Traagheidsmoment

1. Traagheidsmoment van het deeltje

Bekijk een roterend deeltje. Aan het deeltje met massa m wordt een kracht F gegeven, waardoor het deeltje roteert om de as O. Het deeltje bevindt zich op een afstand r van de rotatieas. Aanvankelijk is het deeltje in rust (v = 0). Nadat het door de kracht F in beweging is gebracht, beweegt het deeltje met een bepaalde snelheid, waardoor het een tangentiële versnelling ondervindt. De relatie tussen kracht (F), massa (m) en de tangentiële versnelling van de deeltjes wordt weergegeven door vergelijking 3:

F = ma _tan (Vergelijking 3)

De deeltjes roteren, waardoor ze een hoekversnelling ondervinden. De relatie tussen tangentiële versnelling en hoekversnelling wordt weergegeven door vergelijking 4:

a _tan = r α (Vergelijking 4)

Vervang a in vergelijking 3 door a in vergelijking 4:

F = mr α

r F = mr ² α

τ = (mr ² ) α (Vergelijking 5)

rF is het moment van kracht en mr2 ^is het traagheidsmoment van het deeltje. Vergelijking 5 beschrijft het verband tussen het moment van kracht, het traagheidsmoment en de hoekversnelling van roterende deeltjes. Vergelijking 5 is de vergelijking van de tweede wet van Newton voor roterende deeltjes.

Het traagheidsmoment van een deeltje is het product van de massa van het deeltje (m) en het kwadraat van de afstand tussen de deeltjes en de rotatieas (r² ⁾.

I = mr ² (Vergelijking 6)

I = traagheidsmoment van het deeltje, m = massa van het deeltje, r = afstand tussen het deeltje en de rotatieas. Vergelijking 6 wordt gebruikt om het traagheidsmoment van een deeltje te bepalen.

3.2 Voorbeelden van vraagstukken betreffende het traagheidsmoment van een deeltje

Voorbeeldopgave 1.

Een deeltje met een massa van 2 kg werd aan een touw van 0.5 meter lang vastgemaakt en vervolgens rondgedraaid. Wat is het traagheidsmoment van het deeltje tijdens de rotatie?

Oplossing:

Ik = Dhr. ²

I = (2 kg) (0.5 m) ²

I = 0.5 kg m ²

Voorbeeldopgave 2.

Twee deeltjes, met een massa van respectievelijk 2 kg en 4 kg, zijn verbonden door een lichtgewicht draad met een lengte van 2 meter. De massa van de draden wordt verwaarloosd. Bepaal het traagheidsmoment van de twee deeltjes, als:

a) De rotatieas bevindt zich tussen de twee deeltjes.

Oplossing:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(12) + (4)(12)

Ik = 2 + 4

I = 6 kg m ²

b) De rotatieas bevindt zich op een afstand van 0.5 meter van het deeltje met een massa van 2 kg.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(0.5 ² ) + (4)(1.5 ² )

I = (2)(0.25) + (4)(2.25)

Ik = 0.5 + 9

I = 9.5 kg m ²

c) De rotatieas bevindt zich op een afstand van 0.5 meter van het deeltje met een massa van 4 kg.

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ²

I = (2)(1.52) + (4)(0.5 ² )

I = (2)(2.25) + (4)(0.25)

Ik = 4.5 + 1

I = 5.5 kg m ²

Op basis van de bovenstaande berekeningen blijkt dat het traagheidsmoment sterk wordt beïnvloed door de locatie van de rotatieas. Hoewel de vorm en grootte hetzelfde zijn, is het traagheidsmoment ook anders omdat de locatie van de rotatieas verschilt.

Deeltjes dicht bij de rotatieas hebben een kleiner traagheidsmoment, terwijl deeltjes die ver van de rotatieas verwijderd zijn een groter traagheidsmoment hebben. Als we aannemen dat de twee deeltjes hierboven starre objecten zijn, dan bevindt elk deeltje zich dicht bij de rotatieas.

heeft een kleiner traagheidsmoment dan het traagheidsmoment van het deeltje dat zich verder van de rotatieas bevindt.

3.3 Traagheidsmoment van een homogeen star lichaam

Starre objecten zijn opgebouwd uit vele deeltjes. Het traagheidsmoment van een star lichaam is de som van de traagheidsmomenten van alle deeltjes waaruit het object is opgebouwd.

I = Σ mr ²

I = m₁ r₁² + m₂ r₂² + m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

Om het traagheidsmoment van een star object te bepalen, moeten we het object bekijken terwijl het roteert, omdat de positie van de rotatieas het traagheidsmoment van het object beïnvloedt. Het traagheidsmoment (I) van elk deeltje hangt ook af van de massa (m) van het deeltje en het kwadraat van de afstand (r² ⁾ van het deeltje tot de rotatieas. De massa van alle deeltjes waaruit het object is opgebouwd, is de massa van het object.

Het probleem is dat de afstand van elk deeltje tot de rotatieas varieert.

Bekijk de afname in de formule voor het traagheidsmoment van een dunne ring met vingers R en massa M.

Als de rotatieas zich in het midden van de ring bevindt, bevinden alle deeltjes van de dunne ring zich op een afstand van de rotatieas. Het traagheidsmoment van een dunne ring is gelijk aan het traagheidsmoment van alle deeltjes.

I = Σ mr²

I = m₁ r₁² + m₂ r₂² + m₃ r₃² + ….. + m_n r_n²

De massa van alle deeltjes = massa van de dunne ring (M)

I = M (r ₁ ² + r ₂ ² + r ₃ ² + ….. + r _n ² )

Elk deeltje van de dunne ring bevindt zich op een afstand r van de rotatieas, zodat r ₁ = r ₂ = r ₃ = rn = R

De vergelijking voor het traagheidsmoment van de dunne ring:

I = MR ²

I = traagheidsmoment van de dunne ring, M = massa van de dunne ring, R = straal van de dunne ring.

Wat als de rotatieas zich niet in het midden van de ring bevindt? Als de rotatieas zich niet in het midden van de ring bevindt, kan de formule voor het traagheidsmoment van de dunne ring niet worden afgeleid met behulp van de bovenstaande methode.

omdat de afstand van elk deeltje tot de rotatieas verschillend is. Het afleiden van de formule voor het traagheidsmoment voor een dergelijk probleem wordt in dit hoofdstuk niet behandeld.

De formule voor het traagheidsmoment van enkele starre objecten

3.4 Voorbeeldopgave van het traagheidsmoment van een homogeen star lichaam

Voorbeeldopgave 1:

De staafcilinder AB heeft een massa van 3 kg wanneer deze door B wordt gedraaid.

Het traagheidsmoment is 27 kg m² ^. Wat is het traagheidsmoment als

gedraaid door C?

Oplossing:

Oplossing:

De formule voor het traagheidsmoment van een homogene, massieve staaf (de rotatieas bevindt zich in het midden van de staaf):

I = 1/12 ml ²

27 = (1/12) ML ²

(27)(12) = ML ²

324 = ML ²

De formule voor het traagheidsmoment van een homogene, massieve staaf (de rotatieas bevindt zich aan de rand van de staaf):

I = 1/3 ml ²

I = 1/3 (324)

I = 108 kg m ²