त्रिकोणमितीय अनुपातको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

त्रिकोणमितीय अनुपातको छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

त्रिकोणमिति गणितको एउटा शाखा हो जसले त्रिकोणको भुजा र कोणहरू बीचको सम्बन्धको अध्ययन गर्छ। त्रिकोणमितिको एउटा महत्त्वपूर्ण पक्ष भनेको साइन (पाप), कोसाइन (कोस), र ट्यान्जेन्ट (ट्यान) सहित त्रिकोणमितीय अनुपातहरू बुझ्नु हो। यस लेखले आधारभूत त्रिकोणमितीय अवधारणाहरूको पूर्ण बुझाइलाई सहज बनाउन त्रिकोणमितीय अनुपातका धेरै उदाहरणहरू र तिनीहरूको विस्तृत व्याख्याहरू छलफल गर्नेछ।

उदाहरण प्रश्न १: Sin, Cos, र Tan को मानहरू गणना गर्दै

प्रश्न:
यदि विपरीत भुजा (विपरीत कोण \(\theta\)) को लम्बाइ ३ सेमी, आसन्न भुजा (आधार) को लम्बाइ ४ सेमी र कर्ण (कर्ण) को लम्बाइ ५ सेमी छ भने, विद्यार्थीलाई समकोण त्रिभुजमा कोण \( \theta \) को sin, cos, र tan को मानहरू पत्ता लगाउन भनिएको छ।

छलफल:
पहिलो चरण भनेको दिइएको कोणसँग सम्बन्धित प्रत्येक भुजा पहिचान गर्नु हो। ज्ञात छ, क्लासिक पाइथागोरियन ट्रिपल (३, ४, ५) को भुजा भएको समकोण त्रिकोणमा, हामी सिधै आधारभूत त्रिकोणमितीय सूत्रहरू प्रयोग गर्न सक्छौं।

- साइन (sin) भनेको विपरीत पक्षको लम्बाइ र कर्ण बीचको अनुपात हो।
\[
\sin(\theta) = \frac{\text{अगाडिको पक्ष}}{\text{कर्ण}} = \frac{3}{5}
\]

- कोसाइन (cos) भनेको छेउछाउको भुजा र कर्णको लम्बाइ बीचको अनुपात हो।
\[
\cos(\theta) = \frac{\text{छेउछाउको पक्ष}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}
\]

– ट्यान्जेन्ट (ट्यान) भनेको अगाडिको भाग र छेउको लम्बाइ बीचको अनुपात हो।
\[
\tan(\theta) = \frac{\text{अगाडिको भाग}}{\text{छेउको भाग}} = \frac{3}{4}
\]

यसरी, कोण \(\theta\) को लागि त्रिकोणमितीय अनुपातहरूको मानहरू यस प्रकार छन्:
\[
\sin(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{3}{4}
\]

उदाहरण प्रश्न २: त्रिकोणमितीय अनुपात प्रयोग गरेर त्रिभुजको भुजाहरू पत्ता लगाउने

प्रश्न:
कोण \( \alpha = 30^\circ \) भएको समकोण त्रिभुज दिइएको छ। यदि कोण \( \alpha \) को विपरीत भुजाको लम्बाइ 4 सेमी छ भने, अर्को भुजाको लम्बाइ निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
कोण \( 30^\circ \) को लागि त्रिकोणमितीय अनुपात मानहरू प्रयोग गर्दै:

– \(\पाप(३०^\सर्कल) = \frac{१}{२} \)
\[
\sin(30^\circ) = \frac{\text{अगाडिको भाग}}{\text{hypotenuse}} = \frac{4}{\text{hypotenuse}}
\]
\[
\text{कर्ण} = \frac{4}{\sin(30^\circ)} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8 \text{ सेमी}
\]

– \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
\[
\cos(30^\circ) = \frac{\text{सम्बन्धित पक्ष}}{\text{कर्ण}} = \frac{\text{सम्बन्धित पक्ष}}{8}
\]
\[
\text{छेउको भाग} = ८ \cos(30^\circ) = ८ \times \frac{\sqrt{3}}{2} = ४\sqrt{3} \text{cm}
\]

यसरी, अर्को तर्फको लम्बाइ \(4\sqrt{3}\) सेमी र कर्ण ८ सेमी हुन्छ।

उदाहरण ३: कार्टेसियन निर्देशांकहरूमा त्रिकोणमिति प्रयोग गर्दै

प्रश्न:
यदि बिन्दुले चतुर्थांश I मा धनात्मक x-अक्षसँग कोण \(\theta\) बनाउँछ भने कार्टेसियन निर्देशांकमा बिन्दु \( P(3, 4) \) को लागि sin, cos, र tan को मानहरू निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:
पहिले, उत्पत्ति (O) बाट बिन्दु \(P(3, 4)\) को दूरी गणना गर्नुहोस्, जुन त्रिभुजको कर्ण हो।

- कर्ण (\(r\)) पाइथागोरस प्रमेय प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ:
\[
r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

त्यसपछि, बिन्दु P को त्रिकोणमिति निम्नानुसार गणना गर्न सकिन्छ:

– साइन (sin) भनेको ordinate (y) र कर्ण (r) बीचको अनुपात हो:
\[
\पाप(\थेटा) = \frac{y}{r} = \frac{4}{5}
\]

- कोसाइन (cos) भनेको abscissa (x) र कर्ण (r) बीचको अनुपात हो:
\[
\cos(\theta) = \frac{x}{r} = \frac{3}{5}
\]

– ट्यान्जेन्ट (ट्यान) भनेको अर्डिनेट (y) र एब्सिसा (x) बीचको अनुपात हो:
\[
\ट्यान(\थेटा) = \फ्राक{वाई}{एक्स} = \फ्राक{४}{३}
\]

यसरी, बिन्दु P को लागि त्रिकोणमितीय मानहरू यस प्रकार छन्:
\[
\sin(\theta) = \frac{4}{5}, \quad \cos(\theta) = \frac{3}{5}, \quad \tan(\theta) = \frac{4}{3}
\]

उदाहरण प्रश्न ४: त्रिकोणमितीय पहिचानको प्रयोग

प्रश्न:
यदि \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), त्रिकोणमितीय पहिचान \( \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \) प्रयोग गरेर \( \cos(\theta) \) को मान पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:
हामी आधारभूत त्रिकोणमितीय पहिचानबाट सुरु गर्छौं:
\[
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = १
\]

दिइएको \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \), त्यसपछि:
\[
\sin^2(\theta) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}
\]
\[
\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = १
\]
\[
\frac{9}{25} + \cos^2(\theta) = १
\]
\[
\cos^2(\theta) = १ – \frac{9}{25} = \frac{25}{25} – \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
\]
\[
\cos(\theta) = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}
\]

\( \cos(\theta) \) को मान कोण \(\theta\) कुन चतुर्थांशमा छ भन्ने आधारमा धनात्मक वा ऋणात्मक हुन सक्छ। तर स्पष्ट चतुर्थांश परिभाषा बिनाको यो समस्याको लागि, हामी चतुर्थांश I को लागि \(\cos(\theta) = \frac{4}{5}\) वा चतुर्थांश II, III, वा IV को लागि \( -\frac{4}{5}\) प्रयोग गर्छौं।

केसिम्पुलन

त्रिकोणमितीय अनुपात बुझ्नु त्रिकोणमितीय अनुपात बुझ्नु त्रिकोणमितीय अनुपात बुझ्नु त्रिकोणमितीय अनुपातहरू