Momento angular

Momento angular

A quantidade de movimento rotacional, que é idêntica à massa (m) no movimento linear, é a momento de inércia (I) A grandeza do movimento rotacional, que é idêntica à velocidade (v) no movimento linear, é a velocidade angular (ω). Assim, o objeto em rotação possui momento angular que pode ser calculado pela equação:

L = I ω

L = momento angular (kg m²/s), I = momento de inércia (kg m²), ω = velocidade angular (rad/s)

Exemplos de problemas de momento angular

Exemplo de problema 1.

Uma partícula com massa de 0.5 gramas move-se em um círculo com velocidade angular constante de 2 rad/s. Determine o momento angular da partícula se o raio de sua trajetória for de 10 cm.

Solução:

O momento de inércia da partícula:

Eu = sr.² = (0.5 x 10^-3 kg)(1 x 10^-1 m)² = (0.5 x 10^-3 kg)(1 x 10^-2 m²) = 0.5 x 10^-5 quilogramas m²

A velocidade angular da partícula:

ω = 2 rad/s

O momento angular da partícula:

L = (0.5 x 10^-5 quilogramas m²)(2 rad/s) = 1 x 10^-5 quilogramas m²/s

A lei da conservação do momento angular

A lei da conservação do momento angular afirma que, se o momento resultante da força sobre um corpo rígido em rotação for zero, então o momento angular desse corpo em rotação será sempre constante. A lei da conservação do momento angular pode ser derivada matematicamente modificando-se a equação da segunda lei de Newton. Aqui está a equação: NewtonSegunda lei de Newton sobre o momento angular:

Se o momento resultante da força for zero, então a equação acima se transforma em:

I_t = o momento final de inércia, I_o = o momento de inércia inicial, ω_t = a velocidade angular final, ω_o = a velocidade angular inicial, L_t = o momento angular final, L_o = o momento angular inicial.

Exemplos de problemas da lei da conservação do momento angular

Exemplo de problema 1.

Um disco cilíndrico sólido e homogêneo está inicialmente girando em torno de seu eixo com uma velocidade de 4 rad/s. A massa e o raio do disco são 1 kg e 0.5 m, respectivamente. Se acima do disco for colocado um anel com massa de 0.2 kg e raio de 0.1 m, e o centro do anel,

logo acima do centro do disco, então o disco e o anel girarão juntos com a velocidade angular de…

Solução:

Momento de inércia de um cilindro sólido: I = 1⁄2 mr² = 1⁄2 (1 kg)(0.5 m)² = (0.5)(0.25) = 0.125 kg m²

Momento de inércia do anel: I = mr² = (0.2 kg)(0.1 m)² = (0.2)(0.01) = 0.002 kg m²

Momento angular inicial (L)₁) = Momento angular final (L₂)

I₁ ω₁ = Eu₂ ω₂

(0.125 kg m²)(4 rad/s) = (0.125 kg m² + 0.002 kg m²)(ω₂)

(0.5) = (0.127)(ω₂)

ω₂ = 0.5 : 0.127

ω₂ = 4 rad / s

Perguntas e respostas conceituais

1. O que é momento angular?
   Responda: O momento angular é uma medida da quantidade de rotação que um objeto possui, considerando sua massa e forma. É o análogo rotacional do momento linear.
2. Como o momento angular é determinado matematicamente?
   Responda: O momento angular (L) é definido como $L=r\times p$, Onde $r$ é o vetor de posição do eixo de rotação até o ponto de aplicação, e $p$ é o momento linear.
3. O momento angular é uma grandeza escalar ou vetorial?
   Responda: O momento angular é uma grandeza vetorial.
4. Qual é a unidade de momento angular no Sistema Internacional de Unidades (SI)?
   Responda: A unidade de momento angular no Sistema Internacional de Unidades (SI) é o quilograma metro quadrado por segundo (kg·m²).²/s).
5. Como o momento angular é conservado?
   Responda: Em um sistema fechado sem torques externos, o momento angular total permanece constante.
6. Qual é o princípio da conservação do momento angular?
   Responda: O princípio afirma que o momento angular total de um sistema fechado permanece constante, a menos que seja submetido a um torque externo.
7. Qual a relação entre o giro de uma patinadora artística e o momento angular?
   Responda: Quando um patinador artístico aproxima os braços e as pernas do corpo durante um giro, ele diminui seu momento de inércia, fazendo com que gire mais rápido. Isso demonstra a conservação do momento angular.
8. Qual a relação entre torque e momento angular?
   Responda: Torque ($\tau$) é a taxa de variação do momento angular. Matematicamente, τ=dL/seg​.
9. É possível um objeto ter momento angular sem velocidade angular?
   Responda: Não, se um objeto possui momento angular, ele possui velocidade angular. A magnitude e a direção do momento angular dependem tanto do momento de inércia quanto da velocidade angular.
10. Como o momento de inércia afeta o momento angular?
    Responda: O momento angular (L) é o produto do momento de inércia (I) e da velocidade angular (ω). EUA $L=I\omega$Um aumento no momento de inércia para uma dada velocidade angular aumentará o momento angular.
11. Qual a diferença entre spin e momento angular orbital na mecânica quântica?
    Responda: O momento angular de spin é uma propriedade intrínseca das partículas, como os elétrons, e não surge do movimento no espaço. O momento angular orbital, por outro lado, surge do movimento de uma partícula em torno de um ponto central.
12. Qual o papel do momento angular na formação de sistemas planetários?
    Responda: À medida que uma nuvem molecular colapsa para formar estrelas e planetas, a conservação do momento angular faz com que o material se achate em um disco ao redor da estrela recém-nascida, a partir do qual os planetas podem se formar.
13. Como um giroscópio mantém sua orientação no espaço?
    Responda: Um giroscópio em rotação possui momento angular. Quando um torque externo tenta alterar sua orientação, o giroscópio precessa, ou seja, muda seu eixo de rotação, em uma direção perpendicular ao torque aplicado devido à conservação do momento angular.
14. O que causa a precessão em um pião giratório?
    Responda: A precessão em um pião é causada pelo torque da gravidade que atua sobre o centro de massa do pião, o qual está deslocado em relação ao seu ponto de pivô. Esse torque resulta em uma mudança na direção do momento angular do pião, fazendo com que ele precesse.
15. Por que as estrelas se achatam em seus polos?
    Responda: À medida que as estrelas giram, elas sofrem uma força centrífuga que empurra a matéria para fora. Esse efeito é mais forte no equador do que nos polos, resultando em uma forma oblata, ou achatada.
16. Qual a relação entre o momento angular e a segunda lei de Kepler?
    Responda: A segunda lei de Kepler afirma que um segmento de reta que une um planeta ao Sol varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Isso é uma consequência da conservação do momento angular.
17. Por que um gato sempre cai em pé quando cai?
    Responda: Os gatos utilizam a conservação do momento angular. Ao girarem seus corpos e alterarem seus momentos de inércia no ar, eles conseguem se reorientar para pousar sobre as patas sem violar as leis da conservação.
18. Qual a relação entre o momento magnético e o momento angular dos elétrons?
    Responda: O momento magnético de um elétron surge de seu spin e momento angular orbital. O momento magnético é proporcional ao momento angular do elétron.
19. Qual é o momento angular em termos de coordenadas polares?
    Responda: Em coordenadas polares, o momento angular $L$ para uma massa pontual pode ser expresso como $L=mrv$, Onde $m$ é a massa, $r$ é a distância radial, e $v$ é a velocidade tangencial.
20. O que acontece com o momento angular de um sistema fechado quando dois objetos colidem?
    Responda: Em um sistema fechado onde dois objetos colidem, o momento angular total antes da colisão é igual ao momento angular total após a colisão, assumindo que nenhum torque externo atue sobre o sistema.

Problemas e Soluções

1. problema: Uma massa pontual m = 2 kg move-se com velocidade v = 3 m/s em um círculo de raio r = 4 m. Calcule seu momento angular em relação ao centro do círculo.

Solução: $L=m\times r\times v$ =2×4×3=24 kg.m²/s

2. problema: Uma esfera sólida de massa 3 kg e raio 0.5 m está girando em torno de seu diâmetro com uma velocidade angular ω = 2 rad/s. Qual é o seu momento angular?

Solução: Para uma esfera sólida, I=2/5 ​m r²

$L=I\times \omega$

L=2/5×3×(0.5)²×2=0.6 kg.m²/s

3. problema: Uma massa pontual de 3 kg move-se com velocidade de 4 m/s em linha reta. Qual é o seu momento angular em relação a um ponto a 5 m da sua linha de movimento?

Solução:

$L=m\times v\times r$

L = 3 × 4 × 5 = 60 kg.m²/s

4. problema: Um disco de massa 5 kg e raio 3 m está girando com uma velocidade angular de 2 rad/s. Calcule seu momento angular.

Solução: Para um disco, I=1/2​m r²

$L=I\times \omega$

L=1/2×5×3²×2=45 kg.m²/s

5. problema: Uma barra de 4 m de comprimento e 2 kg de massa gira em torno de uma de suas extremidades com uma velocidade angular de 3 rad/s. Determine seu momento angular.

Solução: Para uma haste em torno de uma extremidade, I=1/3​ m l²

$L=I\times \omega$

L=1/3×2×4²×3=96 kg.m²/s

6. problema: Qual é a variação do momento angular se um corpo em rotação dobrar sua velocidade angular?

Solução: A relação entre o momento angular (L) e a velocidade angular (ω) é $L=I\times \omega$Se ω for duplicado, o momento angular também dobrará.

7. problema: Se o raio da trajetória circular de uma partícula em movimento dobrar, mantendo a velocidade constante, por qual fator o momento angular se altera?

Solução: Momento angular, $L=m\times r\times v$Se r dobrar, L também dobrará.

8. problema: Uma criança de massa 30 kg está parada na borda de um carrossel que está em repouso. O raio do carrossel é de 2 m. Se a criança começar a correr a uma velocidade de 2 m/s em relação ao solo ao longo da borda, determine o momento angular da criança em relação ao centro.

Solução: $L=m\times r\times v$ =30×2×2=120 kg.m²/s

9. problema: Um cilindro de massa 6 kg e raio 2 m está girando em torno de seu eixo central com uma velocidade angular de 5 rad/s. Calcule seu momento angular.

Solução: Para um cilindro, I=1/2 ​m r²

$L=I\times \omega$ =1/2×6×2²×5=120 kg.m²/s

10. problema: Qual será o novo momento angular de um corpo se seu momento de inércia for reduzido à metade e sua velocidade angular for triplicada?

Solução: Dado $L=I\times \omega$, Se $I$ é reduzido à metade e $\omega$ é triplicado, o novo $L$ será 1/2×3=1.5× o original.

11. problema: Um aro de massa 2 kg e raio 1 m está girando com uma velocidade angular de 4 rad/s. Calcule seu momento angular.

Solução: Para um aro, I=m r²

$L=I\times \omega$

L=2×1²×4=8 kg.m²/s

12. problema: Um ventilador possui pás de 0.5 m de comprimento e massa total de 1 kg. Se ele gira com uma velocidade angular de 10 rad/s, determine seu momento angular.

Solução: Supondo que as pás do ventilador sejam como hastes girando em torno de uma extremidade, I= 1 / 3 ​ml²

$L=I\times \omega$ =1/3×1×0.5²×10=0.833 kg.m²/s

13. problema: Calcule o momento angular da Terra em torno de seu próprio eixo devido à sua rotação. Dado: Massa da Terra = 5.972 × 10²⁴ kg, Raio $r=6371\text{km}$, ω=7.27×10^-5rad / s.

Solução: Considerando a Terra como uma esfera sólida, I=2/5 ​mr²

$L=I\times \omega$ =2/5×5.972×10²⁴×(6371×10³)²× 7.27 × 10^-5

L≈7.07×10³³kg.m²/s

14. problema: Uma criança se move em direção ao centro de uma plataforma giratória. O momento angular aumenta, diminui ou permanece o mesmo?

Solução: O momento angular é conservado. À medida que a criança se move em direção ao centro, o momento de inércia diminui. Para conservar o momento angular, a velocidade angular aumenta. Assim, o momento angular permanece o mesmo.

15. problema: Se a energia cinética de um corpo em rotação for duplicada, por qual fator seu momento angular se altera?

Solução: Energia cinética K= 1 / 2 ​Iω² e Momento angular $L=I\omega$Se a energia cinética for duplicada e $I$ permanece constante, ω² é duplicado. Isso implica que $\omega$ é aumentado por um fator de √2​. Portanto, $L$ também aumenta por um fator de √2​.

16. problema: Uma roda de bicicleta com raio de 0.3 m possui um aro de massa 1.5 kg. Se ela gira com uma velocidade angular de 5 rad/s, determine seu momento angular.

Solução: Considerando o aro como um arco, I=mr²

$L=I\times \omega$ =1.5×0.32×5=6.75 kg.m²/s

L=1.5×0.32×5=6.75kg.m²/s

17. problema: Uma patinadora no gelo recolhe os braços para dentro enquanto gira. O que acontece com seu momento angular?

Solução: O momento angular da patinadora é conservado. Ao recolher os braços, ela diminui seu momento de inércia e, portanto, gira mais rápido (aumentando sua velocidade angular) para conservar seu momento angular.

18. problema: Um volante tem um momento de inércia de 0.2. kg.m²kg.m² e está girando com uma velocidade angular de 10 rad/s. Determine seu momento angular.

Solução:

$L=I\times \omega$ =0.2×10=2 kg.m²/s

L=0.2×10=2 kg.m²/s

19. problema: Um sistema está sujeito a um torque externo resultante igual a zero. O que você pode afirmar sobre seu momento angular?

Solução: Se o torque externo resultante for zero, então, de acordo com a conservação do momento angular, o momento angular total do sistema permanece constante.

20. problema: Uma massa pontual m = 5 kg move-se com velocidade v = 3 m/s perpendicularmente à linha que a une a um ponto P. Se a distância do ponto P é de 4 m, determine seu momento angular em relação ao ponto P.

Solução:

$L=m\times r\times v$ =5×4×3=60 kg.m²/s

L=5×4×3=60kg.m²/s