Materiał dotyczący mnożenia kropek przy użyciu składowych wektorów jednostkowych
Możemy obliczyć iloczyn skalarny bezpośrednio, jeśli znamy składowe x, y i z wektorów A i B (znane wektory).
Aby wykonać iloczyn skalarny w ten sposób, najpierw wykonujemy iloczyn skalarny wektorów jednostkowych, następnie wyrażamy wektory A i B w ich składowych, rozkładamy iloczyn i używamy iloczynu wektorów jednostkowych.
Wektory jednostkowe i , j i k są do siebie prostopadłe, co ułatwia obliczenia. Korzystając z równania mnożenia skalarnego wyprowadzonego powyżej ( AB = AB cos theta ), otrzymujemy:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Teraz wyrażamy wektory A i B za pomocą ich składowych, rozkładamy ich iloczyn i korzystamy z iloczynu wektorów jednostkowych.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Ponieważ i . i = j . j = k . k = 1 i i . j = i . k = j . k = 0, wtedy:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y Przez y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Na podstawie wyników tego obliczenia można stwierdzić, że iloczyn skalarny dwóch wektorów jest sumą iloczynów ich podobnych składowych.
Przykładowe pytanie 1:
Duży wektor A dan B odpowiednio 5 i 4, jak pokazano na poniższym rysunku. Powstały kąt ma 90 stopni.o. Policz to iloczyn skalarny oba wektory.
Pembahasan
Zanim obliczymy iloczyn skalarny wektorów A i B, musimy najpierw poznać składowe drugiego wektora.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
ZA y = (5) grzech 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) grzech 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Wektor A ma składowe wektorowe tylko na osi x, a wektor B ma składowe wektorowe tylko na osi y. Składowa z jest równa zero, ponieważ wektory A i B znajdują się w płaszczyźnie xy.
Teraz obliczamy iloczyn skalarny między wektorami A i B, korzystając z równania iloczynu skalarnego z wektorami składowymi:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A . B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A.B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Porównajmy to z pierwszą metodą
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Wynik jest ten sam.
Przykładowe pytanie 2:
Duży wektor A dan B wynoszą odpowiednio 5 i 4, jak pokazano na poniższym rysunku. Oblicz iloczyn skalarny oba wektory, jeśli utworzony kąt wynosi 30o
Pembahasan
Zanim obliczymy iloczyn skalarny wektorów A i B, musimy najpierw poznać składowe drugiego wektora.
Składowa z jest równa zero, ponieważ wektory A i B znajdują się w płaszczyźnie xy.
Teraz obliczamy iloczyn skalarny między wektorami A i B, korzystając z równania iloczynu skalarnego z wektorami składowymi:
Porównaj z pierwszą metodą.
