Materiał do mnożenia krzyżowego z wykorzystaniem składowych wektorów jednostkowych
Możemy obliczyć iloczyn wektorowy bezpośrednio, jeśli znamy składowe wektorów. Procedura jest taka sama jak w przypadku iloczynu skalarnego . Najpierw mnożymy wektory jednostkowe i , j i k . Iloczyn wektorowy tych samych wektorów jednostkowych wynosi zero.
i x i = j x j = k x k = 0
Odwołując się do wcześniej wyprowadzonego równania mnożenia wektorów (A x B = AB grzech θ) i antyprzemienność mnożenia wektorów (A x B = - B x A), wtedy otrzymujemy:
i x j = -j x i = k
j x k = -k x j = i
k x i = – i x k = j
Teraz wyrażamy wektory A i B za pomocą ich składowych, rozkładamy ich iloczyn i korzystamy z iloczynu wektorów jednostkowych.
A x B= (Axi + Ayj + Azk) X (Bxi + Byj + Bzk)
A x B = Axi x Bxi + Axi x Byj + Axi x Bzk +
Ayj x Bxi + Ayj x Byj + Ayj x Bzk +
Azk x Bxi + Azk x Byj + Azk x Bzk
A x B = AxBx (i x i) + AxBy (i x j) + Ax Bz (i x k) +
AyBx (j x i) + AyBy (j x j) + AyBz (j x k) +
AzBx (k x i) + AzBy (k x j) + AzBz (k x k)
Ponieważ i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = -j x i = k, j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j, Więc :
A x B = AxBx (0) + AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx (-k) + AyBy (0) + AyBz (i) +
AzBx (j) + AzBy (-i) + AzBz (0)
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) +
AyBx ( -k ) + AyBz ( i ) +
A z B x ( j ) + A z B y ( -i )
A x B = AxBy (k) + Ax Bz (-j) + AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
A x B = (AyBz - AzBy)i + (AzBx - Ax Bz)j + (AxBy - AyBx )k
Jeżeli C = A x B , to składniki C są następujące:
Cx = A y B z – A z B y
Cy = A z B x – A x B z
Cz = A x B y – A y B x
