मिश्रित घटनाहरूको सम्भाव्यतामा छलफल प्रश्नको उदाहरण

मिश्रित घटनाहरूको सम्भाव्यता छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

मिश्रित घटनाहरूको सम्भाव्यताको परिचय

सम्भाव्यता गणितको एउटा शाखा हो जसले कुनै घटना हुने सम्भावनाको अध्ययन गर्छ। यौगिक घटनाको सम्भाव्यता भनेको एक भन्दा बढी घटनाहरू समावेश भएको घटनाको सम्भाव्यता हो। उदाहरणका लागि, पासामा सम संख्या घुमाउने सम्भावना र तास खेल्ने डेकबाट एस यौगिक घटनाहरूका उदाहरणहरू हुन्। यस लेखले धेरै उदाहरण समस्याहरू छलफल गर्नेछ र यौगिक घटनाहरूको सम्भाव्यताको बारेमा छलफल गर्नेछ।

यौगिक घटनाहरूको सम्भाव्यताको आधारभूत अवधारणा

दुई प्रकारका मिश्रित घटनाहरू छन्:

१. पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरू: दुई घटनाहरू जुन एकैसाथ हुन सक्दैनन्। उदाहरणका लागि, पासा घुमाउँदा, २ र ५ घुमाउने घटनाहरू पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरू हुन् किनभने दुवै संख्याहरू एकैसाथ घुमाउन असम्भव छ।

२. गैर-परस्परिक विशेष घटनाहरू: दुई घटनाहरू जुन एकैसाथ हुन सक्छन्। उदाहरणका लागि, कार्ड खेल्ने रेखाचित्रमा, मुटु कार्ड (♥) र १० नम्बर भएको कार्ड प्राप्त गर्ने घटनाहरू गैर-परस्परिक विशेष घटनाहरू हुन् किनभने त्यहाँ १० नम्बर भएको मुटु कार्ड हुन्छ।

यौगिक घटनाहरूको सम्भाव्यता गणना गर्न प्रयोग गरिने केही आधारभूत सूत्रहरू यहाँ दिइएका छन्:

– P(A वा B) (गैर-परस्पर विशेष घटनाहरूको लागि): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)

– P(A वा B) (पारस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरूको लागि): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

– P(A र B) (स्वतन्त्र घटनाहरूको लागि): \(P(A \cap B) = P(A) \गुणा P(B)\)

नमुना प्रश्न र छलफल

उदाहरण प्रश्न १: पासा

प्रश्न:
पासामा सम संख्या वा ४ भन्दा ठूलो संख्या पाउने सम्भावना कति हुन्छ?

छलफल:
पहिले, घटनाहरू परिभाषित गरौं:
– घटना A: सम संख्या प्राप्त गर्दै (२, ४, ६)
– घटना B: ४ भन्दा ठूलो संख्या प्राप्त गर्दै (५, ६)

अर्को, हामी प्रत्येक घटनाको सम्भाव्यता निर्धारण गर्छौं:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)

घटना A र B दुवैमा समावेश भएको संख्या ६ भएकोले, हामीले \(P(A \cap B)\) गणना गर्नु पर्छ:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (किनभने A र B दुवैमा एउटा मात्र संख्या, अर्थात् 6, समावेश छ)

गैर-परस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरूको लागि सूत्र प्रयोग गरेर:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]

यी अंशहरूको भाजकलाई समान बनाऔं:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

त्यसैले, सम संख्या वा ४ भन्दा ठूलो संख्या प्राप्त गर्ने सम्भावना \(\frac{2}{3}\) हो।

उदाहरण प्रश्न २: कार्ड खेल्ने

प्रश्न:
तास खेल्ने डेकबाट एस वा कोदालो पाउने सम्भावना कति छ?

छलफल:
पहिले, घटनाहरू परिभाषित गरौं:
- घटना A: Ace कार्ड प्राप्त गर्दै (कुल ४, प्रत्येक सुटको लागि एउटा)
– घटना B: स्पेड कार्ड प्राप्त गर्दै (कुल १३)

अर्को, हामी प्रत्येक घटनाको सम्भाव्यता निर्धारण गर्छौं:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)

Ace of Spades दुवै घटना A र B मा समावेश भएको हुनाले, हामीले \(P(A \cap B)\) गणना गर्नु पर्छ:
– \(P(A \क्याप B) = \frac{1}{52}\)

गैर-परस्परिक रूपमा विशेष घटनाहरूको लागि सूत्र प्रयोग गरेर:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]

यी अंशहरूको भाजकलाई समान बनाऔं:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]

त्यसैले, Ace वा कोदालो पाउने सम्भावना \(\frac{4}{13}\) हो।

उदाहरण समस्या ३: बक्समा बल

प्रश्न:
एउटा बक्समा ३ वटा रातो बल, ४ वटा नीलो बल र ५ वटा हरियो बल हुन्छन्। यदि एउटा बल जथाभावी कोरियो भने, रातो बल वा हरियो बल पाउने सम्भावना कति हुन्छ?

छलफल:
पहिले, घटनाहरू परिभाषित गरौं:
– घटना A: रातो बल प्राप्त गर्दै (नम्बर ३)
– घटना B: हरियो बल प्राप्त गर्दै (नम्बर ५)

अर्को, हामी प्रत्येक घटनाको सम्भाव्यता निर्धारण गर्छौं:
– बलहरूको जम्मा संख्या = ३ + ४ + ५ = १२
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)

कुनै पनि बल एकै समयमा रातो र हरियो दुवै हुन नसक्ने भएकोले, यी घटनाहरू पारस्परिक रूपमा विशेष छन्:
\[P(A \कप B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]

यी अंशहरूको भाजकलाई समान बनाऔं:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]

त्यसैले, रातो बल वा हरियो बल पाउने सम्भावना \(\frac{2}{3}\) हो।

उदाहरण प्रश्न ४: दुई सिक्का

प्रश्न:
यदि दुईवटा सिक्का एकैसाथ फ्याँकियो भने, कम्तिमा एउटा सिक्का देखा पर्ने सम्भावना कति हुन्छ?

छलफल:
हामी घटना A लाई परिभाषित गर्छौं: कम्तिमा एउटा छवि अनुभव गर्नु।
दुई सिक्का फ्याँक्दा चार सम्भावित परिणामहरू छन्:
१. एचएच
२. एचटी
३. थ
२. टीटी

कम्तीमा एउटा छवि समावेश गर्ने कार्यक्रमहरू यस प्रकार छन्:
- एचटी
- थ
- टीटी

प्रत्येकको सम्भाव्यता गणना गरौं:
– सम्भावित घटनाहरूको संख्या (कुल): ४
- कम्तिमा एउटा छवि समावेश गर्ने घटनाहरूको संख्या: ३

\[
P(A) = \frac{कम्तीमा एउटा शीर्षक भएका घटनाहरूको संख्या}{घटनाहरूको कुल संख्या} = \frac{3}{4}
\]

त्यसैले, कम्तिमा एउटा छवि देखा पर्ने सम्भावना \(\frac{3}{4}\) हो।

केसिम्पुलन

माथिका समस्याहरूको छलफलले हामी कसरी मिश्रित घटनाको सम्भाव्यता गणना गर्न सक्छौं भनेर देखाउँछ, चाहे त्यो परस्पर विशेष होस् वा गैर-परस्पर विशेष। आधारभूत अवधारणाहरू बुझेर र सही सूत्रहरू प्रयोग गरेर, हामी विभिन्न दैनिक परिस्थितिहरूमा हुने घटनाहरूको निश्चित संयोजनको सम्भाव्यता निर्धारण गर्न सक्छौं। मिश्रित घटनाहरूको सम्भाव्यता निर्धारण गर्नमा अझ दक्ष बन्न विभिन्न समस्याहरूसँग आफ्नो सीपहरू अभ्यास गर्न जारी राख्नुहोस्।