स्तम्भ भेक्टर र पङ्क्ति भेक्टरहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

स्तम्भ भेक्टर र पङ्क्ति भेक्टरहरूको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

गणितमा, विशेष गरी रेखीय बीजगणितमा, भेक्टरहरू भौतिक विज्ञान मोडेलिङदेखि गणनासम्म विभिन्न अनुप्रयोगहरूमा बारम्बार प्रयोग हुने आधारभूत अवधारणा हो। स्तम्भ भेक्टर र पङ्क्ति भेक्टरहरू भेक्टर प्रतिनिधित्वका दुई रूपहरू हुन्, प्रत्येकको आफ्नै विशेषताहरू र प्रयोगहरू छन्। यस लेखले उदाहरण समस्याहरू र स्तम्भ भेक्टरहरू र पङ्क्ति भेक्टरहरू समावेश गर्ने तिनीहरूको समाधानहरूको बारेमा छलफल गर्नेछ।

स्तम्भ भेक्टर र पङ्क्ति भेक्टरको परिभाषा

उदाहरण प्रश्नहरू र तिनीहरूको छलफलमा प्रवेश गर्नु अघि, पहिले स्तम्भ भेक्टर र पङ्क्ति भेक्टरहरूको आधारभूत परिभाषाहरूको समीक्षा गरौं।

– स्तम्भ भेक्टरहरू स्तम्भमा व्यवस्थित भेक्टरहरू हुन्, अर्थात्, एक ठाडो आयाम। उदाहरण:
\[
\mathbf{v} = \सुरु{pmatrix}
५ \\
५ \\
2
\अन्त{pmatrix}
\]

– पङ्क्ति भेक्टरहरू पङ्क्तिहरूमा व्यवस्थित भेक्टरहरू हुन्, अर्थात्, एउटा तेर्सो आयाममा। उदाहरण:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} ५ र १ र ७ \end{pmatrix}
\]

उदाहरण १: स्तम्भ भेक्टरहरू थप्दै

प्रश्न:
निम्न दुई स्तम्भ भेक्टरहरूलाई दिइएको छ:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
५ \\
५ \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
५ \\
५ \\
0
\अन्त{pmatrix}
\]
दुई स्तम्भ भेक्टरहरूको योगफल गणना गर्नुहोस्।

समाधान:
दुई स्तम्भ भेक्टरहरूको थप तिनीहरूको सम्बन्धित तत्वहरू थपेर गरिन्छ।
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
५ \\
५ \\
3
\अन्त{pmatrix} + \सुरु{pmatrix}
५ \\
५ \\
0
\अन्त{pmatrix} = \सुरु{pmatrix}
२ + १ \\
२ + १ \\
3 + 0
\अन्त{pmatrix} = \सुरु{pmatrix}
५ \\
५ \\
3
\अन्त{pmatrix}
\]
त्यसैले, \(\mathbf{u}\) र \(\mathbf{v}\) को योगफल \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) हुन्छ।

उदाहरण प्रश्न २: पङ्क्ति भेक्टरहरू थप्दै

प्रश्न:
निम्न दुई पङ्क्ति भेक्टरहरूलाई दिइएको छ:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} २ र ४ र ६ \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} १ र ३ र ५ \end{pmatrix}
\]
दुई पङ्क्ति भेक्टरहरूको योगफल गणना गर्नुहोस्।

समाधान:
दुई पङ्क्ति भेक्टरहरूको थप सम्बन्धित तत्वहरू थपेर गरिन्छ।
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} २ र ४ र ६ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} १ र ३ र ५ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} २ + १ र ४ + ३ र ६ + ५ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ३ र ७ र ११ \end{pmatrix}
\]
त्यसैले, \(\mathbf{a}\) र \(\mathbf{b}\) को योगफल \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) हुन्छ।

उदाहरण ३: स्तम्भ भेक्टरहरूद्वारा स्केलर गुणन

प्रश्न:
स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{c}\) र स्केलर \(k\) दिइएको छ:
\[
\mathbf{c} = \सुरु{pmatrix}
-२ \\
५ \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = २
\]
स्केलर गुणनको परिणाम गणना गर्नुहोस्।

समाधान:
स्तम्भ भेक्टरद्वारा स्केलर गुणन भेक्टरको प्रत्येक तत्वलाई स्केलरद्वारा गुणन गरेर गरिन्छ।
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-२ \\
५ \\
5
\अन्त{pmatrix} = \सुरु{pmatrix}
२ \ गुणा -३ \
२ गुणा ४
१५० \ गुणा ४५
\अन्त{pmatrix} = \सुरु{pmatrix}
-२ \\
५ \\
10
\अन्त{pmatrix}
\]
त्यसैले, स्केलर \(2\) लाई स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{c}\) ले गुणन गर्दाको परिणाम \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) हुन्छ।

उदाहरण प्रश्न ४: पङ्क्ति भेक्टरहरूद्वारा स्केलर गुणन

प्रश्न:
पङ्क्ति भेक्टर \(\mathbf{d}\) र स्केलर \(m\) दिइएको छ:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} ७ र -२ र १ \end{pmatrix}, \quad m = -३
\]
स्केलर गुणनको परिणाम गणना गर्नुहोस्।

समाधान:
पङ्क्ति भेक्टरद्वारा स्केलर गुणन भेक्टरको प्रत्येक तत्वलाई स्केलरद्वारा गुणन गरेर गरिन्छ।
\[
m\mathbf{d} = -३ \begin{pmatrix} ७ र -२ र १ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -३ \पटक ७ र -३ \पटक -२ र -३ \पटक १ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -२१ र ६ र -३ \end{pmatrix}
\]
त्यसैले, स्केलर \(-3\) लाई पङ्क्ति भेक्टर \(\mathbf{d}\) ले गुणन गर्दाको परिणाम \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) हुन्छ।

उदाहरण ५: म्याट्रिक्स \(१ \times ३\) लाई \(३ \times १\) ले गुणन (स्तम्भ भेक्टरद्वारा पङ्क्ति भेक्टर)

प्रश्न:
पङ्क्ति भेक्टर दिईयो \(\mathbf{e}\) र स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
५ \\
५ \\
-2
\अन्त{pmatrix}
\]
दुई भेक्टरहरूको गुणनफल गणना गर्नुहोस्।

समाधान:
म्याट्रिक्स गुणन गर्न, पङ्क्ति भेक्टर \(\mathbf{e}\) लाई \(1 \times 3\) म्याट्रिक्सको रूपमा व्यवहार गरिन्छ, र स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{f}\) लाई \(3 \times 1\) म्याट्रिक्सको रूपमा व्यवहार गरिन्छ। यस गुणनको परिणाम एक स्केलर हो, अर्थात् सम्बन्धित तत्वहरूको उत्पादनहरूको योगफल:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
५ \\
५ \\
-2
\end{pmatrix} = (२ \पटक ५) + (-१ \पटक ३) + (४ \पटक -२) = १० – ३ – ८ = -१
\]
त्यसैले, पङ्क्ति भेक्टर \(\mathbf{e}\) लाई स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{f}\) ले गुणन गर्दाको परिणाम \(-1\) हुन्छ।

उदाहरण ६: म्याट्रिक्स \(३ \पटक १\) लाई \(१ \पटक ३\) ले गुणन (स्तम्भ भेक्टर पङ्क्ति भेक्टरद्वारा)

प्रश्न:
स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{g}\) र पङ्क्ति भेक्टर \(\mathbf{h}\) दिइएको छ:
\[
\mathbf{g} = \सुरु{pmatrix}
५ \\
५ \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} ४ र ५ र ६ \end{pmatrix}
\]
दुई भेक्टरहरूको गुणनफल गणना गर्नुहोस्।

समाधान:
स्तम्भ भेक्टरको पङ्क्ति भेक्टरद्वारा गुणन गर्दा (\(3 \times 1\)) म्याट्रिक्सलाई (\(1 \times 3\)) ले गुणन गर्दा उत्पादन हुन्छ जसले \(3 \times 3\) म्याट्रिक्स उत्पादन गर्छ। प्रत्येक नयाँ तत्व यसको सम्बन्धित तत्वहरूको गुणनफल हो:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
५ \\
५ \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} ४ र ५ र ६ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
२ \ गुणा ४ र २ \ गुणा ५ र २ \ गुणा ६ \
२ \ गुणा ४ र २ \ गुणा ५ र २ \ गुणा ६ \
३ \ गुणा ४ र ३ \ गुणा ५ र ३ \ गुणा ६
\अन्त{pmatrix} = \सुरु{pmatrix}
६ र ० र ० \\
६ र ० र ० \\
12 र 15 र 18
\अन्त{pmatrix}
\]
त्यसैले, स्तम्भ भेक्टर \(\mathbf{g}\) लाई पङ्क्ति भेक्टर \(\mathbf{h}\) ले गुणन गर्दाको परिणाम म्याट्रिक्स हो:
\[
\सुरु{pmatrix}
६ र ० र ० \\
६ र ० र ० \\
12 र 15 र 18
\अन्त{pmatrix}
\]

केसिम्पुलन

यस लेखभरि, हामीले स्तम्भ र पङ्क्ति भेक्टरहरू समावेश गर्ने धेरै उदाहरणहरू देखेका छौं। स्तम्भ र पङ्क्ति भेक्टरहरू दुवैको जोड तिनीहरूको सम्बन्धित तत्वहरू थपेर प्राप्त गरिन्छ। भेक्टरद्वारा स्केलर गुणन पनि भेक्टरको प्रत्येक तत्वलाई स्केलरले गुणन गरेर प्राप्त गरिन्छ। अन्तमा, हामीले पङ्क्ति र स्तम्भ भेक्टरहरूलाई कसरी गुणन गर्ने भनेर सिकेका छौं, तिनीहरूको क्रममा निर्भर गर्दै, स्केलर वा म्याट्रिक्स प्राप्त गर्दै। रेखीय बीजगणित र डेटा विश्लेषणमा थप जटिल अनुप्रयोगहरूको लागि यी आधारभूत अपरेशनहरूमा निपुणता महत्त्वपूर्ण छ।