Zasada zachowania energii mechanicznej – problemy i rozwiązania
1. Klocek o masie m kg został uwolniony ze szczytu gładkiej równi pochyłej , jak pokazano na poniższym rysunku. Porównanie energii potencjalnej grawitacji i energii kinetycznej klocka w punkcie M wynosi…
Rozwiązanie
Energia potencjalna grawitacji w punkcie M:
PE M = mg (1/3h) = 1/3 mgh
Energia kinetyczna w punkcie M:
KE M = EP = mg (2/3 godz.) = 2/3 mgh
EP M : EK M
1/3 mgh : 2/3 mgh
1/3 : 2/3
1: 2
2. Narciarz zjeżdżający z wysokości A, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli prędkość początkowa = 0, a przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms -2 , to jaka jest prędkość narciarza w punkcie B?
Znany:
Prędkość początkowa (vo ) = 0
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Zmiana wysokości = 50 metrów – 10 metrów = 40 metrów
Poszukiwane: Prędkość narciarza w punkcie B
rozwiązanie:
Zasada zachowania energii mechanicznej głosi, że początkowa energia mechaniczna = końcowa energia mechaniczna.
Początkowa energia mechaniczna = energia potencjalna w punkcie B (wysokość = 40 metrów)
Końcowa energia mechaniczna = energia kinetyczna w punkcie B
Końcowa energia mechaniczna = Początkowa energia mechaniczna
½ mv t 2 = mgh
½ v t 2 = gh
½ v t 2 = (10)(50-10)
½ v t 2 = (10)(40)
½ v t 2 = 400
v t 2 = (2)(400) = 800
vt = √800 = √(2)(400) = 20√2 m/ s
3. Obiekt zaczyna się ślizgać z punktu A bez prędkości początkowej. Jeśli nie ma siły tarcia, jaka jest prędkość obiektu w najniższym punkcie?
Znany:
Masa obiektu = m
Prędkość początkowa (vo ) = 0
Wysokość (h) = 20 metra
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Poszukiwane: Prędkość końcowa (v t )
rozwiązanie:
Początkowa energia mechaniczna (ME 1 ) = Energia potencjalna grawitacyjna w punkcie A (PE A ) = mgh = (m)(10)(20) = 200 m
Końcowa energia mechaniczna (ME 2 ) = energia kinetyczna (KE) = ½ mv t 2
Jaka jest prędkość obiektu w najniższym punkcie (v t )?
Zastosuj zasadę zachowania energii mechanicznej, która stanowi, że początkowa energia mechaniczna = końcowa energia mechaniczna.
EM1 = EM2
200 m = ½ mv t 2
200 = ½ v t 2
400 = v t 2
vt = 20 m/ s
4. Piłka o masie 2 kg spada swobodnie z punktu A, jak pokazano na poniższym rysunku (g = 10 ms -2 ). Po dotarciu do punktu B energia kinetyczna jest dwukrotnie większa od energii potencjalnej. Jaka jest wysokość punktu B nad powierzchnią Ziemi?
Znany:
Masa piłki (m) = 2 kg
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms -2
Wysokość punktu A (h A ) = 90 metrów
Poszukiwane: Wysokość punktu B (h B )
rozwiązanie:
Po dotarciu do punktu B energia kinetyczna piłki w punkcie B jest równa dwukrotności energii potencjalnej grawitacji w punkcie B.
EK = 2 EP
½ mv 2 = 2 mgh B
½ v 2 = 2 gh B
v 2 = 2(2)(10) h B
v 2 = 40 h B
Prędkość (v) piłki po dotarciu do punktu B po swobodnym spadku z punktu A:
v 2 = 2 gh = 2(10)(90–h B ) = 20(90–h B )
Zastąp v 2 w powyższym równaniu v 2 w tym równaniu.
v 2 = 40 h B
20(90–godzin B ) = 40 godzin B
1800–20 godz. B = 40 godz . B
1800 = 40 godzin B + 20 godzin B
1800 = 60 godzin B
wys. B = 1800 / 60
h B = 30 metrów
5. Piłka o masie 1 kg zostaje puszczona i zsuwa się z punktu A do punktu C, jak pokazano na poniższym rysunku. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms -2 , jaka jest energia kinetyczna piłki po dotarciu do punktu C?
Znany:
Masa piłki (m) = 1 kg
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Zmiana wysokości (h) = 0.75 m
Początkowa energia potencjalna (PE o ) = mgh = (1)(10)(0.75) = 7.5 dżuli
Początkowa energia kinetyczna (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Końcowa energia potencjalna grawitacji (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Poszukiwana: Energia kinetyczna piłki w punkcie C
rozwiązanie:
Początkowa energia mechaniczna (ME o ) = Końcowa energia mechaniczna (ME t )
Początkowa energia potencjalna grawitacji (PE o ) + początkowa energia kinetyczna (KE o ) = Końcowa energia potencjalna grawitacji (PE t ) + końcowa energia kinetyczna (KE t )
7.5 dżule + 0 = 0 + KE t
7.5 dżule = KE t
Energia kinetyczna piłki w punkcie C = 7.5 dżuli.
6. Z punktu A wypuszczono piłkę o masie 2 kg, jak pokazano na poniższym rysunku. Płaszczyzna krzywej jest gładka. Jeśli przyspieszenie grawitacyjne wynosi 10 ms -2 , jaka jest energia kinetyczna piłki w punkcie B?
Znany:
Masa piłki (m) = 2 kg
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Zmiana wysokości (h) = 120 cm = 1.2 metra
Początkowa energia potencjalna grawitacji (PE o ) = mgh = (2)(10)(1.2) = 24 dżule
Początkowa energia kinetyczna (KE o ) = ½ mv o 2 = ½ m (0) 2 = 0
Końcowa energia potencjalna grawitacji (PE t ) = mgh = mg (0) = 0
Poszukiwana: Energia kinetyczna piłki w punkcie B
rozwiązanie:
Energia mechaniczna w punkcie A (początkowa energia mechaniczna) = energia mechaniczna w punkcie B (końcowa energia mechaniczna)
Początkowa energia mechaniczna (ME o ) = końcowa energia mechaniczna (ME t )
Początkowa energia potencjalna grawitacji (PE o ) + początkowa energia kinetyczna (KE o ) = końcowa energia potencjalna grawitacji (PE t ) + końcowa energia kinetyczna (KE t )
24 dżule + 0 = 0 + KE t
24 dżule = KE t
Energia kinetyczna (KE) piłki w punkcie C = 24 dżule.
7. Obiekt ma stałą energię mechaniczną, większą energię kinetyczną i mniejszą energię potencjalną grawitacji. Obiekt jest…
A. W spoczynku
B. poruszać się w górę
C. przesunąć się w dół
D. Przyspieszone w górę
rozwiązanie:
Energia kinetyczna rośnie, co oznacza, że prędkość obiektu rośnie, a energia potencjalna grawitacji maleje, co oznacza, że wysokość obiektu nad powierzchnią gleby maleje. Dzieje się tak, gdy obiekt porusza się z określonej wysokości w kierunku ziemi.
Związek między prędkością a energią kinetyczną przedstawia wzór na energię kinetyczną:
KE = ½ mv2
Opis wzoru: KE = energia kinetyczna, m = masa, v = prędkość
Zależność między wysokością a energią potencjalną grawitacji przedstawia wzór na energię potencjalną grawitacji:
PE = mgh
Opis wzoru: PE = energia potencjalna grawitacji, m = masa, g = przyspieszenie ziemskie, h = wysokość
Prawidłowa odpowiedź to C.
- Czym jest energia mechaniczna?
- Odpowiedź: Energia mechaniczna to suma energii kinetycznej i potencjalnej obiektu. Energia kinetyczna odnosi się do ruchu obiektu, natomiast energia potencjalna – do jego położenia lub konfiguracji.
- Co stanowi zasada zachowania energii mechanicznej?
- Odpowiedź: Zasada ta głosi, że w układzie izolowanym, w którym działają wyłącznie siły zachowawcze, całkowita energia mechaniczna pozostaje stała. Oznacza to, że suma energii kinetycznej i potencjalnej nie zmienia się w czasie.
- Jak siły zachowawcze i niezachowawcze wpływają na zasadę zachowania energii mechanicznej?
- Odpowiedź: Siły zachowawcze, takie jak grawitacja, nie zmieniają całkowitej energii mechanicznej układu. Mogą one przekształcać energię potencjalną w energię kinetyczną lub odwrotnie, ale suma pozostaje stała. Siły niezachowawcze, takie jak tarcie, mogą rozpraszać energię mechaniczną, zazwyczaj przekształcając ją w energię cieplną.
- Dlaczego w rzeczywistych sytuacjach, w których występuje tarcie, energia mechaniczna nie jest zachowywana?
- Odpowiedź: Tarcie jest siłą niezachowawczą. Gdy obiekty zbliżają się do siebie, tarcie przekształca część energii mechanicznej układu w energię cieplną, co prowadzi do spadku całkowitej energii mechanicznej układu.
- W jaki sposób demonstrowana jest zasada zachowania energii mechanicznej w przypadku wahadła?
- Odpowiedź: W przypadku braku oporu powietrza (siły niezachowawczej), gdy wahadło wychyla się w górę, jego energia kinetyczna przekształca się w energię potencjalną grawitacji. W najwyższym punkcie wychylenia wahadło ma maksymalną energię potencjalną i minimalną energię kinetyczną. W miarę wychylenia w dół, ta energia potencjalna przekształca się z powrotem w energię kinetyczną. Całkowita energia mechaniczna pozostaje stała, mimo że formy energii się zamieniają.
- Dlaczego odbijająca się piłka w końcu zatrzymuje się, nawet jeśli nie działają na nią żadne siły zewnętrzne?
- Odpowiedź: Kiedy piłka odbija się, nie cała jej energia kinetyczna przekształca się z powrotem w energię potencjalną. Część energii jest tracona, często w postaci dźwięku lub odkształcenia piłki, a zwłaszcza z powodu tarcia wewnętrznego w materiale piłki. Są to formy sił niezachowawczych, które zmniejszają energię mechaniczną piłki z każdym odbiciem, aż do jej zatrzymania.
- Gdzie w kolejce górskiej jest największa i najmniejsza energia mechaniczna?
- Odpowiedź: Całkowita energia mechaniczna kolejki górskiej pozostaje stała, jeśli pominiemy opór powietrza i tarcie. Jednak w najwyższym punkcie energia potencjalna osiąga maksimum, a energia kinetyczna minimum. W miarę zjazdu energia potencjalna przekształca się w energię kinetyczną, więc w najniższym punkcie energia kinetyczna osiąga maksimum, a energia potencjalna minimum.
- W jaki sposób zasada zachowania energii mechanicznej pomaga w zrozumieniu orbit planet?
- Odpowiedź: Planety krążące wokół gwiazdy takiej jak Słońce posiadają zarówno energię kinetyczną (wynikającą z ich ruchu), jak i energię potencjalną grawitacji (wynikającą z ich położenia względem Słońca). W miarę jak planeta zbliża się do Słońca, przyspiesza, zwiększając swoją energię kinetyczną, podczas gdy jej energia potencjalna grawitacji maleje i odwrotnie. Całkowita energia mechaniczna planety pozostaje stała w czasie, zakładając, że inne siły (np. pochodzące od innych planet) są pomijalne.
- Dlaczego satelita na stabilnej orbicie nie spada na Ziemię?
- Odpowiedź: Chociaż satelita jest rzeczywiście przyciągany do Ziemi przez grawitację, jego energia kinetyczna do przodu utrzymuje go w ruchu po orbicie. Równowaga między tą energią kinetyczną a energią potencjalną grawitacji utrzymuje satelitę na stabilnej orbicie ze stałą energią mechaniczną.
- Jeżeli narciarz rusza ze szczytu stoku, na którym nie występuje tarcie, a następnie zjeżdża, jaka będzie jego prędkość na dole w porównaniu z prędkością, jaką osiągnąłby, gdyby zaczął zjeżdżać w połowie stoku?
- Odpowiedź: Na beztarciowym zboczu całkowita energia mechaniczna narciarza jest zachowana. Jeśli zacznie od samego szczytu, będzie miał na początku więcej energii potencjalnej niż gdyby zaczął zjeżdżać w połowie. Ta energia potencjalna przekształci się w całości w energię kinetyczną podczas zjazdu. Zatem, jeśli zacznie od góry, będzie szybciej na dole niż gdyby zaczął zjeżdżać w połowie.
