निश्चित पूर्णांकहरूको गुणहरू छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

निश्चित पूर्णांकका गुणहरूको उदाहरण प्रश्नहरू र छलफल

निश्चित इन्टिग्रल क्याल्कुलसमा एक आधारभूत अवधारणा हो, जुन गणित, भौतिक विज्ञान र इन्जिनियरिङमा विस्तृत दायरामा प्रयोग गर्न अत्यन्त उपयोगी छ। यस लेखमा, हामी निश्चित इन्टिग्रलका केही महत्त्वपूर्ण गुणहरू व्याख्या गर्नेछौं र विषयको तपाईंको बुझाइलाई अझ गहिरो बनाउन उदाहरणहरू र समाधानहरू प्रदान गर्नेछौं।

निश्चित इन्टिग्रलका गुणहरू

उदाहरणका समस्याहरूमा प्रवेश गर्नु अघि, निश्चित पूर्णांकका केही आधारभूत गुणहरूको समीक्षा गरौं जुन जान्न महत्त्वपूर्ण छन्:

१. रेखीयता गुण:
– यदि \( f(x) \) र \( g(x) \) एकीकृत प्रकार्यहरू हुन् र \( a \) र \( b \) स्थिरांकहरू हुन् भने, त्यसपछि:
\[
\int_a^b [af(x) + bg(x)] \, dx = a \int_a^bf(x) \, dx + b \int_a^bg(x) \, dx.
\]

२. स्थिरांकको अभिन्न अंग:
– यदि \( c \) स्थिरांक हो भने,:
\[
\int_a^bc \, dx = c(b – a).
\]

३. अन्तराल थपका गुणहरू:
\[
\int_a^cf(x) \, dx + \int_c^bf(x) \, dx = \int_a^bf(x) \, dx
\]

४. सीमा उल्टाउने:
\[
\int_a^bf(x) \, dx = – \int_b^af(x) \, dx
\]

५. उही सीमामा शून्य:
\[
\int_a^af(x) \, dx = ०
\]

उदाहरण प्रश्न १: रेखीयता गुणको प्रयोग

समस्याहरूको उदाहरण:
निम्नको मान गणना गर्नुहोस्:
\[
\int_0^2 (३x^२ + २x) \, dx
\]

छलफल:
इन्टिग्रललाई दुई भागमा छुट्याउन रेखीयता गुण प्रयोग गर्नुहोस्:
\[
\int_0^2 (३x^२ + २x) \, dx = \int_0^2 ३x^२ \, dx + \int_0^२ २x \, dx
\]

पहिलो इन्टिग्रल गणना गरौं:
\[
\int_0^2 ३x^२ \, dx
\]
\[
= ३ \int_0^2 x^2 \, dx
\]
\[
= २ \बायाँ[ \frac{x^3}{3} \दायाँ]_0^3
\]
\[
= ३ \बायाँ( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \दायाँ)
\]
\[
= ३ \बायाँ( \frac{8}{3} \दायाँ)
\]
\[
= 8
\]

अब, हामी दोस्रो इन्टिग्रल गणना गर्छौं:
\[
\int_0^2 २x \, dx
\]
\[
= २ \int_0^2 x \, dx
\]
\[
= २ \बायाँ[ \frac{x^2}{2} \दायाँ]_0^2
\]
\[
= २ \बायाँ( १ – ० \दायाँ)
\]
\[
= 2
\]

दुई परिणामहरू संयोजन गर्नुहोस्:
\[
\int_0^2 (३x^२ + २x) \, dx = ८ + २ = १०
\]

उदाहरण प्रश्न २: स्थिरांकको पूर्णांक

समस्याहरूको उदाहरण:
निम्नको मान गणना गर्नुहोस्:
\[
\int_1^4 ५ \, dx
\]

छलफल:
स्थिरांकहरूको अभिन्न गुण प्रयोग गरेर, हामी लेख्न सक्छौं:
\[
\int_1^4 ५ \, dx = ५ \cdot (४ – १)
\]
\[
= ५ \cdot ३
\]
\[
= 15
\]

उदाहरण प्रश्न ३: सीमा परिवर्तनका गुणहरू

समस्याहरूको उदाहरण:
प्रमाणित गर्नुहोस् कि:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx
\]

छलफल:
हामी अन्तराल \( [2, 5] \) मा \( x^2 \) को इन्टिग्रलबाट सुरु गर्छौं:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = \बायाँ[ \frac{x^3}{3} \दायाँ]_2^5
\]
\[
= \frac{5^3}{3} – \frac{2^3}{3}
\]
\[
= \frac{125}{3} – \frac{8}{3}
\]
\[
= \frac{117}{3}
\]
\[
= 39
\]

अब, अन्तराल \( [5, 2] \) मा \( x^2 \) को पूर्णांक गणना गरौं र उत्तरको चिन्ह उल्टो गर्न निश्चित गरौं:
\[
\int_5^2 x^2 \, dx = \बायाँ[ \frac{x^3}{3} \दायाँ]_5^2
\]
\[
= \frac{2^3}{3} – \frac{5^3}{3}
\]
\[
= \frac{8}{3} – \frac{125}{3}
\]
\[
= -\frac{117}{3}
\]
\[
= -39
\]

यो प्रमाणित छ कि:
\[
\int_2^5 x^2 \, dx = – \int_5^2 x^2 \, dx.
\]

उदाहरण प्रश्न ४: अन्तराल थपका गुणहरू

समस्याहरूको उदाहरण:
यदि \(\int_2^4 f(x) \, dx = 7\) र \(\int_4^6 f(x) \, dx = 5\) थाहा छ भने, \(\int_2^6 f(x) \, dx\) को मान गणना गर्नुहोस्।

छलफल:
अन्तराल थप गुण प्रयोग गर्दै:
\[
\int_2^6 f(x) \, dx = \int_2^4 f(x) \, dx + \int_4^6 f(x) \, dx
\]
\[
= 7 + 5
\]
\[
= 12
\]

केसिम्पुलन

निश्चित इन्टिग्रलमा धेरै महत्त्वपूर्ण गुणहरू छन् जसले हामीलाई विभिन्न प्रकारका समस्याहरूलाई अझ प्रभावकारी रूपमा समाधान गर्न मद्दत गर्न सक्छ। यस लेखमा, हामीले यी केही आधारभूत गुणहरूको बारेमा छलफल गरेका छौं र यी गुणहरूलाई व्यवहारमा कसरी लागू गर्न सकिन्छ भनेर देखाउने उदाहरणहरू प्रदान गरेका छौं। पर्याप्त बुझाइ र अभ्यासको साथ, तपाईं थप आत्मविश्वासका साथ निश्चित इन्टिग्रल समस्याहरू समाधान गर्न सक्षम हुनुहुनेछ।