Adição de vetores usando componentes – problemas e soluções
1. Três vetores, conforme mostrado na figura abaixo.
V1 = 30
V 2 = 30
V 3 = 40
Quais são os vetores resultantes?
Conhecido :
V 1 = 30, ângulo entre V 1 e o eixo x = 30 o
V 2 = 30, ângulo entre V 2 e o eixo x = 30 o
V 3 = 40, ângulo entre V 3 e o eixo x = 0 o
Procuram-se os vetores resultantes .
solução:
V 1x = (V 1 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = 15√3. Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita).
V 1y = (V 1 )(sen 30 o ) = (30)(0.5) = 15. Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y positivo (para cima).
V 2x = (V 2 )(cos 30 o ) = (30)(0.5√3) = -15√3. Negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x negativo (para a esquerda).
V 2y = (V 2 )(sen 30 o ) = (30)(0.5) = 15. Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y positivo (para cima).
V 3x = (V 3 )(cos 0 o ) = (40)(1) = 40. Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita).
V 3y = (V 3 )(sen 0 o ) = (40)(0) = 0
Os componentes dos vetores resultantes:
V x = V 1x – V 2x + V 3x = 15√3 – 15√3 + 40 = 40
V y = V 1y + V 2y + V 3y = 15 + 15 = 30
2. Duas forças perpendiculares entre si, F₁ = 12 N e F₂ = 5 N. Qual é a resultante dessas duas forças?
Conhecido :
Força 1 (F 1 ) = 12 Newtons
Força 2 (F 2 ) = 5 Newtons
Procuram-se os vetores resultantes ( ΣF)
solução:
ΣF 2 = F 1 2 + F 2 2 = 12 2 + 5 2 = 144 + 25 = 169
ΣF = √ 169 = 13 Newton
3. Três vetores,
V1 = 30
V 2 = 30
V 3 = 40
Determine os vetores resultantes.
Conhecido :
v 1 = 30, forma um ângulo de 30 ° em torno do eixo x negativo.
v 2 = 30, faz com que 30 ° em relação ao eixo x positivo.
v 3 = 40, faz com que 0 ° em relação ao eixo x positivo.
Procuram-se os vetores resultantes .
solução:
Os componentes dos vetores:
v 1x = v 1 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = -15 √ 3 ( Negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x negativo (para a esquerda) )
v 1y = v 1 sen 30 o = (30)(0.5) = 15 ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y positivo (para cima) )
v 2x = v 2 cos 30 o = (30)(0.5 √ 3) = 15 √ 3 ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita ) )
v 2y = v 2 sen 30 o = (30)(0.5) = 15 ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y positivo (para cima). )
v 3x = v 3 cos 0 o = (40)(1) = 40 ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita). )
v 3y = v 3 sen 0 o = (40)(0) = 0
Os componentes dos vetores resultantes:
v x = – v 1x + v 2x + v 3x = -15 √ 3 + 15 √ 3 + 40 = 40
v y = v 1y + v 2y + v 3y = 15 + 15 = 30
O vetor resultante:
4. Qual é a resultante dos três vetores mostrados na figura abaixo?
Conhecido :
F1 = 3 Newtons, faz 60o em torno do eixo x positivo
F₂ = 3 Newtons, o que faz com que o ângulo seja 0 ° em relação ao eixo x negativo.
F 3 = 6 Newtons , forma um ângulo de 60 ° em torno do eixo y negativo.
Procura-se: o vetor resultante
solução:
Os componentes dos vetores:
F 1x = F 1 cos 60 o = (3)(0.5) = 1.5 N ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita ) )
F 1y = F 1 sin 60 o = (3)(0.5√3) = 1.5√3 N ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y positivo (para cima) )
F 2x = F 2 cos 0 o = (3)(1) = -3 N ( Negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x negativo (para a esquerda) )
F 2y = F 2 sen 0 o = (3)(0) = 0
F 3x = F 3 cos 60 o = (6)(0.5) = 3 N ( Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita ) )
F 3y = F 3 sen 60 o = (6)(0.5√3) = -3√3 N ( Negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y negativo ( para baixo ) )
Os componentes dos vetores resultantes:
ΣF x = F 1x – F 2x + F 3x = 1.5 N – 3 N + 3 N = 1.5 N
ΣF y = F 1y + F 2y – F 3y = 1.5√3 N + 0 N – 3√3 N = -1.5√3 N
O vetor resultante:
5. Duas forças, F₁ = 15 N e F₂ = 9 N. O ângulo entre os dois vetores é de 60°. Qual é a resultante dos vetores?
Desejado :
Força 1 (F 1 ) = 15 Newtons
Força 2 (F 2 ) = 9 Newtons
Ângulo ( θ) = 60 °
Procura-se: o vetor resultante
solução:
6. Qual é a resultante dos três vetores mostrados na figura abaixo?
Conhecido :
F1 = 20 Newton, ângulo entre F1 e eixo x = 0
F 2 = 20 Newtons, ângulo entre F 2 e o eixo x = 60
F 3 = 24 Newtons, ângulo entre F 3 e o eixo x = 60
Procura-se: o vetor resultante
solução:
Os componentes dos vetores:
F 1x = (F 1 )(cos 0) = (20)(1) = 20. Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x positivo (para a direita ).
F 1y = (F 1 )(sen 0) = (20)(0) = 0
F 2x = (F 2 )(cos 60) = (20)(0.5) = -10. Negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x negativo (para a esquerda)
F 2y = (F 2 )(sen 60) = (20)(0.5√3) = 10√3. Positivo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y positivo (para cima)
F 3x = (F 3 )(cos 60) = (24)(0.5) = -12. Negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo x negativo (para a esquerda)
F 3y = (F 3 )(sen 60) = (24)(0.5√3) = -12√3. N negativo porque este componente vetorial aponta ao longo do eixo y negativo ( para baixo )
Os componentes dos vetores resultantes:
F x = F 1x – F 2x – F 3x = 20 – 10 – 12 = -2
F y = F 1y + F 2y – F 3y = 0 + 10√3 – 12√3 = -2√3
O vetor resultante:
