27 Ruch pocisku – problemy i rozwiązania
1. Pocisk wystrzelono pod kątem θ = 60 ° z prędkością 20 m/s. Przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 m/s2 . W jakim czasie pocisk osiągnie maksymalną wysokość?
Znany:
Prędkość początkowa pocisku (vo ) = 20 m/s
Kąt (θ) = 60 ° C
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms –2
Poszukiwany: przedział czasu potrzebny do osiągnięcia maksymalnej wysokości
rozwiązanie:
Prędkość początkowa w kierunku poziomym (oś x):
v wół = v o cos 60 o = (20)(0.5) = 10 m/s
Prędkość początkowa w kierunku pionowym (oś y):
v oy = vo sin 60 o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s
Czas potrzebny do osiągnięcia maksymalnej wysokości oblicza się za pomocą następującego równania:
v ty = v oy + gt
v ty = prędkość końcowa w kierunku pionowym = prędkość końcowa w najwyższym punkcie = 0 m/s
v oy = prędkość początkowa w kierunku poziomym = 10√3 m/s
g = przyspieszenie ziemskie = 10 m/ s2
t = przedział czasu
Przedział czasu:
v ty = v oy + gt
0 = 10√3 – 10 t
10√3 = 10 t
t = 10√3 / 10
t = √3 sekundy
2. Obiekt rzucony pod kątem. Wysokość obiektu jest taka sama, gdy odstęp czasu wynosi 1 sekundę i 3 sekundy. Jaki jest odstęp czasu, w którym obiekt znajduje się w powietrzu?
rozwiązanie:
Obiekt w powietrzu przez 4 sekundy.
3. Samolot porusza się poziomo z prędkością 50 m/s. Na wysokości 2 km z samolotu spada obiekt. Przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 m/ s². Jaki jest czas, po którym obiekt uderza w ziemię?
Znany:
Wysokość = 2 km = 2000 metrów
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Poszukiwany: przedział czasu (t)
rozwiązanie:
h = 1/2 gt 2
2000 = 1/2 (10) t2
2000 = 5 ton 2
t2 = 2000/5 = 400
t = √400 = 20 sekund
4. Piłka nożna kopnięta w ziemię odrywa się od podłoża pod kątem θ = 45 ° z prędkością początkową 25 m/s. Określ odległość X. Przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 m/ s².
Znany:
Prędkość początkowa (vo ) = 25 m/s
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Kąt (θ) = 45 °
Poszukiwany: X
rozwiązanie:
Składowa pozioma prędkości początkowej:
v wół = v o cos θ = (25 m/s)(cos 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Składowa pionowa prędkości początkowej:
v oy = v o sin θ = (25 m/s)(sin 45 o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s
Ruch pocisku można zrozumieć, analizując oddzielnie składową poziomą i pionową ruchu. Ruch x odbywa się ze stałą prędkością, a ruch y ze stałym przyspieszeniem grawitacyjnym.
Czas w powietrzu (t):
Czas spędzony w powietrzu obliczamy za pomocą równania ruchu pionowego w górę.
Wybierz kierunek w górę jako dodatni, a kierunek w dół jako ujemny.
Znany:
Prędkość początkowa (vo ) = 12.5√2 m/s (kierunek w górę, dodatni)
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = -10 m/s2 ( kierunek w dół, ujemny)
Wysokość (h) = 0
Poszukiwany: przedział czasu (t)
rozwiązanie:
h = v o t + 1/2 gt 2
0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t 2
0 = 12.5√2 t – 5 t 2
12.5√2 t = 5 t 2
12.5√2 = 5 t
t = 12.5√2 / 5
t = 2.5√2 sekundy
Odległość pozioma (X):
Oblicza się je za pomocą równania ruchu jednostajnego liniowego ze stałą prędkością.
Znany:
Prędkość (v) = 12.5√2 m/s
Przedział czasu (t) = 2.5√2 sekundy
Poszukiwany: Odległość
rozwiązanie:
d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 metrów
5. Obiekt rzucony w górę pod kątem θ = 30 ° do poziomu ma prędkość początkową 20 m/s. Przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 m/s2 . Określ maksymalną wysokość.
Znany:
Prędkość początkowa (vo) = 20 m/s
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Kąt (θ) = 30 °
Poszukiwany : Maksymalna wysokość
rozwiązanie:
Najpierw znajdź pionową składową prędkości początkowej ( voy ):
v oy = v o sin 30 o = (20)(sin 30 o ) = (20)(0.5) = 10 m/s
Oblicz maksymalną wysokość. Wybierz kierunek w górę jako dodatni, a kierunek w dół jako ujemny.
Znany:
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = -10 m/s2 ( kierunek w dół , ujemny )
Składowa pionowa prędkości początkowej (voy ) = 10 m/s ( kierunek w górę, dodatni )
Prędkość na maksymalnej wysokości (v ty ) = 0
Poszukiwana: Maksymalna wysokość (h)
rozwiązanie:
v t 2 = vo 2 + 2 gh
0 2 = 10 2 + 2 (-10) godz.
0 = 100 – 20 godz.
100 = 20 godzin
h = 100/20
h = 5 metra
Maksymalna wysokość wynosi 5 metra.
6. Obiekt rzucono pod pewnym kątem. Wysokość obiektu jest taka sama po 1 sekundzie i 3 sekundach. Określ czas przebywania w powietrzu.
A. 3.6 s
B. 4.0 s
C. 5.6 s
D. 6.4 s
Rozwiązanie
Czas w powietrzu = 4 sekundy.
Prawidłowa odpowiedź to B.
7. Samolot porusza się poziomo z prędkością 50 m/s. Gdy samolot znajduje się na wysokości 2 km, obiekt może swobodnie spaść z samolotu. Określ rodzaj ruchu.
A. Ruch swobodnego spadania
B. Ruch pływający
C. Ruch poziomy
D. Ruch pocisku
rozwiązanie:
Obiekt zostaje zrzucony z poruszającego się samolotu, ponieważ ma taką samą prędkość jak samolot, czyli 50 m/s. Ruch obiektów nie jest ruchem swobodnym, lecz parabolicznym. Sytuacja jest taka sama, jak w przypadku zrzucania obiektów z wnętrza jadącego samochodu.
Prawidłowa odpowiedź to D.
8. Piłkę rzucono poziomo z prędkością 15 m/s z klifu o wysokości 60 metrów. Jak długo zajmie jej uderzenie w ziemię?
Rozwiązanie: Używając wzoru \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), obliczamy czas równy \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \ approx 3.5\ \text{s} \).
9. Pocisk wystrzelono pod kątem 30° nad poziom, z prędkością początkową 20 m/s. Jaka jest maksymalna wysokość, na jaką został wystrzelony?
Rozwiązanie: Używając wzoru \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), maksymalna wysokość wynosi \( h \ approx 10.2\ \text{m} \).
10. Kamień rzucono poziomo z prędkością 10 m/s z wieży o wysokości 80 metrów. Oblicz odległość, jaką pokonuje w poziomie, zanim uderzy w ziemię.
Rozwiązanie: Używając czasu znalezionego w podobny sposób jak w Zadaniu 1, odległość pozioma wynosi \( d = vt \około 40\ \text{m} \).
11. Kula armatnia została wystrzelona z prędkością 40 m/s pod kątem 45°. Oblicz czas lotu.
Rozwiązanie: Używając wzoru \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \), czas lotu wynosi \( t \ approx 5.8\ \text{s} \).
12. Piłkę baseballową rzucono pod kątem 60° z prędkością 12 m/s. Znajdź zasięg poziomy.
Rozwiązanie: Używając wzoru \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \), zakres wynosi \( R \ approx 14.0\ \text{m} \).
13. Pocisk został wystrzelony z prędkością początkową 50 m/s pod kątem 37° nad poziomem. Jaka jest składowa prędkości pionowej?
Rozwiązanie: Składowa pionowa wynosi \( v_y = v \sin \theta \ approx 30\ \text{m/s} \).
14. Pocisk wystrzelono poziomo z prędkością 20 m/s z wysokości 100 metrów. Jaka jest prędkość pionowa tuż przed uderzeniem w ziemię?
Rozwiązanie: Używając wzoru \( v_y = \sqrt{2gh} \), prędkość pionowa wynosi \( v_y \ approx 44.7\ \text{m/s} \).
15. Kamień rzucono pod kątem 25° nad poziom z prędkością początkową 15 m/s. Jakie są składowe pozioma i pionowa prędkości?
Rozwiązanie: Składowa pozioma wynosi \( v_x = v \cos \theta \round 13.4\ \text{m/s} \), a składowa pionowa wynosi \( v_y \round 6.4\ \text{m/s} \).
16. Piłka nożna została kopnięta z prędkością początkową 30 m/s pod kątem 40° nad poziomem. Jaka jest jej składowa pozioma prędkości?
Rozwiązanie: Składowa pozioma wynosi \( v_x = v \cos \theta \ approx 22.9\ \text{m/s} \).
17. Piłka golfowa została uderzona z prędkością początkową 70 m/s pod kątem 20°. Jaki jest czas lotu?
Rozwiązanie: Korzystając z równania czasu lotu, czas wynosi \( t \ approx 4.9\ \ text{s} \).
18. Pocisk został wystrzelony z ziemi z prędkością 25 m/s pod kątem 53° nad poziomem. Jaka jest jego początkowa składowa prędkości pionowej?
Rozwiązanie: Składowa pionowa wynosi \( v_y = v \sin \theta \ approx 20\ \text{m/s} \).
19. Piłkę baseballową rzucono z prędkością początkową 20 m/s pod kątem 50°. Jaka jest maksymalna wysokość?
Rozwiązanie: Stosując równanie dla maksymalnej wysokości, wysokość wynosi \( h \około 15.3\ \tekst{m} \).
20. Pocisk wystrzelono poziomo z prędkością 200 m/s z wysokości 10 metrów. Jak długo potrwa, zanim uderzy w ziemię?
Rozwiązanie: Korzystając z równania czasu, czas wynosi \( t \ approx 1.4\ \ text{s} \).
21. Kula armatnia została wystrzelona z prędkością 45 m/s pod kątem 30°. Oblicz zasięg.
Rozwiązanie: Stosując równanie zasięgu, zasięg wynosi \( R \ approx 88.2\ \ text{m} \).
22. Piłkę do koszykówki rzucono pod kątem 75° z prędkością 10 m/s. Znajdź zasięg poziomy.
Rozwiązanie: Stosując równanie zasięgu, zasięg wynosi \( R \ approx 5.3\ \ text{m} \).
23. Pocisk został wystrzelony z prędkością początkową 30 m/s pod kątem 22° nad poziomem. Jaka jest prędkość pionowa tuż przed uderzeniem w ziemię?
Rozwiązanie: Korzystając z równania prędkości pionowej, prędkość pionowa wynosi \( v_y \ approx 11.4\ \text{m/s} \).
24. Kamień rzucono poziomo z prędkością 8 m/s z wieży o wysokości 40 metrów. Jaką odległość w poziomie pokonał?
Rozwiązanie: Korzystając z równania odległości poziomej, odległość wynosi \( d \ approx 16\ \ text{m} \).
25. Piłka nożna została kopnięta z prędkością początkową 12 m/s pod kątem 30° nad poziomem. Jakie są składowe poziome i pionowe prędkości?
Rozwiązanie: Składowa pozioma wynosi \( v_x \około 10.4\ \text{m/s} \), a składowa pionowa wynosi \( v_y \około 6\ \text{m/s} \).
26. Piłka golfowa została uderzona z prędkością początkową 50 m/s pod kątem 15°. Jaki jest czas lotu?
Rozwiązanie: Korzystając z równania czasu lotu, czas wynosi \( t \ approx 2.6\ \ text{s} \).
27. Pocisk został wystrzelony z ziemi z prędkością 40 m/s pod kątem 60° nad poziomem. Jaka jest początkowa składowa prędkości poziomej pocisku?
Rozwiązanie: Składowa pozioma wynosi \( v_x = v \cos \theta \ approx 20\ \text{m/s} \).
