Artikel over de toepassingen van het principe van Bernoulli en de vergelijking van Bernoulli.
De stelling van Torricelli
Een van de toepassingen van de vergelijking van Bernoulli is het berekenen van de snelheid waarmee een vloeistof uit de bodem van een container stroomt (zie afbeelding).
We passen de vergelijking van Bernoulli toe op punt 1 (oppervlak van de container) en punt 2 (oppervlak van het gat). Omdat de diameter van het gat in de bodem van de container veel kleiner is dan de diameter van de container, wordt de snelheid van de vloeistof aan het oppervlak van de container als nul beschouwd (v 1 = 0). Het oppervlak van de container en het oppervlak van het gat zijn open, waardoor de druk gelijk is aan de atmosferische druk (P 1 = P 2 ). De vergelijking van Bernoulli voor dit geval is dus:
Als we de snelheid van de vloeistofstroom in het gat onderin de container willen berekenen, dan wordt deze vergelijking als volgt aangepast:
De dichtheid van de vloeistof is overal gelijk, waardoor ρ vervalt.
Op basis van deze vergelijking is de snelheid van de waterstroom in een gat dat vanaf het oppervlak van de container is gemaakt gelijk aan
De snelheid waarmee water dat in vrije val een afstand van h aflegt, wordt gemeten (vergelijk met de vrije valbeweging). Dit staat bekend als de stelling van Torricelli. Deze stelling werd ontdekt door Torricelli, een leerling van Galileo, een eeuw voordat Bernoulli de vergelijking ontdekte.
Venturi-effect
Naast de stelling van Torricelli kan de vergelijking van Bernoulli ook worden toegepast op andere speciale gevallen, namelijk wanneer de vloeistof door een pijpsectie stroomt die vrijwel overal dezelfde hoogte heeft. Om deze uitleg te begrijpen, bekijk de onderstaande afbeelding.
In de bovenstaande afbeelding lijkt het erop dat de hoogte van de buis, zowel het deel van de buis met een grote dwarsdoorsnede als
Het gedeelte van de pijp met een kleine doorsnede is vrijwel gelijk, waardoor de hoogte gelijk is. Indien toegepast in dit geval, verandert de vergelijking van Bernoulli in:
Wanneer de vloeistof door een klein gedeelte van de pijp (A2) stroomt , neemt de stroomsnelheid toe. Volgens het principe van Bernoulli neemt de vloeistofdruk af als de snelheid van de vloeistof toeneemt. De druk van de vloeistof in het smalle gedeelte van de pijp is lager, maar de stroomsnelheid is hoger.
Dit staat bekend als het Venturi-effect en laat kwantitatief zien dat als de vloeistofstroom hoog is, de vloeistofdruk laag wordt. Omgekeerd geldt dat als de vloeistofstroom laag is, de vloeistofdruk hoog wordt.
Venturi-meter
Een interessante toepassing van het venturi-effect is een venturimeter. Dit instrument wordt gebruikt om de stroomsnelheid van een vloeistof te meten, bijvoorbeeld om de stroomsnelheid van water of olie door een pijp te berekenen. Er zijn twee soorten venturimeters: venturimeters zonder manometer en venturimeters die een manometer gebruiken die andere vloeistoffen bevat, zoals kwik. Het werkingsprincipe is hetzelfde.
Venturi-meter zonder manometer
De afbeelding hieronder toont een venturimeter die wordt gebruikt om de stroomsnelheid van een vloeistof in een pijp te meten.
Wanneer de vloeistof door een klein gedeelte van de pijp stroomt (A2 ) , neemt de vloeistofsnelheid toe. Volgens het principe van Bernoulli neemt de druk van de vloeistof af als de vloeistofsnelheid toeneemt. De druk van de vloeistof in een groot gedeelte is dus groter dan de druk van de vloeistof in een klein gedeelte (P1 > P2 ) . In plaats daarvan geldt v2 > v1.
Omdat P 1 > P 2 en v 2 > v 1 , kan deze vergelijking worden gewijzigd in:
Vergelijking 1.
De continuïteitsvergelijking:
Vergelijking 2.
Wat gezocht wordt, is het debiet van de vloeistof in een grote dwarsdoorsnede (v 1 ). We vervangen v 2 in vergelijking 1 door v 2 in vergelijking 2.
Vergelijking 3.
Om de vloeistofdruk op een bepaalde diepte te berekenen, gebruikt u de volgende vergelijking:
p = ρ gh → Vergelijking a
Als het verschil in vloeistofdichtheid minimaal is, gebruik dan deze vergelijking om het drukverschil op verschillende hoogtes te bepalen. De vergelijking a kan dus worden gewijzigd in:
Δp = ρg Δh
In het bovenstaande geval kan deze vergelijking als volgt worden gewijzigd:
p 1 − p 2 = ρ gh → Vergelijking b
Nu vervangen we p 1 – p 2 in vergelijking 3 door p 1 – p 2 in vergelijking b:
Omdat de vloeistof hetzelfde is, is de dichtheid ook hetzelfde. Elimineer ρ uit de vergelijking.
Pitot buizen
Als de venturimeter wordt gebruikt om de stroomsnelheid van een vloeistof te meten, wordt de pitotbuis gebruikt om de stroomsnelheid van gas of lucht te meten. Het gat bij punt 1 is parallel aan de luchtstroom. De positie van deze twee gaten is voldoende ver van het uiteinde van de pitotbuis geplaatst, zodat de stroomsnelheid en de druk van de lucht buiten het gat gelijk zijn aan de stroomsnelheid en de druk van vrij stromende lucht. In dit geval is v1 = de stroomsnelheid van vrij stromende lucht (dit is wat we gaan meten) en de druk op de linkervoet van de manometer (linkerbuis) = druk van vrij stromende lucht (P)1).
Het gat dat naar de rechtervoet van de manometer leidt, staat loodrecht op de luchtstroom. Daardoor neemt de luchtstroom door dit gat (het midden) af en stopt de luchtstroom bij punt 2. In dit geval is v₂ = 0. De druk op de rechtervoet van de manometer is gelijk aan de luchtdruk bij punt 2 (P₂ ) . Het hoogteverschil tussen punt 1 en punt 2 is vrijwel gelijk (het verschil is niet erg groot), dus dat kan worden verwaarloosd.
Het drukverschil (P₂ – P₁ ) is gelijk aan de hydrostatische druk van de vloeistof in de manometer (de zwarte kleur in de manometer is vloeistof, kwik). Mathematisch kan dit als volgt worden weergegeven:
p 2 – p 1 = ρ 'gh → Vergelijking 2
ρ' = dichtheid van de vloeistof in een manometer
Vergelijking 1 en vergelijking 2. Het linkersegment is hetzelfde (P 2 – P 1 ). Daarom kunnen vergelijkingen 1 en 2 worden gewijzigd in:
Drink met een pipet.
Heb je wel eens met een pipet gedronken? Wanneer we water opzuigen met een pipet, zorgen we ervoor dat de lucht in de pipet sneller beweegt. In dit geval heeft de lucht in het gedeelte van de pipet bij onze mond een hogere snelheid. Daardoor wordt de luchtdruk in het pipetgedeelte lager. De lucht in het gedeelte van de pipet dicht bij de drank heeft een lagere snelheid. Omdat de snelheid laag is, is de druk hoger. Dit verschil in luchtdruk zorgt ervoor dat het water dat we drinken in onze mond stroomt. In dit geval beweegt de vloeistof van het gedeelte van de pipet waar de luchtdruk hoog is naar het gedeelte waar de luchtdruk laag is.
Schoorsteen
Heb je wel eens een schoorsteen gezien? Waarom kan rook door een schoorsteen omhoog stijgen? Ten eerste heeft de rook die bij verbranding vrijkomt een hoge temperatuur. Door die hoge temperatuur is de luchtdichtheid laag. Lucht met een lage dichtheid kan gemakkelijk omhoog zweven of stijgen. Maar dat is niet de enige reden. Ook het principe van Bernoulli speelt een rol.
Ten tweede stelt het principe van Bernoulli dat als de luchtstroom hoog is, de druk laag wordt, en omgekeerd, als de luchtstroom laag is, de druk hoog wordt. De bovenkant van de schoorsteen bevindt zich buiten. Er waait een wind langs de bovenkant van de schoorsteen, waardoor de luchtdruk eromheen lager is. In een gesloten ruimte waait geen wind, waardoor de luchtdruk hoger is. Daarom ontsnapte de rook via de schoorsteen. De lucht beweegt van een plek met hoge luchtdruk naar een plek met lage luchtdruk.
Rattenhol in de grond
Let op de onderstaande afbeelding. Dit is een afbeelding van een muizenhol in de grond. Muizen kennen ook het principe van Bernoulli. Muizen willen liever niet sterven door kortademigheid, dus maken ze twee holen op verschillende hoogtes. Door het hoogteverschil in de grond botst de lucht tegen de andere lucht. Het is alsof water door een buis met een grote diameter stroomt naar een buis met een kleine diameter. Daardoor neemt de luchtsnelheid toe en de luchtdruk af.
Omdat er een verschil in luchtdruk is, wordt de lucht door het muizenholletje geperst. Lucht stroomt van een plek met hoge luchtdruk naar een plek met lage luchtdruk.
Vliegtuigvleugels en dynamische lift
Een van de factoren die ervoor zorgen dat vliegtuigen kunnen vliegen, zijn de vleugels. De vorm van een vleugel is gebogen en de voorkant is dikker dan de achterkant. Deze vleugelvorm wordt een aerofoil genoemd. Dit idee is afgeleid van de vleugels van vogels. De vorm van vogelvleugels is ook vergelijkbaar (de vleugels van vogels zijn gebogen en de voorkant is dikker). Het verschil is dat de vleugels van vogels kunnen flapperen, terwijl de vleugels van vliegtuigen dat niet kunnen. Vogels kunnen vliegen doordat ze met hun vleugels flapperen, waardoor er lucht langs beide kanten van de vleugel stroomt. Om lucht langs beide kanten van de vliegtuigvleugel te laten stromen, moet het vliegtuig vooruit bewegen. Mensen gebruiken machines om vliegtuigen te bewegen.
De voorkant van de vleugel is zo ontworpen dat deze naar boven buigt. De lucht die van onderen stroomt, botst met de lucht erboven. Het is vergelijkbaar met water dat van een buis met een grote doorsnede naar een buis met een kleine doorsnede stroomt. Hierdoor neemt de luchtstroom boven de vleugel toe, omdat de luchtdruk afneemt naarmate de luchtstroom toeneemt. Omgekeerd is de luchtstroom onder de vleugel lager, omdat de lucht daar niet botst (de luchtdruk is groter). Dit drukverschil zorgt ervoor dat de vleugel van het vliegtuig lift genereert.
Het principe van Bernoulli is slechts één van de factoren. Een andere oorzaak is impuls. Meestal is de vleugel van een vliegtuig iets naar boven gekanteld. De lucht die de onderkant van de vleugel raakt, wordt naar beneden afgebogen. Omdat het vliegtuig twee vleugels heeft, links en rechts, botst de naar beneden afgebogen lucht met elkaar. Veranderingen in de moleculaire impuls van de botsende lucht zorgen voor extra lift.
Omdat de vorm van de vleugel naar beneden buigt richting de staart, wordt de lucht door de vleugel gedwongen om weer naar beneden te stromen. Volgens de derde wet van Newton is er, omdat er een actiekracht is, ook een reactiekracht. Omdat de vleugels de lucht naar beneden duwen, moet de lucht de vleugels omhoog duwen. In dit geval zorgt de lucht voor de liftkracht op de vleugel. Het is dus niet alleen het principe van Bernoulli dat ervoor zorgt dat het vliegtuig opstijgt.
