द्विपद वितरणको अपेक्षित मान

द्विपद वितरणको अपेक्षित मान

द्विपद वितरण तथ्याङ्क र सम्भाव्यतामा सबैभन्दा सामान्य रूपमा सामना गरिने असक्रिय सम्भाव्यता वितरणहरू मध्ये एक हो। यो वितरणले स्वतन्त्र बाइनरी परीक्षणहरूको श्रृंखलामा सफलताहरूको संख्या वर्णन गर्दछ (केवल दुई परिणामहरू भएका परीक्षणहरू: सफलता वा असफलता)। द्विपद वितरणलाई राम्रोसँग बुझ्नको लागि, अपेक्षित मानको अवधारणा बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ, जसले लामो अवधिमा दोहोरिएको परीक्षणको औसत मान वर्णन गर्दछ। यस लेखले द्विपद वितरणको सन्दर्भमा अपेक्षित मानको अवधारणाको समीक्षा गर्नेछ।

द्विपद वितरणको परिभाषा

द्विपद वितरण त्यस्ता सन्दर्भहरूमा उत्पन्न हुन्छ जहाँ हामी धेरै समान र स्वतन्त्र परीक्षणहरू गर्छौं, र प्रत्येक परीक्षणमा दुई पारस्परिक रूपमा विशेष परिणामहरू हुन्छन्, जसलाई सामान्यतया "सफलता" र "असफलता" भनिन्छ। उदाहरणका लागि, सिक्का पल्टाउने (टाउको वा पुच्छर), परीक्षा प्रश्नको उत्तर दिने (सत्य वा गलत), वा चिकित्सा परीक्षण (निको भएको वा नभएको)।

द्विपद वितरण दुई प्यारामिटरहरू द्वारा परिभाषित गरिएको छ:
– n , परीक्षणहरूको संख्या।
– p , प्रत्येक परीक्षणमा सफलताको सम्भावना।

मोटामोटी रूपमा भन्नुपर्दा, यदि X n परीक्षणहरूमा सफलताहरूको संख्या प्रतिनिधित्व गर्ने अनियमित चर हो भने, X ले n र p प्यारामिटरहरू भएको द्विपद वितरणलाई पछ्याउँछ, जसलाई X ~ द्विपद(n, p) को रूपमा जनाइएको छ।

सम्भाव्यता प्रकार्य

द्विपद वितरणको सम्भाव्यता प्रकार्य निम्नानुसार छ:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
कहाँ:
– \( \binom{n}{k} \) द्विपद गुणांक हो, जुन \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) को रूपमा गणना गरिन्छ।
– \( k \) सफलताहरूको इच्छित संख्या हो।
– \( n \) परीक्षणहरूको संख्या हो।
– \( p \) प्रत्येक परीक्षणमा सफलताको सम्भाव्यता हो।
– \( (1-p) \) भनेको प्रत्येक परीक्षणमा असफलताको सम्भावना हो।

अपेक्षित मान

सम्भाव्यता वितरणको अपेक्षित मान वा औसत केन्द्रीय स्थानको सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण मापनहरू मध्ये एक हो। द्विपद वितरणको लागि, द्विपद(n, p) पछि आउने अनियमित चर X को अपेक्षित मान हो:
\[ ई(एक्स) = एनपी \]

अपेक्षित मूल्यको प्रमाण

द्विपद वितरणको अपेक्षित मान किन np हो भनेर बुझ्नको लागि, हामी अपेक्षित मानको रेखीयता गुण प्रयोग गर्न सक्छौं र बाइनरी चरहरूले आफ्नो योगदानमा कसरी थप्छन् भनेर हेर्न सक्छौं।

\( X \) लाई n बाइनरी परीक्षणहरूमा सफलताहरूको संख्याको रूपमा परिभाषित गरौं। अझ स्पष्ट रूपमा, \( X_i \) लाई i-th परीक्षणको परिणाम जनाउने एक अनियमित चर मानौं, यदि i-th परीक्षण सफल छ भने \( X_i = 1 \) र यदि यो असफल छ भने \( X_i = 0 \)। त्यसपछि, हामी \( X \) लाई यस रूपमा लेख्न सक्छौं:
\[ X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]

प्रत्येक \( X_i \) सफलता p को सम्भावना भएको बाइनरी चर भएकोले, \( X_i \) को अपेक्षित मान हो:
\[ E(X_i) = १ \cdot p + ० \cdot (१-p) = p \]

हामी X को अपेक्षित मानको लागि अपेक्षित मानको रेखीयता गुण प्रयोग गर्न सक्छौं:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \ldots + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ ई(एक्स) = एनपी \]

यसले द्विपद वितरणको अपेक्षित मान np हो भनेर देखाउँछ।

उदाहरणीय उदाहरण

हामीले एउटा साधारण सिक्का १० पटक पल्टाउने कुरालाई विचार गरौं। हेडमा परिणत हुने फ्लिपहरूको संख्याको अपेक्षित मान कति हुनेछ भनेर सोधौं।

यस अवस्थामा:
– n = १० (सिक्का फ्याँकिएको संख्या)
– p = ०.५ (सिक्का निष्पक्ष भएकोले हेड पाउने सम्भावना)

त्यसैले, अपेक्षित मान यो हो:
\[ E(X) = np = १० \गुणा ०.५ = ५ \]

यसको अर्थ यदि हामीले लामो समयसम्म १० पटक सिक्का पल्टायौं भने, औसतमा हामीले ५ पटक हेड पाउनेछौं।

भिन्नता र मानक विचलन

अपेक्षित मानको अतिरिक्त, द्विपद वितरणको भिन्नता र मानक विचलन बुझ्नु पनि महत्त्वपूर्ण छ।

द्विपद वितरणको लागि, भिन्नता \( \sigma^2 \) र मानक विचलन \( \sigma \) निम्नानुसार छन्:
\[ \सिग्मा^२ = np(१-p) \]
\[ \सिग्मा = \sqrt{np(1-p)} \]

भिन्नताले अपेक्षित मानबाट डेटा कति टाढा फैलिएको छ भनेर मापन गर्छ। मानक विचलन भिन्नताको वर्गमूल हो र डेटाको फैलावट पनि मापन गर्दछ, तर मूल डेटा जस्तै एकाइहरूमा।

केसिम्पुलन

द्विपद वितरण तथ्याङ्क र सम्भाव्यतामा एक आधारभूत अवधारणा हो, जुन व्यवसायदेखि सामाजिक विज्ञान र जीवविज्ञानसम्म विभिन्न वास्तविक-विश्व अनुप्रयोगहरूमा बारम्बार सामना गरिन्छ। np को रूपमा गणना गरिएको द्विपद वितरणको अपेक्षित मानले बाइनरी परीक्षणहरूको श्रृंखलामा सफलताहरूको औसत संख्यामा महत्त्वपूर्ण अन्तर्दृष्टि प्रदान गर्दछ। अपेक्षित मान, भिन्नता, र मानक विचलनको अवधारणाहरू बुझेर, हामी द्विपद वितरणको विशेषताहरू र यसले दैनिक जीवनमा केही घटनाहरूलाई कसरी वर्णन गर्दछ भन्ने बारे स्पष्ट बुझाइ प्राप्त गर्न सक्छौं।

यो ज्ञान डेटा विश्लेषण र तथ्याङ्कमा मात्र नभई सम्भाव्यता र अनिश्चितताको मूल्याङ्कन गर्न आवश्यक पर्ने निर्णय लिने काममा पनि अत्यन्त उपयोगी छ। अपेक्षित मान र द्विपद वितरण बुझ्दा हामीलाई अझ सटीक भविष्यवाणी गर्न र अझ सूचित निर्णय लिन मद्दत गर्न सक्छ।