27 Movimento de projéteis – problemas e soluções
1. Uma bala é disparada em um ângulo θ = 60 ° com uma velocidade de 20 m/s. A aceleração da gravidade é de 10 m/s² . Qual é o intervalo de tempo para atingir a altura máxima?
Conhecido :
A velocidade inicial da bala (v o ) = 20 m/s
Ângulo (θ) = 60 ° C
A aceleração da gravidade (g) = 10 m/ s²
Procura-se: o intervalo de tempo para atingir a altura máxima.
solução:
A velocidade inicial na direção horizontal (eixo x):
v boi = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
A velocidade inicial na direção vertical (eixo y):
v oy = vo sen 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
O intervalo de tempo para atingir a altura máxima, calculado usando esta equação:
v ty = v oy + gt
v ty = velocidade final na direção vertical = velocidade final no ponto mais alto = 0 m/s
v oy = a velocidade inicial na direção horizontal = 10√3 m/s
g = aceleração da gravidade = 10 m/ s²
t = intervalo de tempo
O intervalo de tempo:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 segundos
2. Um objeto é projetado em um ângulo. A altura do objeto é a mesma quando o intervalo de tempo é de 1 segundo e de 3 segundos. Qual é o intervalo de tempo que o objeto permanece no ar?
solução:
O objeto permaneceu no ar por 4 segundos.
3. Uma aeronave está se movendo horizontalmente a uma velocidade de 50 m/s. A uma altura de 2 km, um objeto é solto da aeronave. A aceleração da gravidade é de 10 m/ s². Qual é o intervalo de tempo até que o objeto atinja o solo?
Conhecido :
Altura = 2 km = 2000 metros
Aceleração devido à gravidade (g) = 10 m/ s²
Procura-se: o intervalo de tempo (t)
solução:
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t 2
2000 = 5 t 2
t 2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 segundos
4. Uma bola de futebol chutada deixa o chão em um ângulo θ = 45 ° com a horizontal com uma velocidade inicial de 25 m/s. Determine a distância X. A aceleração da gravidade é 10 m/ s².
Conhecido :
Velocidade inicial (v o ) = 25 m/s
Aceleração devido à gravidade (g) = 10 m/ s²
Ângulo (θ) = 45 °
Procura-se: X
solução:
A componente horizontal da velocidade inicial:
v boi = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
A componente vertical da velocidade inicial:
v oy = v o sen θ = (25 m/s)(sen 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
O movimento de projéteis pode ser compreendido analisando-se separadamente as componentes horizontal e vertical do movimento. O movimento em x ocorre com velocidade constante e o movimento em y ocorre com aceleração da gravidade constante.
Tempo no ar (t):
O tempo de permanência no ar é calculado com a equação do movimento vertical ascendente.
Escolha a direção para cima como positiva e a direção para baixo como negativa.
Conhecido :
A velocidade inicial (v o ) = 12.5√2 m/s (direção ascendente, positiva)
A aceleração da gravidade (g) = -10 m/s² ( direção para baixo, negativa)
Altura (h) = 0
Procura-se: Intervalo de tempo (t)
solução:
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 segundos
A distância horizontal (X):
Calculado usando a equação do movimento linear uniforme com velocidade constante.
Conhecido :
Velocidade (v) = 12.5√2 m/s
Intervalo de tempo (t) = 2.5√2 segundos
Procura-se: Distância
solução:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metros
5. Um objeto lançado para cima, formando um ângulo θ = 30 ° com a horizontal, possui uma velocidade inicial de 20 m/s. A aceleração da gravidade é de 10 m/s² . Determine a altura máxima atingida.
Conhecido :
A velocidade inicial (v)o) = 20m/s
Aceleração devido à gravidade (g) = 10 m/ s²
Ângulo (θ) = 30 °
Procura-se : a altura máxima
solução:
Primeiro, encontre a componente vertical da velocidade inicial (voy ) :
v oy = v o sen 30 o = (20)(sen 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Calcule a altura máxima. Considere a direção para cima como positiva e a direção para baixo como negativa.
Conhecido :
Aceleração devido à gravidade (g) = -10 m/s² ( direção descendente, negativa )
A componente vertical da velocidade inicial (v oy ) = 10 m/s ( direção ascendente, positiva )
Velocidade na altura máxima (v ty ) = 0
Procura-se: a altura máxima (h)
solução:
v t 2 = v o 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) h
0 = 100 – 20 h
100 = 20 h
h = 100/20
h = 5 metros
A altura máxima é de 5 metros.
6. Um objeto é lançado a um determinado ângulo de elevação. A altura do objeto é a mesma após 1 segundo e 3 segundos. Determine o tempo que ele permanece no ar.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Solução
Tempo no ar = 4 segundos.
A resposta correta é b.
7. Uma aeronave está se movendo horizontalmente a uma velocidade de 50 m/s. Quando a aeronave atinge uma altura de 2 km, um objeto pode cair livremente da aeronave. Determine o tipo de movimento.
A. Movimento de queda livre
B. Movimento de flutuação
C. Movimento horizontal
D. Movimento de projéteis
solução:
O objeto é solto do avião em movimento porque possui a mesma velocidade que o avião, ou seja, 50 m/s. O movimento do objeto não é como uma queda livre, mas sim um movimento parabólico. O caso é semelhante ao de soltar objetos de dentro de um carro em movimento.
A resposta correta é d.
8. Uma bola é lançada horizontalmente a 15 m/s de um penhasco de 60 metros de altura. Quanto tempo leva para atingir o solo?
Solução: Usando \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), encontramos que o tempo é \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).
9. Um projétil é lançado a um ângulo de 30° acima da horizontal com uma velocidade inicial de 20 m/s. Qual é a altura máxima atingida?
Solução: Usando \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), a altura máxima é \( h \approx 10.2\ \text{m} \).
10. Uma pedra é lançada horizontalmente a 10 m/s do topo de uma torre de 80 metros de altura. Determine a distância horizontal percorrida pela pedra antes de atingir o solo.
Solução: Usando o tempo encontrado de forma semelhante ao Problema 1, a distância horizontal é \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).
11. Uma bala de canhão é disparada a 40 m/s em um ângulo de 45°. Determine o tempo de voo.
Solução: Usando \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), o tempo de voo é \( t \approx 5.8\ \text{s} \).
12. Uma bola de beisebol é lançada em um ângulo de 60° com uma velocidade de 12 m/s. Determine o alcance horizontal.
Solução: Usando \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), o alcance é \( R \approx 14.0\ \text{m} \).
13. Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de 50 m/s a 37° acima da horizontal. Qual é a componente vertical da velocidade?
Solução: A componente vertical é \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).
14. Um projétil é lançado horizontalmente a 20 m/s de uma altura de 100 metros. Qual é a velocidade vertical imediatamente antes de atingir o solo?
Solução: Usando \( v_y = \sqrt{2gh} \), a velocidade vertical é \( v_y \approx 44.7\ \text{m/s} \).
15. Uma pedra é lançada a um ângulo de 25° acima da horizontal com uma velocidade inicial de 15 m/s. Quais são as componentes horizontal e vertical da velocidade?
Solução: A componente horizontal é \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{m/s} \), e a componente vertical é \( v_y \approx 6.4\ \text{m/s} \).
16. Uma bola de futebol é chutada com uma velocidade inicial de 30 m/s a um ângulo de 40° acima da horizontal. Qual é a componente horizontal da sua velocidade?
Solução: A componente horizontal é \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).
17. Uma bola de golfe é lançada com uma velocidade inicial de 70 m/s a um ângulo de 20°. Qual é o tempo de voo?
Solução: Usando a equação do tempo de voo, o tempo é \( t \approx 4.9\ \text{s} \).
18. Um projétil é lançado do solo com uma velocidade de 25 m/s a 53° acima da horizontal. Qual é a sua componente vertical inicial da velocidade?
Solução: A componente vertical é \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
19. Uma bola de beisebol é lançada com uma velocidade inicial de 20 m/s a um ângulo de 50°. Qual é a altura máxima atingida?
Solução: Usando a equação para altura máxima, a altura é \( h \approx 15.3\ \text{m} \).
20. Uma bala é disparada horizontalmente com uma velocidade de 200 m/s a partir de uma altura de 10 metros. Quanto tempo leva para atingir o solo?
Solução: Usando a equação do tempo, o tempo é \( t \approx 1.4\ \text{s} \).
21. Uma bala de canhão é disparada a 45 m/s com um ângulo de 30°. Determine o alcance.
Solução: Usando a equação do alcance, o alcance é \( R \approx 88.2\ \text{m} \).
22. Uma bola de basquete é lançada em um ângulo de 75° com uma velocidade de 10 m/s. Determine o alcance horizontal.
Solução: Usando a equação do alcance, o alcance é \( R \approx 5.3\ \text{m} \).
23. Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de 30 m/s a 22° acima da horizontal. Qual é a velocidade vertical imediatamente antes de atingir o solo?
Solução: Usando a equação da velocidade vertical, a velocidade vertical é \( v_y \approx 11.4\ \text{m/s} \).
24. Uma pedra é lançada horizontalmente a 8 m/s do topo de uma torre de 40 metros de altura. Qual é a distância horizontal percorrida por ela?
Solução: Usando a equação da distância horizontal, a distância é \( d \approx 16\ \text{m} \).
25. Uma bola de futebol é chutada com uma velocidade inicial de 12 m/s a um ângulo de 30° acima da horizontal. Quais são as componentes horizontal e vertical da velocidade?
Solução: A componente horizontal é \( v_x \approx 10.4\ \text{m/s} \), e a componente vertical é \( v_y \approx 6\ \text{m/s} \).
26. Uma bola de golfe é lançada com uma velocidade inicial de 50 m/s a um ângulo de 15°. Qual é o tempo de voo?
Solução: Usando a equação do tempo de voo, o tempo é \( t \approx 2.6\ \text{s} \).
27. Um projétil é lançado do solo com uma velocidade de 40 m/s a 60° acima da horizontal. Qual é a sua componente horizontal inicial da velocidade?
Solução: A componente horizontal é \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).
