सामान्य वितरणको अपेक्षित मूल्यमा छलफल प्रश्नको उदाहरण

सामान्य वितरणको अपेक्षित मूल्यको बारेमा छलफल गर्ने उदाहरण प्रश्नहरू

सामान्य वितरण, जसलाई गौसियन वितरण पनि भनिन्छ, तथ्याङ्क र सम्भाव्यतामा सबैभन्दा धेरै प्रयोग हुने निरन्तर सम्भाव्यता वितरणहरू मध्ये एक हो। यो वितरण प्रायः यसको अनुकूल गणितीय गुणहरू, जस्तै सममिति र माध्य (µ) र मानक विचलन (σ) सँग प्यारामिटराइजेसनमा यसको विशिष्टताको कारणले गर्दा विभिन्न सांख्यिकीय निष्कर्षहरूमा आधारभूत धारणाको रूपमा प्रयोग गरिन्छ। यस लेखले उदाहरणहरू छलफल गर्नेछ र यस अवधारणाको गहिरो बुझाइ प्रदान गर्न सामान्य वितरणको अपेक्षित मानको बारेमा छलफल गर्नेछ।

सामान्य वितरण बुझ्दै

सामान्य वितरणलाई सममित घण्टी वक्रद्वारा चित्रण गरिएको छ, जसमा धेरैजसो मानहरू मध्य मान, वा औसत वरिपरि केन्द्रित हुन्छन्। यस वितरण भित्र, औसत (µ) र मानक विचलन (σ) दुई महत्त्वपूर्ण प्यारामिटरहरू हुन् जसले डेटामा फैलावटको स्थान र मात्रा निर्धारण गर्दछ।

सामान्य वितरणको सम्भाव्यता घनत्व प्रकार्य (PDF) हो:

\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x – \mu)^2}{2\sigma^2}}\]

कहाँ:
– \( \mu \) औसत वा औसत हो
– \( \sigma \) मानक विचलन हो
– \( x \) एक अनियमित चर हो

सामान्य वितरणमा अपेक्षित मान

सामान्य वितरण भएको यादृच्छिक चरको अपेक्षित मान वितरणको औसत बराबर हुन्छ। यदि \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \), भने अपेक्षित मान \( E(X) \) हुन्छ:

\[ ई(एक्स) = \म्यु \]

हाम्रो बुझाइलाई बलियो बनाउन सामान्य वितरणमा अपेक्षित मानहरू सम्बन्धी समस्याहरूका केही उदाहरणहरू जारी राखौं।

नमुना प्रश्न र छलफल

उदाहरण प्रश्न १:

मानौं \( X \) भनेको \( \mu = 50 \) र \( \sigma = 10 \) भएको सामान्य रूपमा वितरित अनियमित चर हो। \( X \) को अपेक्षित मान गणना गर्नुहोस्।

छलफल:

पहिले उल्लेख गरिएझैं, सामान्य वितरणमा, अपेक्षित मान \( E(X) \) \( \mu \ बराबर हुन्छ। त्यसैले,

\[ E(X) = \mu = ५० \]

उदाहरण प्रश्न १:

दिइएको अनियमित चर \( Y \) लाई सामान्यतया \( \mu = 120 \) र \( \sigma = 15 \) सँग वितरित गरिन्छ। \( Y \) को अपेक्षित मान पत्ता लगाउनुहोस्।

छलफल:

पहिलो उदाहरण जस्तै, \( Y \) को अपेक्षित मान सामान्य वितरणको बीचको मान वा औसत हो, अर्थात्:

\[ E(Y) = \mu = १२० \]

उदाहरण प्रश्न १:

यदि अनियमित चर \( Z \) ले \( \mu = 0 \) र \( \sigma = 1 \) (मानक सामान्य वितरण) भएको सामान्य वितरणलाई पछ्याउँछ भने, \( Z \) को अपेक्षित मान कति हुन्छ?

छलफल:

मानक सामान्य वितरणको माध्य \( \mu = 0 \) हुन्छ, त्यसैले अपेक्षित मान \( E(Z) \) हो:

\[ E(Z) = \mu = ० \]

उदाहरण प्रश्न १:

मानौं \( W \) भनेको सामान्य रूपमा वितरित अनियमित चर हो जसको माध्य \( \mu = 75 \) र मानक विचलन \( \sigma = 20 \) हुन्छ। यदि हामीले नयाँ अनियमित चर \( V = 2W + 3 \) परिभाषित गर्छौं भने, \( V \) को अपेक्षित मान कति हुन्छ?

छलफल:

\( V \) को अपेक्षित मान पत्ता लगाउन, हामीले अपेक्षित मानको रेखीयता गुण प्रयोग गर्नुपर्छ। \( V = 2W + 3 \) दिइएको छ, त्यसपछि:

\[ E(V) = E(2W + 3) \]

अपेक्षित मानको रेखीय गुणको आधारमा, हामी स्थिरांकलाई अनियमित चरबाट अलग गर्न सक्छौं:

\[ E(V) = २E(W) + E(3) \]

स्थिरांकको अपेक्षित मान नै स्थिरांक हो भन्ने थाहा पाउँदा:

\" E(3) = 3 \]

र \( W \) को अपेक्षित मान सामान्य वितरणको माध्य हो \( W \):

\[ E(W) = \mu = ७५ \]

त्यसैले,

\[ E(V) = २ \गुणा ७५ + ३ \]
\[ E(V) = १५० + ३ \]
\[ E(V) = १५३ \]

उदाहरण प्रश्न १:

अनियमित चर \( Q \) ले माध्य \( \mu = 40 \) र मानक विचलन \( \sigma = 5 \) भएको सामान्य वितरणलाई पछ्याउँछ। यदि \[ U = Q/2 \] छ भने \( Q \) को अपेक्षित मान कति हुन्छ?

छलफल:

हामी उदाहरण ४ मा जस्तै सिद्धान्त प्रयोग गर्छौं, अर्थात् अपेक्षित मानको रेखीयता गुण। \( U = Q/2 \), त्यसपछि:

\[ E(U) = E\बायाँ(\frac{Q}{2}\दायाँ) \]

अपेक्षित मानको रेखीयता गुणमा आधारित:

\[ E(U) = \frac{1}{2} E(Q) \]

हामीलाई थाहा छ कि \( Q \) को अपेक्षित मान सामान्य वितरणको माध्य हो \( Q \):

\[ E(Q) = \mu = ४० \]

त्यसैले,

\[ E(U) = \frac{1}{2} \गुणा ४० \]
\[ E(U) = २० \]

केसिम्पुलन

सामान्य वितरणमा, अनियमित चरको अपेक्षित मान सधैं वितरणको औसत (µ) बराबर हुन्छ। माथिका उदाहरण समस्याहरूले रेखीयता गुण प्रयोग गरेर अपेक्षित मान गणना गर्न विभिन्न अवस्थाहरू प्रदर्शन गर्दछ। यो आधारभूत अवधारणा बुझ्नाले तथ्याङ्क र सम्भाव्यतामा सामान्य वितरण समस्याहरू ह्यान्डल गर्न सजिलो बनाउँछ।

सामान्य वितरण तथ्याङ्कमा महत्त्वपूर्ण छ किनभने यो परिकल्पना परीक्षण, प्यारामिटर अनुमान, र विभिन्न अन्य सांख्यिकीय निष्कर्षहरू सहित व्यावहारिक अनुप्रयोगहरूको विस्तृत दायरामा प्रयोग गरिन्छ। यस वितरणको अपेक्षित मूल्यको राम्रो बुझाइ डेटा विश्लेषणमा एक महत्त्वपूर्ण पहिलो चरण हो।

आशा छ कि यस लेखले सामान्य वितरणमा अपेक्षित मानको स्पष्ट र उपयोगी व्याख्या प्रदान गर्नेछ, साथै सान्दर्भिक उदाहरण प्रश्नहरू र छलफलहरू पनि प्रदान गर्नेछ।