घुमाउरो सतहहरूमा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षण - समस्या र समाधानहरू

घुमाउरो सतहहरूमा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षण - समस्या र समाधानहरू

१. यदि बिन्दु A मा बलको गति ६ m/s छ भने, बिन्दु B मा बलको गति √९२ m/s छ, र गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग g = १० m/s छ ^। बिन्दु B (h) को उचाइ कति छ?

ज्ञात:

बिन्दु A (v) मा बलको गति_A) = ५० मिटर/सेकेन्ड

_{बिन्दु B (v B} ) मा बलको गति = √92 m/s

गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० m/s ^२

_{A (h A} ) को उचाइ = 5.6 मिटर

_{B (h B} ) को उचाइ = h

चाहिएको: बिन्दु B (h) को उचाइ

समाधान:

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा

बिन्दु A मा, बलको गति = ० हुन्छ, त्यसैले बलको गतिज ऊर्जा = ० हुन्छ। KE = १/२ mv ^२ = १/२ m (०) = ०।

५.६ मिटर उचाइमा रहेको बलमा गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा हुन्छ। गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा : PE = mgh = m (१०)(५.६) = ५६ मिटर

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = ५६ मिटर + ० = ५६ मिटर

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

बिन्दु B मा, बलको उचाइ h छ। गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा: PE = mgh = m (10) h = 10 mh

बलको गतिज ऊर्जा: KE = १/२ mv ^२ = १/२ m (√९२) ^२ = १/२ m (९२) = ४६ m

अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा = गुरुत्वाकर्षण सम्भाव्य ऊर्जा + गतिज ऊर्जा = १० mh + ४६ m = m (१० h + ४६)

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षणको सिद्धान्त:

प्रारम्भिक यान्त्रिक ऊर्जा = अन्तिम यान्त्रिक ऊर्जा

५६ मि = मि (१० घण्टा + ४६)

५६ = १० घन्टा + ४६

५६ – ४६ = १० घण्टा

९०० = १९.६ घन्टा

घ = १००/२०

h = ४५.९ मिटर

2.

यदि प्रारम्भिक वेग = ०, गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग = १० m/s ^२ , भने B को उचाइमा गति कति हुन्छ?

ज्ञात:

सुरुवाती गति (v _o ) = ०

सुरुवाती उचाइ (h _o ) = ५० मिटर – १० मिटर = ४० मिटर

अन्तिम उचाइ (h _t ) = ०

गुरुत्वाकर्षणको कारणले हुने प्रवेग (g) = १० मिलिसेकेन्ड ^-२

चाहिएको: अन्तिम गति (v _t )

समाधान:

गतिज ऊर्जाको परिवर्तन:

ΔKE = 1/2 m (v _t ² – v _o ² ) = 1/2 m (v _t ² – 0) = 1/2 mv _t ²

सम्भावित ऊर्जाको परिवर्तन:

ΔPE = mg (h _t – h _o ) = m (10)(0-40) = m (10)(-40) = – 400 m

यान्त्रिक ऊर्जा संरक्षण सिद्धान्तको समीकरण प्रयोग गरेर अन्तिम गति (v _t ) गणना गर्नुहोस् :

० = ΔKE + ΔPE

० = १/२ mv _t ^२ – ४०० मिटर

१/२ mv _t ^२ = ४०० मिटर

१/२ बनाम _t ^२ = ४००

v _t ^२ = २(४००)

v _t = √(१६)(२)

v _t = ४√२ मिटर/सेकेन्ड

1. "यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षण" भन्नाले के बुझिन्छ?
   • उत्तर: यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षण भनेको पृथक प्रणालीको कुल यान्त्रिक ऊर्जा (गतिज र सम्भाव्य ऊर्जाको योग) स्थिर रहन्छ यदि गुरुत्वाकर्षण जस्ता रूढिवादी बलहरूले मात्र त्यसमा कार्य गर्छन्।
2. घुमाउरो सतहमा चल्ने वस्तु (जस्तै घुमाउरो र्‍याम्पबाट बल गुडिरहेको) ले आफ्नो यान्त्रिक ऊर्जा कसरी बचत गर्छ?
   • उत्तर: वस्तु घुमाउरो सतहबाट तल सर्दै जाँदा, सम्भाव्य ऊर्जा गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण हुन्छ, तर कुल यान्त्रिक ऊर्जा स्थिर रहन्छ, मानौं कुनै पनि गैर-रूढीवादी बलहरू (जस्तै घर्षण) ले काम गरिरहेको छैन।
3. यदि कुनै बल घुमाउरो र्‍याम्पको माथिबाट आरामबाट मुक्त हुन्छ भने, र्‍याम्पबाट तल सर्दा यसको गतिज ऊर्जा कसरी परिवर्तन हुन्छ?
   • उत्तर: बलको गतिज ऊर्जा र्‍याम्पबाट तल सर्दै जाँदा बढ्छ किनभने यसको सम्भावित ऊर्जा घट्छ र गतिज ऊर्जामा परिणत हुन्छ।
4. घर्षणको अभावमा, घुमाउरो स्लाइडको तल रहेको बलको गति उही उचाइको सीधा स्लाइडसँग कसरी तुलना हुनेछ?
   • उत्तर: तलको बलको गति घुमाउरो र सीधा स्लाइड दुवैको लागि समान हुनेछ किनभने सम्भाव्य ऊर्जाको गतिज ऊर्जामा रूपान्तरण केवल ठाडो उचाइमा निर्भर गर्दछ, लिइएको बाटोमा होइन।
5. निश्चित उचाइबाट ओर्लेपछि घुमाउरो र्‍याम्पमा बेर्दा बल किन यसको मूल उचाइमा पुग्न सक्दैन?
   • उत्तर: यदि बलमा घर्षण जस्ता गैर-रूढीवादी बलहरू छन् भने, तिनीहरूले गति विरुद्ध काम गर्नेछन्, बलको केही यान्त्रिक ऊर्जालाई ताप जस्ता अन्य रूपहरूमा रूपान्तरण गर्नेछन्। फलस्वरूप, बलमा यसको मूल उचाइमा पुग्न पर्याप्त ऊर्जा नहुन सक्छ।
6. यदि दुई फरक आकारका वस्तुहरू (जस्तै, गोलाकार र घन) एउटै उचाइबाट घुमाउरो र्‍याम्पमा नगई तल सर्छन् भने, के तिनीहरूको तलको गति उस्तै हुनेछ? किन?
   • उत्तर: हो, तिनीहरूको तलतिर उस्तै गति हुनेछ। कुनै घुमाउरो र घर्षण नभएको मान्दै, तिनीहरूको गति निर्धारण गर्ने एक मात्र कारक भनेको तिनीहरूको आकार होइन, प्रारम्भिक उचाइमा आधारित ऊर्जाको संरक्षण हो।
7. सतहको वक्रताले त्यससँगै चल्ने वस्तुमा लाग्ने सामान्य बललाई कसरी असर गर्छ?
   • उत्तर: वक्रताले वस्तु सर्दा सामान्य बलको दिशा परिवर्तन हुन्छ। अवतल माथितिरको सतहमा (कचौराको भित्री भाग जस्तै), वक्र गतिको लागि आवश्यक केन्द्रापसारक बलको कारणले गर्दा तल्लो भागमा सामान्य बल बढी हुन्छ। यसको विपरीत, उत्तल सतहमा, सामान्य बल सबैभन्दा माथिल्लो बिन्दुमा घट्न वा शून्य पनि हुन सक्छ (वस्तु सतह छोड्छ)।
8. घुमाउरो सतहमा यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणमा वक्रताको त्रिज्याले कस्तो भूमिका खेल्छ?
   • उत्तर: वक्रताको त्रिज्याले यान्त्रिक ऊर्जाको संरक्षणलाई प्रत्यक्ष रूपमा असर गर्दैन। यद्यपि, यसले सामान्य बललाई र यदि घर्षण छ भने, गैर-रूढिवादी बलहरूमा हराएको ऊर्जाको मात्रालाई असर गर्न सक्छ।
9. यदि ट्र्याकको बीचमा डिप छ (जस्तै U-आकारको वक्र), डिपबाट अर्को छेउमा माथि सर्दा वस्तुको यान्त्रिक ऊर्जा कसरी फरक हुन्छ?
   • उत्तर: वस्तु डिपमा सर्दा यसको सम्भाव्य ऊर्जा घट्दै जान्छ र यसको गतिज ऊर्जा बढ्दै जान्छ। यो अर्को तर्फ माथि सर्दा, यसको गतिज ऊर्जा घट्दै जान्छ, र यसको सम्भाव्य ऊर्जा बढ्दै जान्छ। यदि केवल रूढिवादी बलहरूले कार्य गरेमा, गतिभरि कुल यान्त्रिक ऊर्जा स्थिर रहन्छ।
10. के कुनै वस्तु घुमाउरो सतहमा सर्दा अनुवादात्मक र घूर्णनात्मक दुवै गतिज ऊर्जा हुन सक्छ?

• उत्तर: हो, यदि बल जस्तो वस्तु घुमाउरो सतहमा (चिप्लो बिना) घुम्छ भने, यसको द्रव्यमान केन्द्रको गतिको कारणले गर्दा अनुवादात्मक गतिज ऊर्जा र यसको अक्षको वरिपरि परिक्रमा गर्ने कारणले गर्दा घूर्णन गतिज ऊर्जा हुनेछ।