Artikel over de continuïteitsvergelijking
Probeer de waterkraan langzaam open te draaien en let daarbij op de snelheid waarmee het water uit de kraan komt. Vergelijk nu waar de waterstroom sneller is: wanneer de kraan dicht is of wanneer deze open is. Waarom is dat zo? Om dit te begrijpen, bestudeer de continuïteitsvergelijking.
Gestroomlijnd
In een constante stroom is de snelheid van elk vloeistofdeeltje op een bepaald punt, bijvoorbeeld punt A, altijd gelijk. Bij het passeren van punt B kan de snelheid van de vloeistofdeeltjes veranderen. Bij aankomst bij punt B stromen de vloeistofdeeltjes die erachteraan komen echter met dezelfde snelheid als de vloeistofdeeltjes die eraan voorafgingen. Hetzelfde geldt bij aankomst bij punt C, enzovoort. De stroomlijn is een kromme die de punten A, B en C verbindt.
Stroombuis
We kunnen elke stroomlijn door elk punt in de vloeistofstroom beschrijven. Als we een stationaire vloeistofstroom waarnemen, vormen sommige stroomlijnen die onder een bepaalde hoek op het denkbeeldige oppervlak vallen een stroombuis. Geen enkele vloeistofdeeltje kruist elkaar, maar ze zijn altijd parallel, en de stroombuis zal lijken op een pijp met dezelfde vorm. Vloeistof die aan het ene uiteinde de buis binnenkomt, komt er aan het andere uiteinde weer uit.
[irp]
Debiteren
Het debiet geeft het volume aan van een vloeistof die door een bepaalde dwarsdoorsnede stroomt gedurende een bepaald tijdsinterval. Mathematisch kan dit als volgt worden weergegeven:
Debiet = Volume vloeistof / tijdsinterval
Q = V/t
Om het beter te begrijpen, gebruiken we een voorbeeld. Stel, vloeistof stroomt door een pijp. Pijpen zijn meestal cilindrisch en hebben een bepaalde dwarsdoorsnede. De pijp heeft ook een lengte.
Wanneer de vloeistof door de pijp stroomt over een afstand L, is het volume van de vloeistof in de pijp V = AL (V = volume van de vloeistof, A = dwarsdoorsnede en L = lengte van de pijp). Omdat de vloeistof een bepaalde tijd nodig heeft om door de pijp te stromen over een afstand L, kunnen we zeggen dat de hoeveelheid vloeistof gelijk is aan:
Omdat v = s / t = L / t —> L = vt, wordt de bovenstaande vergelijking gewijzigd in:
Wanneer een vloeistof gedurende een bepaalde periode door een pijp stroomt met een bepaalde dwarsdoorsnede en lengte, is de hoeveelheid vloeistof die wordt afgevoerd (Q) gelijk aan de dwarsdoorsnede (A) vermenigvuldigd met de stroomsnelheid (v) van de vloeistof.
De continuïteitsvergelijking
Bekijk de vloeistofstroom in een pijp met een verschillende diameter, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding.
Deze afbeelding toont de vloeistofstroom van links naar rechts (vloeistof stroomt van een pijp met grote diameter naar een pijp met kleine diameter). De stippellijn is een stroomlijn.
A 1 = dwarsdoorsnedeoppervlakte van de pijp met grote diameter, A 2 = dwarsdoorsnedeoppervlakte van de pijp met kleine diameter, v 1 = stroomsnelheid van de vloeistof in de pijp met grote diameter, v 2 = stroomsnelheid van de vloeistof in de pijp met kleine diameter, L = afgelegde afstand van de vloeistof.
In een constante stroom is de snelheid van de vloeistofdeeltjes op een bepaald punt gelijk aan de snelheid van de andere vloeistofdeeltjes die door dat punt stromen. Vloeistofstromen kruisen elkaar ook niet (de lijnen zijn parallel). Daarom moet de massa vloeistof die aan het ene uiteinde van de pijp binnenkomt gelijk zijn aan de massa vloeistof die aan het andere uiteinde eruit stroomt. Als de vloeistof met een bepaalde massa een buis met een grote diameter binnenkomt, zal de vloeistof met dezelfde massa een buis met een kleine diameter verlaten.
Bekijk nu de afbeelding van de buis hierboven. Bestudeer de buis met grote diameter en de buis met kleine diameter.
Gedurende een bepaald tijdsinterval stroomt een vloeistof door het gedeelte van de pijp met de grote diameter (A1 ) tot een afstand L1 ( L1 = v1t ) . Het volume van de stromende vloeistof is V1 = A1L1 = A1v1t . Gedurende hetzelfde tijdsinterval stroomt een andere vloeistof door het gedeelte van de pijp met de kleine diameter (A2 ) tot een afstand L2 ( L2 = v2t ) . Het volume van de stromende vloeistof is V2 = A2L2 = A2v2t.
[irp]
De continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare vloeistoffen
In onsamendrukbare vloeistoffen is de vloeistofdichtheid overal gelijk. De vloeistofmassa die gedurende een bepaald tijdsinterval door een pijp met een dwarsdoorsnede van A1 (grote pijpdiameter) stroomt, is:
Evenzo is de massa vloeistof die gedurende een bepaald tijdsinterval door een pijp stroomt met een dwarsdoorsnede van A2 ( kleine pijpdiameter):
Bij een constante stroom is de massa van de instromende vloeistof gelijk aan de massa van de uitstromende vloeistof, dus:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
A 1 v 1 = A 2 v 2
De continuïteitsvergelijking voor onsamendrukbare vloeistoffen luidt dus als volgt:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Vergelijking 1
A 1 = dwarsdoorsnedeoppervlak 1, A 2 = dwarsdoorsnedeoppervlak 2, v 1 = stroomsnelheid van de vloeistof in doorsnede 1, v 2 = stroomsnelheid van de vloeistof in doorsnede 2, A v = volumestroom (V / t) = debiet.
Vergelijking 1 laat zien dat de doorstroming op elk punt langs de pijp of stroombuis altijd gelijk is. Wanneer de dwarsdoorsnede van de pijp afneemt, neemt de vloeistofstroom toe, terwijl wanneer de dwarsdoorsnede van de pijp toeneemt, de vloeistofstroom afneemt.
[irp]
Wanneer een deel van de kraanopening is afgesloten, wordt de waterstroom krachtiger dan wanneer een deel van de kraanopening open is. Dat komt doordat de dwarsdoorsnede van de kraan kleiner wordt wanneer een deel van de kraanopening is afgesloten, waardoor de waterstroom toeneemt. Het is echter belangrijk om te weten dat de stroomsnelheid, oftewel de afvoer van vloeistoffen, op elk punt langs de waterstroom hetzelfde blijft, ongeacht of een deel van de kraanopening is afgesloten of niet. Dus wat verandert er dan aan de stroomsnelheid van de vloeistof?
En hoe zit het dan met de waterstroom in de rivier? Het diepe gedeelte van de rivier heeft een grotere dwarsdoorsnede dan het ondiepe gedeelte, waardoor de stroomsnelheid in het diepe gedeelte lager is dan in het ondiepe gedeelte.
De continuïteitsvergelijking voor samendrukbare vloeistoffen
Voor gecomprimeerde vloeistof is de dichtheid niet altijd gelijk. Met andere woorden, de dichtheid van de vloeistof verandert wanneer deze wordt samengedrukt. Als de vloeistof niet wordt samengedrukt, wordt de dichtheid uit de vergelijking verwijderd; in dit geval wordt de dichtheid van de vloeistof dus in de vergelijking opgenomen. Laten we, verwijzend naar de eerder afgeleide vergelijking, de vergelijking voor de gecomprimeerde vloeistof afleiden.
De massa van de vloeistof die binnenkomt is gelijk aan de massa van de vloeistof die eruit gaat, dus:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
Het tijdsinterval van de vloeistofstroom is gelijk, dus kan het worden weggelaten. De vergelijkingen veranderen in:
ρ EEN 1 v 1 = ρ EEN 2 v 2 → Vergelijking 2
Dit is de vergelijking voor een gecomprimeerde vloeistof. Het verschil zit hem in de dichtheid van de vloeistof. Als de vloeistof wordt gecomprimeerd, verandert de dichtheid. Omgekeerd, als de vloeistof niet wordt gecomprimeerd, blijft de dichtheid altijd hetzelfde en kan deze dus uit de vergelijking worden weggelaten.
Voorbeeldopgave 1:
Water stroomt met een snelheid van 2 m/s door een pijp met een diameter van 10 cm. Wat is het debiet van het water?
Bekend:
Pijpdiameter = 10 cm
Straal van de pijp (r) = 5 cm = 0.05 m
Snelheid van het water (v) = 2 m/s
Gezocht: Debit
oplossing:
Q = A v
Q = ( π r 2 ) (2 m/s)
Q = (3.14)(0.05 m) 2 (2 m/s)
Q = (3.14)(0.0025 m² ) (2 m/s)
Q = 0.0157 m³ / s
[irp]
Voorbeeldopgave 2:
Een pijp met een diameter van 20 cm is verbonden met een andere pijp met een diameter van 10 cm. Als de snelheid van het water in de pijp met een diameter van 20 cm 4 m/s is, wat is dan de snelheid van het water in de pijp met een diameter van 10 cm?
Bekend:
Diameter 1 = 20 cm (r 1 = 10 cm = 0.1 m)
v 1 = 4 m/s
Diameter 2 = 10 cm (r 2 = 5 cm = 0.05 m)
Gezocht: v 1
Antwoord :
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) (4 m/s) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 m) 2 (4 m/s) = (0.05 m) 2 (v 2 )
(0.01 m² ) (4 m/s) = (0.0025 m² ) ( v² )
(0.04 m³ / s) = (0.0025 m² ) ( v² )
v 2 = 16 m/s
[irp]
