Prosjektilbevegelse – problemer og løsninger

27 Prosjektilbevegelse – problemer og løsninger

1. En kule avfyres i en vinkel θ = 60 ^° med en hastighet på 20 m/s. Tyngdeakselerasjonen er 10 m/s² ^. Hva er tidsintervallet for å nå maksimal høyde?

Kjent:

Kulens starthastighet (v _o ) = 20 m/s

Vinkel (θ) = 60 ^° C

Tyngdeakselerasjon (g) = 10 ms ^–2

Ønsket: Tidsintervallet for å nå maksimal høyde

løsning:

Starthastigheten i horisontal retning (x-aksen):

v _ox = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 m/s

Starthastigheten i vertikal retning (y-aksen):

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 m/s

Tidsintervallet for å nå maksimal høyde, beregnet ved hjelp av denne ligningen:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = slutthastigheten i vertikal retning = slutthastigheten på det høyeste punktet = 0 m/s

v _oy = starthastigheten i horisontal retning = 10√3 m/s

g = tyngdeakselerasjon = 10 m/ ^s²

t = tidsintervall

Tidsintervallet:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 sekunder

2. Et objekt projisert i en vinkel. Høyden på objektet er den samme når tidsintervallet = 1 sekund og 3 sekunder. Hva er tidsintervallet for objektet i luften?

løsning:

Objektet i luften i 4 sekunder.

3. Et fly beveger seg horisontalt med en hastighet på 50 m/s. I en høyde på 2 km slippes en gjenstand fra flyet. Tyngdeakselerasjonen = 10 m/ s², hva er tidsintervallet før gjenstanden treffer bakken?

Kjent:

Høyde = 2 km = 2000 meter

Tyngdekraftakselerasjon (g) = 10 m/ ^s²

Ønsket: Tidsintervallet (t)

løsning:

h = 1/2 ^gt²

2000 = 1/2 (10) ^t²

2000 = 5 ^t²

t2 = 2000/5 = ⁴⁰⁰

t = √400 = 20 sekunder

4. En sparket fotball forlater bakken i en vinkel θ = 45 ^° , med en startfart på 25 m/s. Bestem avstanden til X. Tyngdeakselerasjonen er 10 m/ ^s².

Kjent:

Starthastighet (v _o ) = 25 m/s

Tyngdekraftakselerasjon (g) = 10 m/ ^s²

Vinkel (θ) = 45 ^°

Ønskes: X

løsning:

Den horisontale komponenten av starthastigheten:

v _ox = v _o cos θ = (25 m/s)(cos 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Den vertikale komponenten av starthastigheten:

v _oy = v _o sin θ = (25 m/s)(sin 45 ^o ) = (25 m/s)(0.5√2) = 12.5√2 m/s

Prosjektilbevegelse kan forstås ved å analysere de horisontale og vertikale komponentene av bevegelsen separat. X-bevegelsen skjer med konstant hastighet og y-bevegelsen skjer med konstant tyngdeakselerasjon.

Tid i luften (t):

Tiden i luften beregnes med ligningen for den oppadgående vertikale bevegelsen.

Velg oppadgående retning som positiv og nedadgående retning som negativ.

Kjent:

Starthastigheten (v _o ) = 12.5√2 m/s (oppadgående retning, positiv)

Tyngdeakselerasjon (g) = -10 m/s² ⁽ nedadgående retning, negativ)

Høyde (h) = 0

Ønsket: Tidsintervall (t)

løsning:

h = v _o t + 1/2 ^gt²

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) ^t²

0 = 12.5√2 t – 5 ^t2

12.5√² t = 5 ^t²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 sekunder

Den horisontale avstanden (X):

Beregnet ved hjelp av ligningen for jevn lineær bevegelse med konstant hastighet.

Kjent:

Hastighet (v) = 12.5√2 m/s

Tidsintervall (t) = 2.5√2 sekunder

Ønskes: Avstand

løsning:

d = vt = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 meter

5. Et objekt projisert oppover i en vinkel θ = 30 ^° med horisontalplanet har en starthastighet på 20 m/s. Tyngdeakselerasjonen er 10 m/s² ^. Bestem den maksimale høyden.

Kjent:

Starthastigheten (v_o) = 20 m/s

Tyngdekraftakselerasjon (g) = 10 m/ ^s²

Vinkel (θ) = 30 ^°

Ønskes : Maksimal høyde

løsning:

Finn først den vertikale komponenten av starthastigheten (v _oy ):

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 m/s

Beregn maksimal høyde. Velg oppoverretning som positiv og nedoverretning som negativ.

Kjent:

Tyngdeakselerasjon (g) = -10 m/s² ⁽ nedadgående retning , negativ )

Den vertikale komponenten av starthastigheten (voy ₎ = 10 m/s ( oppadgående retning, positiv )

Hastighet ved maksimal høyde (v _ty ) = 0

Ønsket: Maksimal høyde (h)

løsning:

vt² = _v² + ^2gh_​^​

0 ² = 10 ² + 2 (-10) timer

0 = 100 – 20 timer

100 = 20 timer

h = 100 / 20

h = 5 meter

Maksimal høyde er 5 meter.

6. En gjenstand kastes med en bestemt elevasjonsvinkel. Høyden på gjenstanden er den samme etter 1 sekund og 3 sekunder. Bestem tiden i luften.

A. 3.6 sekunder

B. 4.0 sekunder

C. 5.6 sekunder

D. 6.4 sekunder

Oppløsning

Tid i luft = 4 sekunder.

Riktig svar er B.

7. Et fly beveger seg horisontalt med en hastighet på 50 m/s. Når flyet er i en høyde på 2 km, kan en gjenstand falle fritt fra flyet. Bestem bevegelsestypen.

A. Fritt fall-bevegelse

B. Flytende bevegelse

C. Horisontal bevegelse

D. Prosjektilbevegelse

løsning:

Objektet slippes fra det bevegelige planet fordi det har samme hastighet som planets hastighet, det vil si 50 m/s. Bevegelse av objekter er ikke som fritt fallende bevegelse, men som parabolsk bevegelse. Tilfellet er det samme som når du slipper objekter fra innsiden av en bil i bevegelse.

Riktig svar er D.

8. En ball kastes horisontalt med 15 m/s fra en klippe som er 60 meter høy. Hvor lang tid tar det før den treffer bakken?
Løsning: Ved å bruke (h = \frac{1}{2}gt^2) finner vi at tiden er (t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5 \text{s}).

9. Et prosjektil avfyres i en vinkel på 30° over horisontalplanet med en starthastighet på 20 m/s. Hva er den maksimale høyden som nås?
Løsning: Ved å bruke (h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}) er den maksimale høyden (h \approx 10.2 \text{m}).

10. En stein kastes horisontalt med 10 m/s fra et tårn som er 80 meter høyt. Finn den horisontale avstanden den tilbakelegger før den treffer bakken.
Løsning: Ved å bruke tiden funnet på en lignende måte som i oppgave 1, er den horisontale avstanden (d = vt \approx 40 m).

11. En kanonkule avfyres med 40 m/s i en vinkel på 45°. Finn flygetiden.
Løsning: Ved å bruke (t = \frac{2v \sin \theta}{g} \) er flytiden (t \approx 5.8 \text{s} \).

12. En baseball kastes i en vinkel på 60° med en hastighet på 12 m/s. Finn den horisontale avstanden.
Løsning: Ved å bruke (R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g}) er verdiområdet (R \approx 14.0 \text{m}).

13. Et prosjektil avfyres med en starthastighet på 50 m/s ved 37° over horisontalplanet. Hva er den vertikale hastighetskomponenten?
Løsning: Den vertikale komponenten er (v_y = v \sin \theta \approx 30 \text{m/s}).

14. Et prosjektil skytes ut horisontalt med 20 m/s fra en høyde på 100 meter. Hva er den vertikale hastigheten rett før det treffer bakken?
Løsning: Ved å bruke \(v_y = \sqrt{2gh} \) er den vertikale hastigheten \(v_y \approx 44.7 \text{m/s} \).

15. En stein kastes i en vinkel på 25° over horisontalplanet med en startfart på 15 m/s. Hva er de horisontale og vertikale komponentene av hastigheten?
Løsning: Den horisontale komponenten er (v_x = v \cos \theta \approx 13.4 \text{m/s} \), og den vertikale komponenten er (v_y \approx 6.4 \text{m/s} \).

16. En fotball sparkes med en startfart på 30 m/s i en vinkel på 40° over horisontalplanet. Hva er dens horisontale hastighetskomponent?
Løsning: Den horisontale komponenten er (v_x = v \cos ≤ 22.9 m/s).

17. En golfball blir truffet med en startfart på 70 m/s i en vinkel på 20°. Hva er flytiden?
Løsning: Ved å bruke flygetidligningen er tiden (t = 4.9 s).

18. Et prosjektil avfyres fra bakken med en hastighet på 25 m/s ved 53° over horisontalplanet. Hva er dens initiale vertikale hastighetskomponent?
Løsning: Den vertikale komponenten er (v_y = v \sin \theta \approx 20 \text{m/s}).

19. En baseball kastes med en startfart på 20 m/s i en vinkel på 50°. Hva er den maksimale høyden?
Løsning: Ved å bruke ligningen for maksimal høyde, er høyden (h = 15.3 m).

20. En kule avfyres horisontalt med en hastighet på 200 m/s fra en høyde på 10 meter. Hvor lang tid tar det før den treffer bakken?
Løsning: Ved å bruke tidsligningen er tiden (t = 1.4 s).

21. En kanonkule avfyres med 45 m/s i en vinkel på 30°. Finn avstanden.
Løsning: Ved å bruke rekkeviddeligningen er rekkevidden (R = 88.2 m).

22. En basketball kastes i en vinkel på 75° med en hastighet på 10 m/s. Finn det horisontale avstanden.
Løsning: Ved å bruke rekkeviddeligningen er rekkevidden (R = 5.3 m).

23. Et prosjektil avfyres med en starthastighet på 30 m/s ved 22° over horisontalplanet. Hva er den vertikale hastigheten rett før det treffer bakken?
Løsning: Ved å bruke ligningen for vertikal hastighet er den vertikale hastigheten (v_y = 11.4 m/s).

24. En stein kastes horisontalt med 8 m/s fra et tårn som er 40 meter høyt. Hva er den horisontale distansen den tilbakelegger?
Løsning: Ved å bruke den horisontale avstandsligningen er avstanden (d = 16 m).

25. En fotball sparkes med en startfart på 12 m/s i en vinkel på 30° over horisontalplanet. Hva er de horisontale og vertikale komponentene av hastigheten?
Løsning: Den horisontale komponenten er (v_x = 10.4 m/s), og den vertikale komponenten er (v_y = 6 m/s).

26. En golfball blir truffet med en startfart på 50 m/s i en vinkel på 15°. Hva er flytiden?
Løsning: Ved å bruke flygetidligningen er tiden (t = 2.6 s).

27. Et prosjektil avfyres fra bakken med en hastighet på 40 m/s ved 60° over horisontalen. Hva er dens innledende horisontale hastighetskomponent?
Løsning: Den horisontale komponenten er (v_x = v \cos ≤ 20 m/s).