रेखीय असमानता प्रणालीहरूको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू
रेखीय असमानताहरूको प्रणाली गणितको एउटा शाखा हो जसमा धेरै रेखीय असमानताहरू बीचको सम्बन्ध समावेश छ। यो प्रणालीमा दुई वा बढी असमानताहरू हुन्छन् जसलाई समाधान सेट खोज्न आवश्यक पर्दछ जसले सबै असमानताहरूलाई एकैसाथ सन्तुष्ट पार्छ। जुनियर हाई र सिनियर हाई स्कूल स्तरहरूमा गणित पाठ्यक्रममा परीक्षा प्रश्नहरू र दैनिक अभ्यास दुवैमा रेखीय असमानताहरूको प्रणालीहरूको छलफल बारम्बार भेटिन्छ।
रेखीय असमानता प्रणालीहरूमा स्रोत अनुकूलन र वित्तीय योजनादेखि रसदसम्मका असंख्य वास्तविक जीवनका अनुप्रयोगहरू छन्। यी अवधारणाहरू बुझ्नु स्कूलमा गणित समस्याहरू समाधान गर्न मात्र महत्त्वपूर्ण छैन तर विद्यार्थीहरूलाई दैनिक समस्याहरू तार्किक र कुशलतापूर्वक समाधान गर्न पनि तयार गर्दछ। तल केही उदाहरण समस्याहरू र रेखीय असमानता प्रणालीहरूको बारेमा छलफलहरू दिइएका छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
निम्न रेखीय असमानता प्रणालीको समाधान सेट निर्धारण गर्नुहोस्:
\[
\सुरु{केसहरू}
x + y \leq ६ \\
x – y \geq २
\अन्त{केसहरू}
\]
छलफल:
१. प्रत्येक असमानताको लागि सीमा रेखा कोर्नुहोस्:
\(x + y \leq 6\) को लागि, हामी रेखा \(x + y = 6\) कोर्छौं:
– जब \(x = 0\), \(y = 6\) ले बिन्दु (0, 6) उत्पादन गर्छ।
– जब \(y = 0\), \(x = 6\) ले बिन्दु (6, 0) उत्पादन गर्छ।
\(x – y \geq 2\) को लागि, हामी रेखा \(x – y = 2\) कोर्छौं:
– जब \(x = 2\), \(y = 0\) ले बिन्दु (2, 0) उत्पादन गर्छ।
– जब \(y = -2\), \(x = 0\) ले बिन्दु (0, -2) उत्पादन गर्छ।
२. बस्ती क्षेत्र निर्धारण गर्नुहोस्:
– रेखा \(x + y = 6\) ले यसलाई दुई क्षेत्रहरूमा विभाजन गर्छ, र हामी रेखामा नभएको एउटा परीक्षण बिन्दु जाँच गर्छौं, उदाहरणका लागि बिन्दु (0, 0):
\[
० + ० \leq ६ \quad (\text{true})
\]
त्यसैले, सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र रेखा \(x + y = 6\) को तल वा बायाँतिर छ।
– रेखा \(x – y = 2\) ले स्क्रिनलाई फेरि दुई क्षेत्रहरूमा विभाजन गर्छ, र हामी बिन्दु (0, 0) जाँच गर्छौं:
\[
० - ० \geq २ \quad (\text{false})
\]
त्यसैले, सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र रेखा \(x – y = 2\) को माथि वा दायाँतिर छ।
३. दुई क्षेत्रहरूको प्रतिच्छेदन निर्धारण गर्नुहोस्:
प्रणालीको समाधान भनेको दुवै असमानताहरूलाई सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र हो। हामी दुई क्षेत्रहरूको प्रतिच्छेदन खोज्छौं जुन प्रत्येक असमानताको दिशासँग मेल खान्छ।
केसिम्पुलन:
रेखीय असमानताहरूको प्रणालीको समाधान सेट भनेको दुई क्षेत्रहरूको प्रतिच्छेदनमा रहेका सबै बिन्दुहरू हुन् जसले \(x + y \leq 6\) र \(x – y \geq 2\) सर्तहरू पूरा गर्छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
पहिलो चतुर्थांशमा रहेको रेखीय असमानताहरूको निम्न प्रणालीको समाधान सेट निर्धारण गर्नुहोस्:
\[
\सुरु{केसहरू}
२x + ३y \leq १२ \\
x \geq ० \\
y \geq ० \\
\अन्त{केसहरू}
\]
छलफल:
१. प्रत्येक असमानताको लागि सीमा रेखा कोर्नुहोस्:
\(2x + 3y \leq 12\) को लागि, हामी रेखा \(2x + 3y = 12\) कोर्छौं:
– जब \(x = 0\), \(y = 4\) ले बिन्दु (0, 4) उत्पादन गर्छ।
– जब \(y = 0\), \(x = 6\) ले बिन्दु (6, 0) उत्पादन गर्छ।
२. बस्ती क्षेत्र निर्धारण गर्नुहोस्:
– रेखा \(२x + ३y = १२\) र परीक्षण बिन्दु (०, ०):
\[
२(०) + ३(०) \leq १२ \quad (\text{true})
\]
त्यसैले, सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र रेखा \(2x + 3y = 12\) को तल वा बायाँतिर छ।
– \(x \geq 0\) र \(y \geq 0\) ले समाधान बिन्दु पहिलो चतुर्थांशमा रहेको संकेत गर्छ।
३. दुई क्षेत्रहरूको प्रतिच्छेदन निर्धारण गर्नुहोस्:
प्रणालीको समाधान भनेको पहिलो चतुर्थांशको क्षेत्रफल हो जुन रेखा \(2x + 3y = 12\) को तल वा बायाँतिर छ।
केसिम्पुलन:
रेखीय असमानताहरूको प्रणालीको समाधान सेट पहिलो चतुर्थांशमा रहेका बिन्दुहरू हुन् जसले \(2x + 3y \leq 12\) लाई सन्तुष्ट पार्छन्।
उदाहरण प्रश्न ३
प्रश्न:
निम्न रेखीय असमानता प्रणालीको समाधान सेट निर्धारण गर्नुहोस्:
\[
\सुरु{केसहरू}
y \geq २x – ३ \\
y \leq -x + १
\अन्त{केसहरू}
\]
छलफल:
१. प्रत्येक असमानताको लागि सीमा रेखा कोर्नुहोस्:
\(y \geq 2x – 3\) को लागि, हामी रेखा \(y = 2x – 3\) कोर्छौं:
– जब \(x = 0\), \(y = -3\) ले बिन्दु (0, -3) उत्पादन गर्छ।
– जब \(y = 0\), \(x = 1,5\) ले बिन्दु (1.5, 0) उत्पादन गर्छ।
\(y \leq -x + 1\) को लागि, हामी रेखा \(y = -x + 1\) कोर्छौं:
– जब \(x = 0\), \(y = 1\) ले बिन्दु (0, 1) उत्पादन गर्छ।
– जब \(y = 0\), \(x = 1\) ले बिन्दु (1, 0) उत्पादन गर्छ।
२. बस्ती क्षेत्र निर्धारण गर्नुहोस्:
– रेखा \(y \geq 2x – 3\) लाई बिन्दु (0, 0) सँग परीक्षण गरिन्छ:
\[
० \geq २(०) – ३ \quad (\text{true})
\]
त्यसैले, सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र रेखा \(2x – 3\) को माथि वा दायाँतिर छ।
– रेखा \(y \leq -x + 1\) लाई बिन्दु (0, 0) सँग परीक्षण गरिन्छ:
\[
० \leq -० + १ \quad (\text{true})
\]
त्यसैले, सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र रेखा \(-x + 1\) को तल वा बायाँ तिर छ।
३. दुई क्षेत्रहरूको प्रतिच्छेदन निर्धारण गर्नुहोस्:
प्रणालीको समाधान भनेको दुवै असमानताहरूलाई सन्तुष्ट पार्ने क्षेत्र हो। हामी दुई असमानताहरू बीचको प्रतिच्छेदन क्षेत्र खोजिरहेका छौं।
केसिम्पुलन:
रेखीय असमानताहरूको प्रणालीको समाधान सेट भनेको क्षेत्रको प्रतिच्छेदनमा रहेका बिन्दुहरू हुन् जसले \(y \geq 2x – 3\) र \(y \leq -x + 1\) लाई सन्तुष्ट पार्छन्।
रेखीय असमानता प्रणालीहरू कसरी समाधान गर्ने भनेर बुझेर, विद्यार्थीहरू गणितीय समस्याहरू समाधान गर्न र दैनिक परिस्थितिहरूमा यी अवधारणाहरू लागू गर्न अझ दक्ष हुनेछन् भन्ने आशा छ। आशा छ, यी उदाहरण समस्याहरू र छलफलहरूले विद्यार्थीहरूलाई रेखीय असमानता प्रणालीहरूको आधारभूत अवधारणाहरू सिक्न र बुझ्न मद्दत गर्नेछन्।
