कार्टेसियन समन्वय प्रणालीमा त्रि-आयामिक भेक्टरहरूको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल
त्रि-आयामी भेक्टरहरू गणित र भौतिकशास्त्रमा एक महत्त्वपूर्ण अवधारणा हो, जुन प्रायः त्रि-आयामी अन्तरिक्षमा वस्तुहरू वा घटनाहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्न प्रयोग गरिन्छ। कार्टेसियन निर्देशांक प्रणालीमा, यी भेक्टरहरूलाई तीन घटकहरूद्वारा प्रतिनिधित्व गरिन्छ, जसलाई सामान्यतया \( (x, y, z) \) भनिन्छ। यस लेखले कार्टेसियन निर्देशांक प्रणालीमा त्रि-आयामी भेक्टरहरूसँग सम्बन्धित धेरै उदाहरण समस्याहरू र समाधानहरू छलफल गर्नेछ।
त्रि-आयामिक भेक्टरहरू बुझ्दै
त्रि-आयामिक स्थानमा रहेको भेक्टरलाई \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) को रूपमा व्यक्त गर्न सकिन्छ, जहाँ:
– \(A_x\) x-अक्षको साथमा रहेको भेक्टरको घटक हो।
– \(A_y\) y-अक्षको साथमा रहेको भेक्टर घटक हो।
– \(A_z\) z-अक्षको साथमा रहेको भेक्टर कम्पोनेन्ट हो।
नमुना प्रश्न र छलफल
प्रश्न १: भेक्टर थप कार्य
दुई भेक्टरहरू दिइएका छन्, \(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) र \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\)। यी दुई भेक्टरहरूको योगफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
दुई भेक्टरहरू \(\mathbf{A}\) र \(\mathbf{B}\) को जोड तिनीहरूको सम्बन्धित घटकहरू थपेर गरिन्छ। यसरी, हामीसँग छ:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
दिइएको भेक्टर मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
त्यसैले, भेक्टरहरू \(\mathbf{A}\) र \(\mathbf{B}\) थप्दाको परिणाम \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\) हुन्छ।
प्रश्न २: भेक्टर घटाउ सञ्चालन
दुई भेक्टरहरू दिइएका छन्, \(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) र \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\)। यी दुई भेक्टरहरूको घटाउ गणना गर्नुहोस्, अर्थात् \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\)।
छलफल:
दुई भेक्टरहरू \(\mathbf{A}\) र \(\mathbf{B}\) घटाउने काम तिनीहरूको सम्बन्धित घटकहरू घटाएर गरिन्छ। त्यसैले, हामीसँग छ:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
दिइएको भेक्टर मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
त्यसैले, भेक्टरहरू \(\mathbf{A}\) र \(\mathbf{B}\) घटाउँदाको परिणाम \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\) हुन्छ।
प्रश्न ३: स्केलर गुणन सञ्चालन
एउटा भेक्टर \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) र एउटा स्केलर \(k = 4\) दिइएको छ। यी भेक्टरहरूको स्केलर गुणनफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
स्केलर \(k\) लाई भेक्टर \(\mathbf{A}\) ले गुणन गर्ने काम भेक्टरको प्रत्येक घटकलाई त्यो स्केलरले गुणन गरेर गरिन्छ। यसरी, हामीसँग छ:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
दिइएको मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
\mathbf{E} = ४ \cdot (३, -२, ७) = (४ \cdot ३, ४ \cdot -२, ४ \cdot ७) = (१२, -८, २८)
\]
त्यसैले, स्केलर \(k\) लाई भेक्टर \(\mathbf{A}\) ले गुणन गर्दाको परिणाम \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) हुन्छ।
प्रश्न ४: भेक्टर लम्बाइ
भेक्टरको लम्बाइ (परिमाण) गणना गर्नुहोस् \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\)।
छलफल:
भेक्टरको लम्बाइ वा परिमाण \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) सूत्र प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
दिइएको मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
त्यसैले, भेक्टर \(\mathbf{A}\) को लम्बाइ 3 हो।
प्रश्न ५: डट उत्पादन
दुई भेक्टरहरू दिइएका छन्, \(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) र \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\)। यी दुई भेक्टरहरूको डट गुणनफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
दुई भेक्टरहरू \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) र \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) को डट गुणन सम्बन्धित घटकहरूलाई गुणन गरेर र त्यसपछि तिनीहरूलाई थपेर गरिन्छ। यसरी, हामीसँग छ:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
दिइएको मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 - 4 = -2
\]
त्यसैले, भेक्टरहरू \(\mathbf{A}\) र \(\mathbf{B}\) को डट गुणनफल -2 हो।
प्रश्न ६: क्रस उत्पादन
दुई भेक्टरहरू दिइएका छन्, \(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) र \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\)। यी दुई भेक्टरहरूको क्रस गुणनफल गणना गर्नुहोस्।
छलफल:
दुई भेक्टरहरूको क्रस गुणनफल \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) र \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) निम्न सूत्र प्रयोग गरेर गरिन्छ:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
दिइएको मानहरू प्रतिस्थापन गर्नुहोस्:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (२ \cdot ६ – ३ \cdot ५), (३ \cdot ४ – १ \cdot ६), (१ \cdot ५ – २ \cdot ४) \right) = (१२ – १५, १२ – ६, ५ – ८) = (-३, ६, -३)
\]
त्यसैले, भेक्टरहरू \(\mathbf{A}\) र \(\mathbf{B}\) को क्रस गुणनफल \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) हो।
केसिम्पुलन
कार्टेसियन निर्देशांक प्रणालीमा त्रि-आयामिक भेक्टरहरू विज्ञान र इन्जिनियरिङका विभिन्न क्षेत्रहरूमा आवश्यक उपकरणहरू हुन्। माथिका उदाहरणहरू र छलफलहरू मार्फत, हामीले भेक्टरहरूमा विभिन्न आधारभूत कार्यहरू कसरी गर्ने भनेर देख्यौं, जस्तै जोड, घटाउ, स्केलर गुणन, र डट र क्रस उत्पादनहरू। यी अवधारणाहरूको ठोस बुझाइ गणितमा मात्र नभई भौतिक विज्ञान, इन्जिनियरिङ र कम्प्युटर विज्ञानमा व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूमा पनि अमूल्य हुनेछ।
