Zasada zachowania energii mechanicznej na powierzchniach krzywych – problemy i rozwiązania
1. Jeśli prędkość piłki w punkcie A wynosi 6 m/s, prędkość piłki w punkcie B wynosi √92 m/s, a przyspieszenie grawitacyjne wynosi g = 10 m/s 2. Jaka jest wysokość punktu B (h)?
Znany:
Prędkość piłki w punkcie A (vA) = 6 m/s
Prędkość piłki w punkcie B (v B ) = √92 m/s
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 m/ s2
Wysokość A (h A ) = 5.6 metra
Wysokość B (h B ) = h
Poszukiwana: wysokość punktu B (h)
rozwiązanie:
Początkowa energia mechaniczna = energia potencjalna grawitacyjna
W punkcie A prędkość piłki = 0, zatem energia kinetyczna piłki = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Piłka znajduje się na wysokości 5.6 m, więc ma energię potencjalną grawitacji. Energia potencjalna grawitacji : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 m
Początkowa energia mechaniczna = energia potencjalna grawitacyjna + energia kinetyczna = 56 m + 0 = 56 m
Końcowa energia mechaniczna = energia potencjalna grawitacyjna + energia kinetyczna
W punkcie B wysokość piłki wynosi h. Energia potencjalna grawitacji: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Energia kinetyczna piłki: KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (√92) 2 = 1/2 m (92) = 46 m
Końcowa energia mechaniczna = energia potencjalna grawitacyjna + energia kinetyczna = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Zasada zachowania energii mechanicznej:
Początkowa energia mechaniczna = końcowa energia mechaniczna
56 m = m (10 godz. + 46)
56 = 10 godzin + 46
56 – 46 = 10 godzin
10 = 10 godzin
h = 10/10
h = 1 metrów
2.
Jeżeli prędkość początkowa = 0, a przyspieszenie ziemskie = 10 m/s2 , jaka jest prędkość na wysokości B?
Znany:
Prędkość początkowa (vo ) = 0
Wysokość początkowa (h o ) = 50 m – 10 m = 40 m
Wysokość końcowa (h t ) = 0
Przyspieszenie grawitacyjne (g) = 10 ms -2
Poszukiwana: prędkość końcowa (v t )
rozwiązanie:
Zmiana energii kinetycznej:
ΔKE = 1/2 m (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 m (v t 2 – 0) = 1/2 mv t 2
Zmiana energii potencjalnej:
ΔPE = mg (h t – h o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m
Oblicz prędkość końcową (v t ) korzystając z równania zasady zachowania energii mechanicznej :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 mv t 2 – 400 m
1/2 mv t2 = 400 m
1/2 v t 2 = 400
vt2 = 2( 400 )
vt = √(400)(2)
vt = 20√2 m/ s
- Co oznacza „zasada zachowania energii mechanicznej”?
- Odpowiedź: Zasada zachowania energii mechanicznej oznacza, że całkowita energia mechaniczna (suma energii kinetycznej i potencjalnej) układu izolowanego pozostaje stała, jeżeli działają na niego tylko siły zachowawcze, takie jak grawitacja.
- W jaki sposób obiekt poruszający się po zakrzywionej powierzchni (np. piłka staczająca się po zakrzywionej rampie) zachowuje swoją energię mechaniczną?
- Odpowiedź: W miarę jak obiekt porusza się po zakrzywionej powierzchni, energia potencjalna zamienia się w energię kinetyczną, ale całkowita energia mechaniczna pozostaje stała, zakładając, że żadne siły niezachowawcze (takie jak tarcie) nie wykonują pracy.
- Jeśli piłka zostanie puszczona z miejsca na szczycie zakrzywionej rampy, jak zmieni się jej energia kinetyczna w miarę zsuwania się po rampie?
- Odpowiedź: Energia kinetyczna piłki wzrasta w miarę jej zjazdu po rampie, ponieważ jej energia potencjalna maleje i zostaje przekształcona w energię kinetyczną.
- Gdyby nie było tarcia, jaka byłaby prędkość piłki na dole zakrzywionej zjeżdżalni w porównaniu do prędkości piłki na prostej zjeżdżalni o tej samej wysokości?
- Odpowiedź: Prędkość piłki na dole byłaby taka sama zarówno w przypadku zjeżdżalni zakrzywionej, jak i prostej, ponieważ zamiana energii potencjalnej na kinetyczną zależy wyłącznie od wysokości, a nie od obranej ścieżki.
- Dlaczego piłka nie może osiągnąć swojej pierwotnej wysokości, gdy jest toczona po zakrzywionej rampie po zjeździe z pewnej wysokości?
- Odpowiedź: Jeśli na piłkę działają siły niezachowawcze, takie jak tarcie, wykonają one pracę przeciwną ruchowi, przekształcając część energii mechanicznej piłki w inne formy, takie jak ciepło. W rezultacie piłka może nie mieć wystarczającej energii, aby osiągnąć swoją pierwotną wysokość.
- Jeśli dwa obiekty o różnych kształtach (np. kula i sześcian) zjeżdżają po zakrzywionej rampie z tej samej wysokości, nie staczając się, czy będą miały taką samą prędkość na dole? Dlaczego?
- Odpowiedź: Tak, będą miały taką samą prędkość na dole. Zakładając brak toczenia i tarcia, jedynym czynnikiem decydującym o ich prędkości jest zasada zachowania energii oparta na wysokości początkowej, a nie ich kształt.
- Jak krzywizna powierzchni wpływa na siłę normalną działającą na obiekt poruszający się wzdłuż niej?
- Odpowiedź: Krzywizna powoduje zmianę kierunku siły nacisku w miarę ruchu obiektu. Na powierzchni wklęsłej skierowanej ku górze (takiej jak wnętrze miski), siła nacisku jest większa u dołu ze względu na siłę dośrodkową niezbędną do ruchu po krzywej. Natomiast na powierzchni wypukłej siła nacisku może się zmniejszyć lub nawet zniżyć do zera (obiekt opuszcza powierzchnię) w najwyższym punkcie.
- Jaką rolę odgrywa promień krzywizny w zachowaniu energii mechanicznej na zakrzywionej powierzchni?
- Odpowiedź: Sam promień krzywizny nie wpływa bezpośrednio na zasadę zachowania energii mechanicznej. Może jednak wpływać na siłę nacisku i, jeśli występuje tarcie, na ilość energii traconej na rzecz sił niezachowawczych.
- Jeśli tor ma wgłębienie na środku (podobne do łuku w kształcie litery U), w jaki sposób zmienia się energia mechaniczna obiektu, gdy ten przemieszcza się przez wgłębienie i w górę po drugiej stronie?
- Odpowiedź: Energia potencjalna obiektu będzie maleć w miarę wchodzenia w zagłębienie i wzrastać jego energia kinetyczna. W miarę jak obiekt będzie się poruszał w górę po drugiej stronie, jego energia kinetyczna będzie maleć, a energia potencjalna wzrastać. Jeśli działają tylko siły zachowawcze, całkowita energia mechaniczna pozostaje stała w całym ruchu.
- Czy obiekt poruszający się po zakrzywionej powierzchni może posiadać zarówno energię kinetyczną translacyjną, jak i obrotową?
- Odpowiedź: Tak, jeśli obiekt taki jak piłka toczy się (bez poślizgu) po zakrzywionej powierzchni, będzie miał energię kinetyczną translacyjną wynikającą z ruchu środka masy oraz energię kinetyczną obrotową wynikającą z obrotu wokół własnej osi.
