समानान्तर चतुर्भुज विधि प्रयोग गरेर दुई भेक्टरहरू थप्ने सम्बन्धी छलफल प्रश्नको उदाहरण

समानान्तर चतुर्भुज विधि प्रयोग गरेर दुई भेक्टरहरूको थपको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्न

भौतिकशास्त्र र गणितमा भेक्टर जोड एउटा महत्त्वपूर्ण अवधारणा हो, जुन प्रायः प्राकृतिक घटना र दैनिक जीवनका समस्याहरू वर्णन गर्न प्रयोग गरिन्छ। दुई भेक्टरहरू थप्ने धेरै तरिकाहरू छन्, जसमध्ये एउटा समानान्तर चतुर्भुज विधि हो। यो विधि सहज मात्र होइन तर दुई भेक्टरहरू कसरी मिलेर परिणामस्वरूप भेक्टर बनाउँछन् भन्ने शक्तिशाली दृश्यावलोकन पनि प्रदान गर्दछ। यस लेखमा, हामी समानान्तर चतुर्भुज विधि प्रयोग गरेर भेक्टर जोडका धेरै उदाहरणहरू हेर्नेछौं, साथै तिनीहरूको समाधानहरू पनि।

भेक्टर भनेको के हो?

उदाहरणका समस्याहरूमा प्रवेश गर्नु अघि, हामीले भेक्टरको आधारभूत परिभाषा बुझ्नु आवश्यक छ। भेक्टर भनेको परिमाण (लम्बाइ) र दिशा दुवै हुने परिमाण हो। भेक्टरका क्लासिक उदाहरणहरूमा वेग, त्वरण, बल र विस्थापन समावेश छन्। भेक्टरलाई कार्टेसियन निर्देशांकमा यसको घटकहरू (i, j, k) को रूपमा वा यसको लम्बाइ र दिशा (कोण) को रूपमा प्रतिनिधित्व गर्न सकिन्छ।

समानान्तर चतुर्भुज विधि

समानान्तर चतुर्भुज विधि दुई भेक्टरहरू जोड्ने एउटा तरिका हो। यस विधिमा, हामी दुई भेक्टरहरूलाई समानान्तर चतुर्भुजको दुई पक्षको रूपमा प्रतिनिधित्व गर्छौं। परिणामस्वरूप भेक्टर दुई भेक्टरहरूको सुरुवात बिन्दुबाट सुरु हुने समानान्तर चतुर्भुजको विकर्ण हो। गणितीय रूपमा, यदि हामीसँग दुई भेक्टरहरू \(\vec{A}\) र \(\vec{B}\) छन् भने, परिणामस्वरूप \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) हुन्छ।

समानान्तर चतुर्भुज विधि प्रयोग गर्ने चरण-दर-चरण विधि निम्नानुसार छ:
१. सुरुवात बिन्दुबाट भेक्टर \(\vec{A}\) कोर्नुहोस्।
२. भेक्टर \(\vec{A}\) को अन्त्यबाट, भेक्टर \(\vec{B}\) कोर्नुहोस्।
३. सुरुवात बिन्दु \(\vec{A}\) बाट भेक्टर \(\vec{B}\) सँग समानान्तर रेखा कोर्नुहोस्।
४. भेक्टर \(\vec{B}\) को अन्त्यबाट भेक्टर \(\vec{A}\) सँग समानान्तर रेखा कोर्नुहोस्।
५. परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{R}\) प्राप्त गर्न सुरुवात बिन्दुबाट विपरीत कुनामा विकर्ण कोर्नुहोस्।

नमुना प्रश्न र छलफल

प्रश्न १

मानौं हामीसँग दुई भेक्टरहरू छन् \(\vec{A}\) र \(\vec{B}\):
– \(\vec{A}\) को लम्बाइ (परिमाण) ५ एकाइ र दिशा ०° (वा धनात्मक x-अक्षको साथ) छ,
– \(\vec{B}\) को लम्बाइ ३ एकाइ र दिशा ९०° (वा धनात्मक y-अक्षको साथ) छ।

समानान्तर चतुर्भुज विधि प्रयोग गरेर यी दुई भेक्टरहरू थप्दा प्राप्त हुने मान कति हुन्छ?

छलफल:

१. ५ एकाइ लम्बाइ भएको धनात्मक x-अक्षमा भेक्टर \(\vec{A}\) कोर्नुहोस्।
२. भेक्टर \(\vec{A}\) को अन्त्यबाट, ३ एकाइ लम्बाइ भएको धनात्मक y-अक्षमा भेक्टर \(\vec{B}\) कोर्नुहोस्।
३. सुरुवात बिन्दु \(\vec{A}\) बाट, \(\vec{B}\) सँग समानान्तर रेखा कोर्नुहोस्।
४. \(\vec{B}\) को अन्त्यबाट, \(\vec{A}\) सँग समानान्तर रेखा कोर्नुहोस्।
५. नतिजा विकर्ण भएको समानान्तरचतुर्भुज हो जुन परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{R}\) हो।

\(\vec{A}\) र \(\vec{B}\) एकअर्कासँग लम्ब भएकाले, हामी परिणामस्वरूप भेक्टरको लम्बाइ गणना गर्न पाइथागोरियन प्रमेय प्रयोग गर्न सक्छौं:

\[ R = \sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \लगभग 5.83 \]

परिणामात्मक भेक्टरको दिशा त्रिकोणमिति प्रयोग गरेर गणना गर्न सकिन्छ। यदि \(\theta\) परिणामात्मक र \(\vec{A}\ बीचको कोण हो भने):

\[ \ट्यान(\थेटा) = \फ्राक{बी}{ए} = \फ्राक{३}{५} \]

त्यसैले:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \लगभग ३०.९६^\circ \]

यसरी, परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{R}\) को परिमाण लगभग ५.८३ एकाइ र दिशा \(\vec{A}\) बाट लगभग ३०.९६° छ।

प्रश्न १

दुई भेक्टरहरू \(\vec{C}\) र \(\vec{D}\) निम्नानुसार दिइएका छन्:
– \(\vec{C}\) जसको लम्बाइ ४ एकाइ र दिशा ४५° छ।
– \(\vec{D}\) जसको लम्बाइ ६ एकाइ र दिशा १२०° छ।

दुई भेक्टरहरूको जोडबाट परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{R}\) निर्धारण गर्नुहोस्।

छलफल:

एकअर्कासँग लम्ब नभएका वा फरक आकारका दुई भेक्टरहरू थप्न, तपाईं कार्टेसियन कम्पोनेन्टहरू प्रयोग गर्न सक्नुहुन्छ।

१. \(\vec{C}\) र \(\vec{D}\) लाई x र y घटकहरूमा विभाजन गर्नुहोस्।

\(\vec{C}\) को लागि:
\[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \लगभग 2.83 \]
\[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \लगभग 2.83 \]

\(\vec{D}\) को लागि:
\[ D_x = D \cos(120^\circ) = 6 \cos(120^\circ) = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) = -3 \]
\[ D_y = D \sin(120^\circ) = 6 \sin(120^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \लगभग 5.20 \]

२. दुबै भेक्टरहरूको x र y घटकहरू थप्नुहोस्:
\[ R_x = C_x + D_x = २.८३ + (-३) = -०.१७ \]
\[ R_y = C_y + D_y = २.८३ + ५.२० = ८.०३ \]

३. परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{R}\) को परिमाण र दिशा गणना गर्नुहोस्:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \लगभग 8.03 \]

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{8.03}{-0.17}\right) \लगभग \tan^{-1}(-47.24) \]

नतिजा ऋणात्मक भएकोले, हामी सही चतुर्थांश प्रणालीमा कोण प्राप्त गर्न १८०° थप्छौं:
\[ \theta \लगभग \tan^{-1}(47.24) + 180^\circ \लगभग 271.93^\circ \]

त्यसो भए, परिणामस्वरूप भेक्टर \(\vec{R}\) को परिमाण लगभग ८.०३ एकाइ र दिशा लगभग २७१.९३° छ, वा हामी चौथो चतुर्थांशको ऋणात्मक x-अक्षबाट लगभग ९१.९३° भन्न सक्छौं।

बन्द

समानान्तर चतुर्भुज विधि दुई भेक्टरहरू थप्ने एउटा प्रभावकारी र दृश्य तरिका हो। यो विधि साधारण भेक्टरहरूको लागि सरल लाग्न सक्छ, तर यो बुझ्नु महत्त्वपूर्ण छ कि अधिक जटिल भेक्टरहरूको लागि, हामीले प्रायः सही परिणामहरू प्राप्त गर्न कार्टेसियन घटकहरू र थप उन्नत बीजगणितीय प्रविधिहरू प्रयोग गर्नुपर्छ। आशा छ, माथिका उदाहरणहरूले यो विधि विभिन्न परिस्थितिहरूमा कसरी लागू गर्न सकिन्छ भन्ने स्पष्ट तस्वीर प्रदान गर्दछ।