Exemple de întrebări și discuții despre corelarea momentelor produsului
Corelația produs-moment, cunoscută și sub denumirea de corelație Pearson, este o metodă statistică utilizată pentru a măsura puterea și direcția unei relații liniare dintre două variabile. Această metodă este utilă în diverse domenii, de la cercetarea academică și analiza de afaceri până la evaluarea experimentelor în științele naturii. Acest articol va discuta câteva exemple de probleme și soluțiile lor pentru calcularea corelației produs-moment.
Introducere
Înainte de a trece la exemplele de întrebări, este o idee bună să înțelegem conceptul de bază al corelației momentului produsului. Formula generală utilizată pentru a calcula coeficientul de corelație Pearson (\(r\)) este:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
Dimana:
– \(n\) este numărul de perechi de date.
– \( \sum{XY} \) este suma produselor dintre \( X \) și \( Y \).
– \( \sum{X} \) este suma variabilelor \( X \).
– \( \sum{Y} \) este suma variabilelor \( Y \).
– \( \sum{X^2} \) este suma pătratelor variabilei \( X \).
– \( \sum{Y^2} \) este suma pătratelor variabilei \( Y \).
Coeficientul de corelație Pearson (\(r\)) este întotdeauna între -1 și 1. O corelație pozitivă indică faptul că ambele variabile se mișcă în aceeași direcție, în timp ce o corelație negativă indică faptul că, pe măsură ce o variabilă crește, cealaltă scade. Dacă \(r = 0\), atunci nu există o corelație liniară între cele două variabile.
Exemplu Întrebare 1
Date
Iată datele privind scorurile la examenele de matematică și fizică pentru 5 elevi:
| Student | Matematică (X) | Fizică (Y) |
|——-|——————-|—————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
Pași pentru rezolvare
1. Calcularea componentelor importante:
– (\sum{X}) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– (\sum{Y}) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– (\sum{XY}) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– (\sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– (\sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. Introduceți în formulă:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. Calcularea rezultatelor:
– Numărător: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– Numitor:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276)
– ( \sqrt{766 × 1276} \aprox \sqrt{976856} \aprox 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \aprox. 0.633 \]
Astfel, coeficientul de corelație Pearson dintre scorurile la testele de matematică și fizică este 0.633, ceea ce indică o corelație pozitivă moderată între cele două variabile.
Exemplu Întrebare 2
Date
Următoarele sunt date privind valoarea vânzărilor și cheltuielile publicitare pe parcursul a 6 luni la o companie:
| Lună | Publicitate (X) | Vânzări (Y) |
|——-|————–|———————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
Pași pentru rezolvare
1. Calcularea componentelor importante:
– (\sum{X}) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– (\sum{Y}) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– (\sum{XY} \) = (2000 \ 2500) + (1800 \ 2100) + (2200 \ 2700) + (2400 \ 2900) + (2300 \ 3000) + (2500 \ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– (\sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– (\sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. Introduceți în formulă:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. Calcularea rezultatelor:
– Numărător: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– Numitor:
– (n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000)
– (n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000)
– ( \sqrt{2040000 × 4580000} \aprox \sqrt{9343200000000} \aprox 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \aprox. 0.981 \]
Astfel, coeficientul de corelație Pearson dintre cheltuielile publicitare și valoarea vânzărilor este de 0.981, ceea ce indică o corelație pozitivă foarte puternică între cele două variabile.
Concluzie
Coeficientul de corelație Pearson (\(r\)) este un instrument foarte util pentru înțelegerea relației liniare dintre două variabile. În exemplele furnizate, vedem cum se calculează valoarea \(r\) și cum se interpretează. O corelație mai mare (mai apropiată de 1 sau -1) indică o relație mai puternică, în timp ce o corelație mai mică (mai apropiată de 0) indică o relație mai slabă. Este important de reținut că corelația nu implică cauzalitate; aceasta indică pur și simplu că există o relație între cele două variabile.
