Wektory nie są zwykłymi liczbami, więc nie można ich bezpośrednio mnożyć. Musimy użyć mnożenia wektorowego. Istnieją dwa rodzaje mnożenia wektorów: mnożenie kropkowe i mnożenie krzyżowe. Mnożenie kropkowe nazywane jest również mnożeniem skalarnym, ponieważ daje wielkość skalarną. Mnożenie krzyżowe nazywane jest również mnożeniem wektorów, ponieważ daje wielkość wektorową. Na przykład, istnieją dwa wektory, a mianowicie: A dan B. Mnożenie skalarne wektorów A dan B stwierdził z AB KPonieważ arena używa notacji kropkowej, to mnożenie nazywa się iloczyn skalarny. Mnożenie wektorów A dan B stwierdził z A x BPonieważ używa notacji x, to takie mnożenie nazywamy mnożeniem krzyżowym.
Na przykład, biorąc pod uwagę wektor A dan B jak pokazano na poniższym obrazku. Iloczyn skalarny wektorów A dan B napisane jako AB (A cycek B).
Aby zdefiniować iloczyn skalarny wektorów A dan B (AB), przedstawiony wektor A i wektory Przez yktóry tworzy kąt θ. Następnie rysujemy rzut wektora B w kierunku wektora A. Ta projekcja jest składową wektora B który jest równoległy do wektora A, który ma taki sam rozmiar jak B cos θ.
Tak więc definiujemy AB jako duży wektor A pomnożone przez składowe wektora B który jest równoległy do AMatematycznie możemy to zapisać w następujący sposób:
AB cos θ Jest liczbą zwykłą (skalarną). Dlatego iloczyn skalarny nazywany jest również iloczynem skalarnym. Co się stanie, jeśli iloczyn skalarny między wektorami A dan B zamienił się w BA ? zanim zdefiniujemy BA, najpierw narysujemy rzut wektora A do wektorów B (patrz obrazek poniżej).
Na podstawie tego obrazu możemy zdefiniować BA jako duży wektor B pomnożone przez składowe wektora A który jest równoległy do BMatematycznie możemy to zapisać w następujący sposób:
Wynik iloczynu skalarnego AB = AB cos θ i wynik iloczynu skalarnego BA = BA cos θ. Ponieważ AB cos θ = BA cos θ, to wtedy stosuje się AB = BA
Kilka rzeczy, które musisz wiedzieć o mnożeniu kropkowym:
1. Iloczyn skalarny spełnia prawo przemienności.
AB = BA
2. Iloczyn skalarny spełnia prawo rozdzielności.
A. (B + C) = AB + AC
3. Jeżeli wektory A i B są prostopadłe do siebie, to iloczyn skalarny AB = 0
Kiedy wektor A dan B prostopadłe do siebie, wówczas utworzony kąt wynosi 90o. Cos 90o = 0. Zatem: AB = AB cos TETA = AB cos 90o = 0. Z drugiej strony, BA = BA cos TETA = BA cos 90o = 0
4. Jeżeli wektor A i wektor B mają ten sam kierunek , to AB = AB cos 0 o = AB
Kiedy wektor A dan B w tym samym kierunku, wówczas utworzony kąt wynosi 0o. Cos 0 = 1. Zatem, AB = AB cos TETA = AB cos 0o = ABWręcz przeciwnie BA = BA cos TETA = BA cos 0o = BA
(Nie należy mylić z AB dan BA. Duży AB = duży BANa przykład wielkość wektora A = 2. wielkość wektora B = 3. wtedy AB = 2.3 = 6; to jest to samo co BA = 3.2 = 6.
5. Inny warunek dla dwóch wektorów w tym samym kierunku: jeśli A = B , to otrzymujemy AA = A 2 lub BB = B 2
6. Jeżeli wektory A i B mają przeciwne zwroty (gdy dwa wektory mają przeciwne zwroty, kąt utworzony przez wektor wynosi 180º) , to wynikiem mnożenia AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.
Cos 180º = -1.
Przykłady problemów:
Wektor A ma moduł 4 jednostek, a wektor B ma moduł 3 jednostek. Oblicz iloczyn skalarny tych dwóch wektorów, jeśli kąty utworzone przez te wektory wynoszą 60°, 90° i 180°.
Pembahasan
Ponieważ AB = BA , możemy wybrać jedno z nich. Na przykład używamy AB
AB = AB cos theta
Wielkość A = 4 jednostki i wielkość B = 3 jednostki.
