Exemple de întrebări care discută valoarea așteptată a distribuției normale
Distribuția normală, cunoscută și sub numele de distribuție gaussiană, este una dintre cele mai frecvent utilizate distribuții de probabilitate continue în statistică și probabilități. Această distribuție este adesea folosită ca o presupunere de bază în diverse inferențe statistice datorită proprietăților sale matematice favorabile, cum ar fi simetria și unicitatea sa în parametrizarea cu o medie (µ) și o deviație standard (σ). Acest articol va prezenta exemple și va discuta valoarea așteptată a distribuției normale pentru a oferi o înțelegere mai profundă a acestui concept.
Înțelegerea distribuției normale
Distribuția normală este reprezentată printr-o curbă simetrică în formă de clopot, majoritatea valorilor fiind concentrate în jurul valorii medii, sau mediei. În cadrul acestei distribuții, media (µ) și deviația standard (σ) sunt doi parametri importanți care determină locația și gradul de dispersie a datelor.
Funcția densității de probabilitate (PDF) a distribuției normale este:
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]
Unde:
– \( \mu \) este media sau media
– \( \sigma \) este deviația standard
– \(x\) este o variabilă aleatoare
Valoarea așteptată în distribuția normală
Valoarea așteptată a unei variabile aleatoare cu o distribuție normală este egală cu media distribuției. Dacă \(X \sim N(\mu, \sigma^2) \) atunci valoarea așteptată \(E(X) \) este:
E(X) = μ
Să continuăm cu câteva exemple de probleme privind valorile așteptate în distribuțiile normale pentru a ne consolida înțelegerea.
Contoh Soal dan Pembahasan
Exemplu de întrebare 1:
Presupunem că \(X\) este o variabilă aleatoare distribuită normal cu \(\mu = 50\) și \(\sigma = 10\). Calculați valoarea așteptată a lui \(X\).
Pembahasan:
Așa cum am menționat anterior, într-o distribuție normală, valoarea așteptată \(E(X)\) este egală cu \(\mu\). Deci,
E(X) = μ = 50
Exemplu de întrebare 2:
Având în vedere o variabilă aleatoare ∫(Y) care are o distribuție normală cu ∫(μ = 120) și ∫(σ = 15). Determinați valoarea așteptată a lui ∫(Y).
Pembahasan:
Similar primului exemplu, valoarea așteptată a lui \(Y\) este valoarea din mijloc sau media distribuției normale, și anume:
E(Y) = μ = 120
Exemplu de întrebare 3:
Dacă variabila aleatoare ∫(Z) urmează o distribuție normală cu ∫(μ = 0) și ∫(sigma = 1) (distribuție normală standard), care este valoarea așteptată a lui ∫(Z)?
Pembahasan:
Distribuția normală standard are medie μ = 0, deci valoarea așteptată E(Z) este:
E(Z) = μ = 0
Exemplu de întrebare 4:
Presupunem că ∫(W) este o variabilă aleatoare distribuită normal cu medie ∫(μ = 75) și deviație standard ∫(sigma = 20). Dacă definim o nouă variabilă aleatoare ∫(V = 2W + 3), care este valoarea așteptată a lui ∫(V)?
Pembahasan:
Pentru a găsi valoarea așteptată a lui \(V\), trebuie să folosim proprietatea de liniaritate a valorii așteptate. Având în vedere \(V = 2W + 3\), atunci:
E(V) = E(2W + 3)
Pe baza proprietății de liniaritate a valorii așteptate, putem separa constanta de variabila aleatoare:
E(V) = 2E(W) + E(3)
Știind că valoarea așteptată a unei constante este însăși constanta:
\[ E(3) = 3 \]
Și valoarea așteptată a lui \(W\) este media distribuției normale \(W\):
E(W) = μ = 75
Aşa,
E(V) = 2 × 75 + 3
E(V) = 150 + 3
E(V) = 153
Exemplu de întrebare 5:
Variabila aleatoare ∫(Q) urmează o distribuție normală cu medie ∫(μ = 40) și deviație standard ∫(sigma = 5). Care este valoarea așteptată a lui ∫(Q) dacă ∫[U = Q/2]?
Pembahasan:
Folosim același principiu ca în exemplul 4, și anume proprietatea de liniaritate a valorii așteptate. Având în vedere că \(U = Q/2 \), atunci:
E(U) = E(Q/2)
Pe baza proprietății de liniaritate a valorii așteptate:
E(U) = 1/2 E(Q)
Știm că valoarea așteptată a lui \(Q\) este media distribuției normale \(Q\):
E(Q) = μ = 40
Aşa,
E(U) = 1/2 × 40
E(U) = 20
Concluzie
Într-o distribuție normală, valoarea așteptată a unei variabile aleatoare este întotdeauna egală cu media (µ) a distribuției. Problemele exemplificate de mai sus demonstrează diverse condiții pentru calcularea valorii așteptate folosind proprietatea de liniaritate. Înțelegerea acestui concept de bază facilitează gestionarea problemelor de distribuție normală în statistică și probabilități.
Distribuția normală este crucială în statistică deoarece este utilizată într-o gamă largă de aplicații practice, inclusiv testarea ipotezelor, estimarea parametrilor și diverse alte inferențe statistice. O bună înțelegere a valorii așteptate a acestei distribuții este un prim pas important în analiza datelor.
Sperăm că acest articol oferă o explicație clară și utilă a valorii așteptate în distribuția normală, împreună cu exemple relevante de întrebări și discuții.
