Momento de inércia

1. Momento de inércia da partícula

Considere uma partícula em rotação. A partícula, de massa m, recebe uma força F que a faz girar em torno do eixo O. A partícula está a uma distância r do eixo de rotação. Inicialmente, a partícula está em repouso (v = 0). Após ser movida pela força F, a partícula adquire uma certa velocidade, resultando em uma aceleração tangencial. A relação entre a força (F), a massa (m) e a aceleração tangencial da partícula é expressa pela equação 3:

F = ma _tan (Equação 3)

As partículas giram de forma que possuam aceleração angular. A relação entre a aceleração tangencial e a aceleração angular é expressa pela equação 4:

a _tan = r α (Equação 4)

Substitua o valor de a na equação 3 pelo valor de a na equação 4:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (Equação 5)

r F é o momento de força e mr ² é o momento de inércia da partícula. A Equação 5 estabelece a relação entre o momento de força, o momento de inércia e a aceleração angular de partículas em rotação. A Equação 5 é a equação da segunda lei de Newton para partículas em rotação.

O momento de inércia de uma partícula é o produto da massa da partícula (m) e o quadrado da distância entre as partículas com o eixo de rotação (r ² ).

I = mr ² (Equação 6)

I = momento de inércia da partícula, m = massa da partícula, r = distância entre a partícula e o eixo de rotação. A equação 6 é usada para determinar o momento de inércia de uma partícula.

3.2 Exemplos de problemas do momento de inércia da partícula

Exemplo de problema 1.

Uma partícula com massa de 2 kg foi amarrada a uma corda de 0.5 metros de comprimento e então girada. Qual é o momento de inércia da partícula durante a rotação?

Solução:

Eu = Sr. ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg ^m²

Exemplo de problema 2.

Duas partículas, uma com massa de 2 kg e a outra com 4 kg, estão conectadas por um fio leve de 2 metros de comprimento. Despreze a massa do fio. Determine o momento de inércia das duas partículas, sabendo que:

a) O eixo de rotação está localizado entre as duas partículas.

Solução:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

eu = 2 + 4

I = 6 kg ^m²

b) O eixo de rotação está a uma distância de 0.5 metros da partícula com massa de 2 kg.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

eu = 0.5 + 9

I = 9.5 kg ^m²

c) O eixo de rotação está a uma distância de 0.5 metros da partícula com massa de 4 kg.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

eu = 4.5 + 1

I = 5.5 kg ^m²

Com base nos resultados dos cálculos acima, o momento de inércia é fortemente influenciado pela localização do eixo de rotação. Embora a forma e o tamanho sejam os mesmos, devido à diferença na localização do eixo de rotação, o momento de inércia também será diferente.

Partículas próximas ao eixo de rotação possuem menor momento de inércia, enquanto partículas distantes do eixo de rotação possuem maior momento de inércia. Se assumirmos que as duas partículas acima são objetos rígidos, então cada partícula está próxima ao eixo de rotação.

possui um momento de inércia menor do que o momento de inércia da partícula mais distante do eixo de rotação.

3.3 Momento de inércia de um corpo rígido homogêneo

Objetos rígidos são compostos por muitas partículas. O momento de inércia de um corpo rígido é a soma dos momentos de inércia de cada partícula que compõe o objeto.

I = Σ mr ²

Eu = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Para determinar o momento de inércia de um objeto rígido, precisamos analisá-lo durante sua rotação, pois a posição do eixo de rotação afeta o momento de inércia do objeto. O momento de inércia (I) de cada partícula também depende da massa (m) da partícula e do quadrado da distância (r² ⁾ da partícula ao eixo de rotação. A massa de todas as partículas que compõem o objeto é a massa do objeto.

O problema é que a distância de cada partícula em relação ao eixo de rotação varia.

Analise a diminuição na fórmula do momento de inércia de um anel fino com dimensões R e massa M.

Se o eixo de rotação estiver localizado no centro do anel, todas as partículas do anel fino estarão localizadas a partir do eixo de rotação. O momento de inércia de um anel fino é igual ao momento de inércia de todas as partículas.

I = Σ mr²

Eu = m₁ r₁² +m₂ r₂² +m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

A massa de todas as partículas = massa do anel fino (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Cada partícula do anel fino está a uma distância r do eixo de rotação, de modo que r₁ ₌ r₂ ₌ r₃ ₌ rn = R

A equação do momento de inércia do anel fino:

I = MR ²

I = momento de inércia do anel fino, M = massa do anel fino, R = raio do anel fino.

E se o eixo de rotação não estiver localizado no centro do anel? Se o eixo de rotação não estiver localizado no centro do anel, a fórmula do momento de inércia do anel fino não poderá ser derivada usando o método acima.

Porque a distância de cada partícula ao eixo de rotação é diferente. A dedução da fórmula do momento de inércia para um problema como este não será abordada neste tópico.

A fórmula do momento de inércia para alguns objetos rígidos.

3.4 Exemplo de problema do momento de inércia de um corpo rígido homogêneo

Exemplo de problema 1:

A haste cilíndrica AB tem uma massa de 3 kg quando girada em torno de B.

O momento de inércia é 27 kg m² ^. Qual é o momento de inércia se

girou em C?

Solução:

Solução:

A fórmula do momento de inércia para uma barra sólida homogênea (o eixo de rotação está no centro da barra) é:

I = 1/12 ML ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

A fórmula do momento de inércia de uma barra sólida homogênea (o eixo de rotação está na extremidade da barra):

I = 1/3 ML ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg ^m²