Artikel over het principe van Bernoulli en de vergelijking van Bernoulli.
Als we motorrijden, zwelt onze kleding naar achteren op. Soms, als het hard waait, kan de deur vanzelf dichtvallen. Terwijl de wind buiten waait en de deur zich binnen bevindt.
Dit kan worden verklaard met behulp van het principe van Bernoulli. Daniel Bernoulli (1700-1782) ontdekte een principe dat gebruikt kon worden om het bovenstaande fenomeen te verklaren.
Het principe van Bernoulli
Het principe van Bernoulli stelt dat waar de stroomsnelheid van een vloeistof hoog is, de druk van de vloeistof laag is. Omgekeerd geldt dat als de stroomsnelheid van een vloeistof laag is, de druk van de vloeistof hoog is. Wanneer een motor snel rijdt, is de luchtsnelheid aan de voor- en zijkant van je lichaam hoog. Daardoor is de luchtdruk laag. De achterkant van je lichaam wordt afgeschermd door de voorkant, waardoor de luchtsnelheid aan de achterkant van je lichaam niet hoog wordt. Als gevolg hiervan is de luchtdruk aan de achterkant van je lichaam hoger. Door dit verschil in luchtdruk, waarbij de luchtdruk aan de achterkant hoger is dan aan de zijkant, wordt je shirt naar achteren geduwd, waardoor je kleding aan de achterkant opgeblazen lijkt.
En hoe zit het met een huisdeur die vanzelf dichtgaat als het buiten waait? De lucht buiten beweegt sneller dan de lucht binnen. Daardoor is de luchtdruk buiten lager dan de luchtdruk binnen. Omdat er een drukverschil is, wordt de deur naar buiten geduwd, waar de luchtdruk binnen hoger is. Met andere woorden, het deurblad beweegt van een plek met hoge luchtdruk naar een plek met lage luchtdruk.
De vergelijking van Bernoulli
Eerder hebben we kennisgemaakt met het principe van Bernoulli. Bernoulli heeft dit principe ook kwantitatief ontwikkeld. Om de vergelijking van Bernoulli af te leiden, gaan we ervan uit dat de vloeistofstroom stationair en laminair is, niet samengeperst, en dat de viscositeit minimaal is en dus verwaarloosbaar.
In de bespreking van de continuïteitsvergelijking hebben we geleerd dat de vloeistofstroom ook kan variëren afhankelijk van het stroomoppervlak van de buis. Op basis van het hierboven beschreven principe van Bernoulli kan de vloeistofdruk ook variëren afhankelijk van de stroomsnelheid van de vloeistof. De vloeistofdruk kan ook variëren afhankelijk van de hoogte van de vloeistof. Het verband tussen druk, stroomsnelheid en stroomhoogte kan worden afgeleid uit de vergelijking van Bernoulli.
De vergelijking van Bernoulli is cruciaal omdat deze kan worden gebruikt voor de analyse van vliegtuigvluchten, waterkrachtcentrales, leidingsystemen, enzovoort. Om de vergelijking van Bernoulli af te leiden, gaan we er in het algemeen van uit dat de vloeistof door een buis stroomt met een niet-gelijkmatige dwarsdoorsnede en een verschillende hoogte. Om de vergelijking van Bernoulli af te leiden, passen we de stelling van arbeid en energie toe op de vloeistof in de buis.
De ondoorzichtige kleur in de stroombuis in de onderstaande afbeelding geeft de vloeistofstroom aan, terwijl de witte kleur de afwezigheid van vloeistof weergeeft.
De vloeistof in doorsnede 1 (linkerzijde) stroomt over een afstand van L1 en dwingt de vloeistof in doorsnede 2 (rechterzijde) om over een afstand van L2 te bewegen . Omdat doorsnede 2 aan de rechterkant kleiner is, is de stroomsnelheid van de vloeistof aan de rechterkant van de buis groter (denk aan de continuïteitsvergelijking). Dit veroorzaakt een drukverschil tussen doorsnede 2 (de rechterkant van de buis) en doorsnede 1 (de linkerkant van de buis) – denk aan de wet van Bernoulli. De vloeistof links van doorsnede 1 oefent druk (P1 ) uit op de vloeistof rechts en verricht arbeid.
Dan kan de W1- vergelijking als volgt worden geschreven:
W 1 = p 1 A 1 L 1
In sectie 2 (de rechterkant van de stroombuis) is de arbeid die op de vloeistof wordt verricht:
W 2 = − p 2 A 2 L 2
Een minteken geeft aan dat de uitgeoefende kracht tegengesteld is aan de bewegingsrichting. De vloeistof verricht dus arbeid rechts van de doorsnede 2. Bovendien verricht de zwaartekracht arbeid op de vloeistof. In het bovenstaande geval wordt een deel van de vloeistofmassa overgebracht van doorsnede 1 tot aan L1 naar doorsnede 2 tot aan L2 , waarbij het volume van de vloeistof in doorsnede 1 (A1L1) gelijk is aan het volume van de vloeistof in doorsnede 2 (A2L2 ) . De arbeid verricht door de zwaartekracht is:
W 3 = − mg (h 2 − h 1 )
W 3 = − mgh 2 + mgh 1 )
W 3 = mgh 1 − mgh 2
Het negatieve teken wordt veroorzaakt doordat de vloeistof naar boven stroomt, in tegenstelling tot de richting van de zwaartekracht. De netto arbeid die op de vloeistof wordt verricht is dus:
W = W 1 + W 2 + W 3
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
De arbeid-energie-stelling stelt dat de netto arbeid die op een systeem wordt verricht gelijk is aan de verandering in kinetische energie. We kunnen arbeid (W) dus vervangen door de verandering in kinetische energie (EK 2 – EK 1 ).
De bovenstaande vergelijking kan als volgt worden herschreven:
W = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
EK2 - EK1 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
1⁄2 mv22 – 1⁄2 mv12 = P1 A1 L1 - P2 A2 L2 + mgh1 - mgh2
De vloeistofmassa die tot L stroomt1 in dwarsdoorsnede A1 = de massa vloeistof die tot L stroomt2 (dwarsdoorsnede A)2). De massa van de vloeistof, zeg m, heeft een volume van A.1 L1 en een2 L2 waar A1 L1 = A2 L2 (L2 is langer dan L1).
Nu vervangen we m in de bovenstaande vergelijking door m = ρ AL:
Dit is de vergelijking van Bernoulli. De vergelijking van Bernoulli is afgeleid op basis van het principe van arbeid en energie, en is dus een vorm van behoud van energie.
P = druk, ρ = dichtheid, v = snelheid van de vloeistof, g = zwaartekrachtversnelling, h = hoogte van de pijp boven de grond.
De linker- en rechtersegmenten van de bovenstaande vergelijking van Bernoulli kunnen verwijzen naar twee willekeurige punten langs de stromingsbuis, zodat we de bovenstaande vergelijking als volgt kunnen herschrijven:
Laten we nu de vergelijking van Bernoulli eens bekijken voor een aantal gevallen.
De vergelijking van Bernoulli in statische vloeistoffen
Het speciale geval van de vergelijking van Bernoulli betreft een statische vloeistof, waarbij de vloeistof geen snelheid heeft. Dus v 1 = v 2 = 0. In het geval van een statische vloeistof kunnen we de vergelijking van Bernoulli als volgt formuleren:
Als h 2 – h 1 = h, kan deze vergelijking als volgt worden geschreven:
p 1 − p 2 = ρ g (h 2 − h 1 )
p 1 − p 2 = ρ gh
De vergelijking van Bernoulli voor pijpen met dezelfde hoogte.
Als de hoogte van de pijp gelijk blijft, verandert de vergelijking van Bernoulli in:
