08 кг· ^м²

9. Тонкая прямоугольная пластина массой 2 кг имеет длину 0.5 м и ширину 0.2 м. Ось вращения расположена в центре прямоугольной пластины, показанной на рисунке ниже. Каков момент инерции прямоугольника?

Известно:

Масса прямоугольной пластины (М) = 2 кг

Длина пластины (а) = 0.5 м

Ширина пластины (б) = 0.2 м

Требуется: Момент инерции

решение:

Формула момента инерции, когда ось вращения расположена в центре пластины:

I = (1/12 ) M ( ^a² + ^b² )

I = (1/12)(2)(0.5 ² + 0.2 ² )

I = (2/12)(0.25 + 0.04)

I = (1/6)(0.29)

I = 0.29/6 кг м ²