उदाहरण प्रश्न र छलफल: एकल डेटाको भिन्नता र मानक विचलन
तथ्याङ्क गणितको एक शाखा हो जुन डेटाको सङ्कलन, विश्लेषण, व्याख्या, प्रस्तुतीकरण र संगठनसँग सम्बन्धित छ। तथ्याङ्कमा दुई महत्त्वपूर्ण अवधारणाहरू भिन्नता र मानक विचलन हुन्। यस लेखले धेरै उदाहरण समस्याहरू मार्फत एकल डेटा सेटको भिन्नता र मानक विचलन कसरी गणना गर्ने भन्ने बारे विस्तृत रूपमा छलफल गर्नेछ।
भिन्नता र मानक विचलन बुझ्दै
भिन्नता भनेको एउटा मापन हो जसले डेटा सेटमा भएका संख्याहरू औसत वा औसतबाट कति टाढा फैलिएका छन् भनेर मापन गर्छ। भिन्नतालाई मूल डेटाको वर्ग एकाइहरूमा व्यक्त गरिन्छ, जसले गर्दा यसलाई व्याख्या गर्न प्रायः गाह्रो हुन्छ।
मानक विचलन भिन्नताको वर्गमूल हो। यसले डेटा सामान्यतया माध्यबाट कति टाढा विचलित हुन्छ भन्ने कुराको थप सहज मापन प्रदान गर्दछ किनभने यसको एकाइहरू डेटाको मूल एकाइहरू जस्तै छन्।
सामान्य सूत्र
एकल डेटाको लागि, जनसंख्याको भिन्नता \( \sigma^2 \) र मानक विचलन \( \sigma \) को सूत्र निम्नानुसार छ:
१. भिन्नता (σ²):
\( \सिग्मा^२ = \फ्राक{१}{N} \योग_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
२. मानक विचलन (σ):
\( \सिग्मा = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
कहाँ:
– \( N \) जनसंख्यामा रहेको डेटाको संख्या हो।
– \( x_i \) ith डेटा मान हो।
– \( \mu \) डेटाको औसत वा औसत हो।
यदि हामीले नमूनाको भिन्नता र मानक विचलन गणना गर्छौं भने, माथिको सूत्र थोरै परिमार्जन गरिएको छ:
१. नमुना भिन्नता (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
२. नमूना मानक विचलन (हरू):
\( s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
कहाँ:
– \( n \) नमूनामा रहेको डेटाको संख्या हो।
– \( \bar{x} \) नमूनाको औसत वा औसत हो।
नमुना प्रश्न र छलफल
उदाहरण प्रश्न १:
निम्न तथ्याङ्कलाई ध्यानमा राख्दै:
8, 10, 10, 10, 12, 14
डेटाको भिन्नता र मानक विचलन गणना गर्नुहोस्!
समाधान चरणहरू:
१. औसत (औसत) गणना गर्दै \( \mu \):
\[
\mu = frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = frac{64}{6} = 10.67
\]
२. डेटा र औसत बीचको भिन्नता गणना गर्नुहोस्, त्यसपछि वर्ग गर्नुहोस्:
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
३. सबै वर्गाकार परिणामहरू थप्दै:
\[
\sum (x_i - \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
४. जनसंख्या डेटाको भिन्नता (σ²) गणना गर्दै:
\[
\सिग्मा^२ = \फ्राक{२१.३५३४}{६} = ३.५५९
\]
नोट: यो तथ्याङ्क जनसंख्या तथ्याङ्कको रूपमा उल्लेख गरिएको हुनाले, हामी यसलाई ६ ले भाग गर्छौं।
५. मानक विचलन (σ) गणना गर्दै:
\[
\सिग्मा = \sqrt{3.559} \लगभग १.८८६
\]
त्यसैले, डेटाको भिन्नता ३.५५९ छ र मानक विचलन १.८८६ छ।
उदाहरण प्रश्न १:
निम्न नमूना डेटालाई ध्यानमा राख्दै:
5, 6, 8, 9, 10, 11
नमूनाको भिन्नता र मानक विचलन गणना गर्नुहोस्!
समाधान चरणहरू:
१. औसत (औसत) गणना गर्दै \( \bar{x} \) :
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
२. डेटा र औसत बीचको भिन्नता गणना गर्नुहोस्, त्यसपछि वर्ग गर्नुहोस्:
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
\[
(११ – ८.१६७)^२ = ७.९४५
\]
३. सबै वर्गाकार परिणामहरू थप्दै:
\[
\योगफल (x_i – \bar{x})^२ = १०.०३५ + ४.६९४ + ०.०२८ + ०.६९४ + ३.३६१ + ७.९४५ = २६.७५७
\]
४. नमुना भिन्नता (s²) गणना गर्दै:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = ५.३५१
\]
नोट: यो नमूना डेटा भएकोले, हामी ५ (n-1) ले भाग गर्छौं।
५. मानक विचलन (हरू) गणना गर्दै:
\[
s = \sqrt{5.351} \लगभग २.३१३
\]
त्यसैले, नमूना डेटाको भिन्नता ५.३५१ छ र मानक विचलन २.३१३ छ।
केसिम्पुलन
दिइएको सेट भित्र डेटा कसरी फैलिएको छ भनेर बुझ्नको लागि भिन्नता र मानक विचलन गणना गर्नु महत्त्वपूर्ण छ। भिन्नताले मूल एकाइहरूको वर्गहरूमा फैलावटको सैद्धान्तिक मापन प्रदान गर्दछ, मानक विचलनले डेटाको मूल एकाइहरूको सन्दर्भमा फैलावटको मापनको व्याख्या गर्दछ, जसले यसलाई बुझ्न सजिलो बनाउँछ। डेटा विश्लेषणमा, यी दुई मापनहरू प्रायः डेटा परिवर्तनशीलताको मूल्याङ्कन गर्न र तथ्याङ्कीय निर्णयहरू गर्न प्रयोग गरिन्छ।
आवश्यक चरणहरू र सूत्रहरू बुझेर, हामी दैनिक डेटा सङ्कलन र विश्लेषणमा सामना गर्ने विभिन्न परिस्थितिहरूको लागि सजिलैसँग भिन्नता र मानक विचलन गणना गर्न सक्छौं। आशा छ, यो लेखले एकल डेटा सेटहरूमा भिन्नता र मानक विचलनको अवधारणाको गहिरो बुझाइ प्रदान गर्नेछ।
